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31. Jan. 2026
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Emily Mix
@gurekensalatmitzwiebeln
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufen-Mathematik, der dir... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen bestehen aus verschiedenen Termen mit x-Potenzen, und du musst zwei wichtige Eigenschaften verstehen. Der Grad einer Funktion ist immer der höchste Exponent - bei f(x) = 2x⁴ - x ist der Grad also 4.
Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den x-Termen. Diese werden mit aₙ bezeichnet, wobei n für den jeweiligen Exponenten steht. Bei 2x⁴ - x wäre a₄ = 2 und a₁ = -1.
Verhalten für x → ∞: Das Verhalten im Unendlichen wird nur vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x - 5x² + 2 entscheidet also -5x² über das Verhalten. Da der Koeffizient negativ ist, geht die Funktion für große x-Werte nach unten.
💡 Merktipp: Für das Verhalten im Unendlichen ignorierst du alle Terme außer dem mit der höchsten Potenz!
Verhalten nahe Null: Hier zählen die Terme mit den niedrigsten Potenzen. Bei derselben Funktion bestimmen -5x² + 2 das Verhalten um den Nullpunkt - die Funktion verhält sich also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt 2.
Nullstellen findest du mit verschiedenen Strategien, je nachdem wie deine Funktion aussieht. Hier sind die drei wichtigsten Methoden, die du draufhaben musst.
1) Ablesen bei Produktform: Wenn deine Funktion bereits in Klammern steht wie f(x) = ··, setzt du jede Klammer einzeln null. Das gibt dir x₁ = -3, x₂ = 3 und x₃ = 0,5. Super einfach!
2) Ausklammern: Bei f(x) = x³ + 2x klammerst du das x mit dem niedrigsten Exponenten aus: x· = 0. Eine Nullstelle ist sofort x = 0, für die andere verwendest du die pq-Formel.
💡 Wichtig: Beim Ausklammern bekommst du immer eine Nullstelle bei x = 0 geschenkt!
3) Substitution: Für Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 ersetzt du x² durch z. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0, was du mit der pq-Formel löst. Anschließend rechnest du z zurück zu x mit x = ±√z.
Die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion erkennst du direkt an den Exponenten - das spart dir Zeit beim Zeichnen und hilft bei Klausuren.
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei f(x) = 2x⁴ + x² sind nur gerade Potenzen vorhanden - der Graph ist symmetrisch zur y-Achse wie eine Parabel.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an ausschließlich ungeraden Exponenten ohne konstantes Glied. f(x) = 3x⁵ - 6x³ ist punktsymmetrisch, weil nur ungerade Potenzen vorkommen.
💡 Schnellcheck: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten (ohne Konstante) = punktsymmetrisch!
Keine Symmetrie liegt vor, wenn sowohl gerade als auch ungerade Exponenten gemischt auftreten, wie bei f(x) = 3x⁵ - 6x². Diese Funktionen musst du komplett durchrechnen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Emily Mix
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Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufen-Mathematik, der dir in Klausuren und im Abitur begegnen wird. Du lernst hier, wie du mit Polynomfunktionen arbeitest - von der Bestimmung des Verhaltens bis zur Nullstellenberechnung.
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Ganzrationale Funktionen bestehen aus verschiedenen Termen mit x-Potenzen, und du musst zwei wichtige Eigenschaften verstehen. Der Grad einer Funktion ist immer der höchste Exponent - bei f(x) = 2x⁴ - x ist der Grad also 4.
Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den x-Termen. Diese werden mit aₙ bezeichnet, wobei n für den jeweiligen Exponenten steht. Bei 2x⁴ - x wäre a₄ = 2 und a₁ = -1.
Verhalten für x → ∞: Das Verhalten im Unendlichen wird nur vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x - 5x² + 2 entscheidet also -5x² über das Verhalten. Da der Koeffizient negativ ist, geht die Funktion für große x-Werte nach unten.
💡 Merktipp: Für das Verhalten im Unendlichen ignorierst du alle Terme außer dem mit der höchsten Potenz!
Verhalten nahe Null: Hier zählen die Terme mit den niedrigsten Potenzen. Bei derselben Funktion bestimmen -5x² + 2 das Verhalten um den Nullpunkt - die Funktion verhält sich also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt 2.
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Nullstellen findest du mit verschiedenen Strategien, je nachdem wie deine Funktion aussieht. Hier sind die drei wichtigsten Methoden, die du draufhaben musst.
1) Ablesen bei Produktform: Wenn deine Funktion bereits in Klammern steht wie f(x) = ··, setzt du jede Klammer einzeln null. Das gibt dir x₁ = -3, x₂ = 3 und x₃ = 0,5. Super einfach!
2) Ausklammern: Bei f(x) = x³ + 2x klammerst du das x mit dem niedrigsten Exponenten aus: x· = 0. Eine Nullstelle ist sofort x = 0, für die andere verwendest du die pq-Formel.
💡 Wichtig: Beim Ausklammern bekommst du immer eine Nullstelle bei x = 0 geschenkt!
3) Substitution: Für Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 ersetzt du x² durch z. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0, was du mit der pq-Formel löst. Anschließend rechnest du z zurück zu x mit x = ±√z.
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Die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion erkennst du direkt an den Exponenten - das spart dir Zeit beim Zeichnen und hilft bei Klausuren.
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei f(x) = 2x⁴ + x² sind nur gerade Potenzen vorhanden - der Graph ist symmetrisch zur y-Achse wie eine Parabel.
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Samantha Klich
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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