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•
14. Dez. 2025
•
Lea 🦕
@lea.brt
Ganzrationale Funktionen sind ein grundlegendes Konzept der Mathematik, das du... Mehr anzeigen
Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + c, wobei a bestimmt, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht wird. Bei a > 1 ist die Parabel nach oben gestreckt, bei 0 < a < 1 nach oben gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten.
Die Normalform f(x) = ax² + bx + c lässt sich mit den binomischen Formeln in die Scheitelpunktform f(x) = a² + e umwandeln. Das ist besonders praktisch, wenn du den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel sofort ablesen willst.
Potenzfunktionen der Form f(x) = a·xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Funktionen mit geradem Exponenten sind achsensymmetrisch und nie kleiner als null (bei a > 0). Funktionen mit ungeradem Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
💡 Merke dir: Bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten musst du nur eine Seite berechnen - die andere Seite ist gespiegelt. Das spart dir viel Rechenarbeit!
Die Symmetrie einer Funktion verrät dir viel über ihren Verlauf. Bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten (wie f(x) = x⁵ + 2x³ + x) liegt Punktsymmetrie vor. Funktionen mit nur geraden Exponenten (wie f(x) = x⁶ + x⁴ + 2) sind achsensymmetrisch.
Das Verhalten nahe null zeigt, wie sich der Graph in der Nähe des Ursprungs verhält. Du kannst es ganz einfach bestimmen: Setze x = 0 ein und das absolute Glied verrät dir, wo der Graph die y-Achse schneidet. Beispiel: Bei f(x) = 3x⁵ + x⁴ + 2x + 4 ist f(0) = 4.
Beim Verhalten im Unendlichen unterscheiden wir, ob x gegen +∞ oder -∞ strebt. Bei Funktionen höchsten Grades mit positivem Koeffizienten gilt: Für x → +∞ strebt f(x) → +∞ und für ungerade Exponenten gilt: Für x → -∞ strebt f(x) → -∞. Bei geraden Exponenten strebt f(x) → +∞ für beide Fälle.
🔍 Tipp: Die Symmetrie einer Funktion hilft dir, den Funktionsgraphen schneller zu zeichnen – du musst oft nur die Hälfte der Punkte berechnen!
Nullstellen sind die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden:
Wenn die Funktion bereits in Produktform vorliegt wie f(x) = -0,5², kannst du die Nullstellen direkt ablesen: x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = -2. Beachte, dass die Vielfachheit der Nullstellen wichtig ist – im Beispiel ist x₂ = 1 eine doppelte Nullstelle.
Durch Ausklammern findest du Nullstellen, wenn jeder Summand ein x enthält. Bei f(x) = x³ - 2x² klammerst du x² aus: f(x) = x². Die Nullstellen sind dann x₁ = 0 (doppelt) und x₃ = 2.
Bei Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 hilft Substitution: Setze z = x² und löse z² - 7z + 12 = 0 mit der pq-Formel. Du erhältst z₁ = 4 und z₂ = 3, was zu x₁,₂ = ±2 und x₃,₄ = ±√3 führt.
🧮 Praxistipp: Für komplexere Funktionen nutze den Taschenrechner mit dem Befehl "polyroots(gleichung, x)" – das spart Zeit bei Klassenarbeiten!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Lea 🦕
@lea.brt
Ganzrationale Funktionen sind ein grundlegendes Konzept der Mathematik, das du täglich anwendest – vielleicht ohne es zu wissen. Diese Zusammenfassung erklärt dir alle wichtigen Eigenschaften und Besonderheiten, die du für den Matheunterricht brauchst.
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Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + c, wobei a bestimmt, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht wird. Bei a > 1 ist die Parabel nach oben gestreckt, bei 0 < a < 1 nach oben gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten.
Die Normalform f(x) = ax² + bx + c lässt sich mit den binomischen Formeln in die Scheitelpunktform f(x) = a² + e umwandeln. Das ist besonders praktisch, wenn du den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel sofort ablesen willst.
Potenzfunktionen der Form f(x) = a·xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Funktionen mit geradem Exponenten sind achsensymmetrisch und nie kleiner als null (bei a > 0). Funktionen mit ungeradem Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
💡 Merke dir: Bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten musst du nur eine Seite berechnen - die andere Seite ist gespiegelt. Das spart dir viel Rechenarbeit!
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Die Symmetrie einer Funktion verrät dir viel über ihren Verlauf. Bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten (wie f(x) = x⁵ + 2x³ + x) liegt Punktsymmetrie vor. Funktionen mit nur geraden Exponenten (wie f(x) = x⁶ + x⁴ + 2) sind achsensymmetrisch.
Das Verhalten nahe null zeigt, wie sich der Graph in der Nähe des Ursprungs verhält. Du kannst es ganz einfach bestimmen: Setze x = 0 ein und das absolute Glied verrät dir, wo der Graph die y-Achse schneidet. Beispiel: Bei f(x) = 3x⁵ + x⁴ + 2x + 4 ist f(0) = 4.
Beim Verhalten im Unendlichen unterscheiden wir, ob x gegen +∞ oder -∞ strebt. Bei Funktionen höchsten Grades mit positivem Koeffizienten gilt: Für x → +∞ strebt f(x) → +∞ und für ungerade Exponenten gilt: Für x → -∞ strebt f(x) → -∞. Bei geraden Exponenten strebt f(x) → +∞ für beide Fälle.
🔍 Tipp: Die Symmetrie einer Funktion hilft dir, den Funktionsgraphen schneller zu zeichnen – du musst oft nur die Hälfte der Punkte berechnen!
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Nullstellen sind die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen. Es gibt verschiedene Methoden, diese zu finden:
Wenn die Funktion bereits in Produktform vorliegt wie f(x) = -0,5², kannst du die Nullstellen direkt ablesen: x₁ = 3, x₂ = 1 und x₃ = -2. Beachte, dass die Vielfachheit der Nullstellen wichtig ist – im Beispiel ist x₂ = 1 eine doppelte Nullstelle.
Durch Ausklammern findest du Nullstellen, wenn jeder Summand ein x enthält. Bei f(x) = x³ - 2x² klammerst du x² aus: f(x) = x². Die Nullstellen sind dann x₁ = 0 (doppelt) und x₃ = 2.
Bei Funktionen wie f(x) = x⁴ - 7x² + 12 hilft Substitution: Setze z = x² und löse z² - 7z + 12 = 0 mit der pq-Formel. Du erhältst z₁ = 4 und z₂ = 3, was zu x₁,₂ = ±2 und x₃,₄ = ±√3 führt.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen ganzrationaler Funktionen, einschließlich Potenzfunktionen, der P-Q-Formel, Globalverhalten, Symmetrie, Nullstellenbestimmung und Polynomdivision. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Techniken zur Analyse und Lösung von Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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