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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

Mathe404Aktualisiert 1. Okt. 20264 Seiten

Übersicht: Funktionen und ihre Eigenschaften

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Funktionen sind überall um uns herum - von der Berechnung deines Handyverbrauchs bis hin zur Flugbahn eines Balls. Du lernst hier die wichtigsten Funktionstypen und ihre Eigenschaften kennen, die du für deine Mathe-Klausuren brauchst.
Funktionen – Seite 1

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Grundlagen von Funktionen

Funktionen sind eigentlich ziemlich logisch aufgebaut, auch wenn sie am Anfang kompliziert aussehen. Die Definitionsmenge (D) zeigt dir, welche x-Werte du überhaupt einsetzen darfst. Bei fxx = x² sind das alle reellen Zahlen, aber bei kxx = 2/x darfst du keine 0 einsetzen (sonst teilst du durch null!).

Die Wertemenge (W) ist dagegen die Sammlung aller y-Werte, die rauskommen können. Bei fxx = x² sind das nur positive Zahlen plus null, weil Quadrate nie negativ werden.

Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + b. Das m ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet). Die Steigung berechnest du mit der Formel m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁.

Merktipp: Bei Bruchfunktionen wie 2/x schau immer, wo der Nenner null wird - diese x-Werte gehören nicht zur Definitionsmenge!

Funktionen – Seite 2

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Steigungswinkel und Schnittpunkte

Der Steigungswinkel einer Geraden hängt direkt mit ihrer Steigung zusammen. Wenn deine Gerade die Steigung 1/2 hat, dann ist der Winkel α = tan⁻¹1/21/2 ≈ 26,57°. Die Formel ist einfach: tan(α) = m.

Beim Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnest du erst beide Steigungswinkel einzeln. Dann ziehst du sie voneinander ab. Falls das Ergebnis größer als 90° ist, rechnest du 180° minus dein Ergebnis - so bekommst du immer den kleineren Winkel.

Schnittpunkte findest du, indem du die beiden Funktionen gleichsetzt. Bei fxx = x² - 5x + 4 und gxx = x - 1 setzt du x² - 5x + 4 = x - 1 und löst nach x auf. Dann setzt du die x-Werte in eine der Funktionen ein, um die y-Koordinaten zu finden.

Prüfungstipp: Kontrolliere deine Schnittpunkte, indem du sie in beide ursprünglichen Funktionen einsetzt!

Funktionen – Seite 3

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Quadratische Funktionen - Die Grundformen

Quadratische Funktionen kommen in zwei praktischen Formen daher. Die Normalform fxx = ax² + bx + c zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt (das ist c). Der Parameter a bestimmt, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder unten (a < 0) geöffnet ist.

Die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e ist super praktisch, weil du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst: S(d|e). Wenn in der Klammer ein Plus steht, geht die Parabel nach links, bei einem Minus nach rechts - das ist oft verwirrend!

Du kannst zwischen den Formen hin und her wechseln. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Von Scheitelpunkt- zur Normalform verwendest du die binomischen Formeln.

Eselsbrücke: Bei der Verschiebung in der Klammer ist alles umgekehrt: Plus bedeutet links, Minus bedeutet rechts!

Funktionen – Seite 4

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Nullstellen und Gleichungen aufstellen

Nullstellen findest du am einfachsten, wenn die quadratische Funktion faktorisiert ist, wie fxx = x-3$$x+2. Hier liest du direkt ab: x₁ = 3 und x₂ = -2. Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

Wenn du eine quadratische Funktion durch drei Punkte bestimmen sollst, stellst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen auf. Setzt du die Punkte A(0|4), B(1|5) und C3∣−53|-5 in fxx = ax² + bx + c ein, bekommst du drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c.

Das Gleichungssystem löst du schrittweise auf. Zuerst eliminierst du eine Variable (meist c), dann eine zweite (meist b), bis du a berechnen kannst. Dann arbeitest du dich rückwärts durch.

Zeitsparer: Wenn einer deiner Punkte auf der y-Achse liegt x=0x = 0, kennst du c sofort!

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