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21. Dez. 2025
•
Emily Mix
@gurekensalatmitzwiebeln
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufen-Mathematik, der dir... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen bestehen aus verschiedenen Termen mit x-Potenzen, und du musst zwei wichtige Eigenschaften verstehen. Der Grad einer Funktion ist immer der höchste Exponent - bei f(x) = 2x⁴ - x ist der Grad also 4.
Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den x-Termen. Diese werden mit aₙ bezeichnet, wobei n für den jeweiligen Exponenten steht. Bei 2x⁴ - x wäre a₄ = 2 und a₁ = -1.
Verhalten für x → ∞: Das Verhalten im Unendlichen wird nur vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x - 5x² + 2 entscheidet also -5x² über das Verhalten. Da der Koeffizient negativ ist, geht die Funktion für große x-Werte nach unten.
💡 Merktipp: Für das Verhalten im Unendlichen ignorierst du alle Terme außer dem mit der höchsten Potenz!
Verhalten nahe Null: Hier zählen die Terme mit den niedrigsten Potenzen. Bei derselben Funktion bestimmen -5x² + 2 das Verhalten um den Nullpunkt - die Funktion verhält sich also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt 2.
Nullstellen findest du mit verschiedenen Strategien, je nachdem wie deine Funktion aussieht. Hier sind die drei wichtigsten Methoden, die du draufhaben musst.
1) Ablesen bei Produktform: Wenn deine Funktion bereits in Klammern steht wie f(x) = ··, setzt du jede Klammer einzeln null. Das gibt dir x₁ = -3, x₂ = 3 und x₃ = 0,5. Super einfach!
2) Ausklammern: Bei f(x) = x³ + 2x klammerst du das x mit dem niedrigsten Exponenten aus: x· = 0. Eine Nullstelle ist sofort x = 0, für die andere verwendest du die pq-Formel.
💡 Wichtig: Beim Ausklammern bekommst du immer eine Nullstelle bei x = 0 geschenkt!
3) Substitution: Für Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 ersetzt du x² durch z. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0, was du mit der pq-Formel löst. Anschließend rechnest du z zurück zu x mit x = ±√z.
Die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion erkennst du direkt an den Exponenten - das spart dir Zeit beim Zeichnen und hilft bei Klausuren.
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei f(x) = 2x⁴ + x² sind nur gerade Potenzen vorhanden - der Graph ist symmetrisch zur y-Achse wie eine Parabel.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an ausschließlich ungeraden Exponenten ohne konstantes Glied. f(x) = 3x⁵ - 6x³ ist punktsymmetrisch, weil nur ungerade Potenzen vorkommen.
💡 Schnellcheck: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten (ohne Konstante) = punktsymmetrisch!
Keine Symmetrie liegt vor, wenn sowohl gerade als auch ungerade Exponenten gemischt auftreten, wie bei f(x) = 3x⁵ - 6x². Diese Funktionen musst du komplett durchrechnen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Emily Mix
@gurekensalatmitzwiebeln
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufen-Mathematik, der dir in Klausuren und im Abitur begegnen wird. Du lernst hier, wie du mit Polynomfunktionen arbeitest - von der Bestimmung des Verhaltens bis zur Nullstellenberechnung.
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Ganzrationale Funktionen bestehen aus verschiedenen Termen mit x-Potenzen, und du musst zwei wichtige Eigenschaften verstehen. Der Grad einer Funktion ist immer der höchste Exponent - bei f(x) = 2x⁴ - x ist der Grad also 4.
Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den x-Termen. Diese werden mit aₙ bezeichnet, wobei n für den jeweiligen Exponenten steht. Bei 2x⁴ - x wäre a₄ = 2 und a₁ = -1.
Verhalten für x → ∞: Das Verhalten im Unendlichen wird nur vom Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x - 5x² + 2 entscheidet also -5x² über das Verhalten. Da der Koeffizient negativ ist, geht die Funktion für große x-Werte nach unten.
💡 Merktipp: Für das Verhalten im Unendlichen ignorierst du alle Terme außer dem mit der höchsten Potenz!
Verhalten nahe Null: Hier zählen die Terme mit den niedrigsten Potenzen. Bei derselben Funktion bestimmen -5x² + 2 das Verhalten um den Nullpunkt - die Funktion verhält sich also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt 2.
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Nullstellen findest du mit verschiedenen Strategien, je nachdem wie deine Funktion aussieht. Hier sind die drei wichtigsten Methoden, die du draufhaben musst.
1) Ablesen bei Produktform: Wenn deine Funktion bereits in Klammern steht wie f(x) = ··, setzt du jede Klammer einzeln null. Das gibt dir x₁ = -3, x₂ = 3 und x₃ = 0,5. Super einfach!
2) Ausklammern: Bei f(x) = x³ + 2x klammerst du das x mit dem niedrigsten Exponenten aus: x· = 0. Eine Nullstelle ist sofort x = 0, für die andere verwendest du die pq-Formel.
💡 Wichtig: Beim Ausklammern bekommst du immer eine Nullstelle bei x = 0 geschenkt!
3) Substitution: Für Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 ersetzt du x² durch z. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0, was du mit der pq-Formel löst. Anschließend rechnest du z zurück zu x mit x = ±√z.
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Die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion erkennst du direkt an den Exponenten - das spart dir Zeit beim Zeichnen und hilft bei Klausuren.
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei f(x) = 2x⁴ + x² sind nur gerade Potenzen vorhanden - der Graph ist symmetrisch zur y-Achse wie eine Parabel.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an ausschließlich ungeraden Exponenten ohne konstantes Glied. f(x) = 3x⁵ - 6x³ ist punktsymmetrisch, weil nur ungerade Potenzen vorkommen.
💡 Schnellcheck: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten (ohne Konstante) = punktsymmetrisch!
Keine Symmetrie liegt vor, wenn sowohl gerade als auch ungerade Exponenten gemischt auftreten, wie bei f(x) = 3x⁵ - 6x². Diese Funktionen musst du komplett durchrechnen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Diese PowerPoint-Präsentation behandelt die Bestimmung der Schnittpunkte von linearen und quadratischen Funktionen mit den Koordinatenachsen. Erfahren Sie, wie man den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen berechnet, inklusive praktischer Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen können. Dieser Leitfaden behandelt den Satz vom Nullprodukt, das Ausklammern von Variablen und die Substitution. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Polynomfunktionen vertiefen möchten.
MatheVertiefte Zusammenfassung zu Trigonometrie, goniometrischen Gleichungen, Potenzen, Wurzeln sowie linearen und quadratischen Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf Klassenarbeiten. Themen umfassen: Sinus- und Kosinussatz, Nullstellenberechnung, exponentielle Gesetze und mehr.
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MatheErfahren Sie alles über Funktionenscharen, einschließlich der Berechnung von Extrempunkten, Nullstellen und Symmetrie. Diese Zusammenfassung bietet eine detaillierte Kurvendiskussion und behandelt wichtige Konzepte wie Ableitungen und das Verhalten von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen.
MatheEntdecke, wie man quadratische Funktionen von der faktorisierte Form in die Normalform umwandelt. Diese Zusammenstellung bietet eine Vielzahl von Aufgaben und detaillierte Lösungswege, um das Verständnis für das Ausmultiplizieren und die Umformung zu vertiefen. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Algebra verbessern möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Anna
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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