Ganzrationale Funktionen & Nullstellen

Globalverhalten bestimmen

Der Grad (höchster Exponent $n$) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten $a_n$ bestimmen den Verlauf des Graphen für sehr große und sehr kleine $x$-Werte.

• Gerader Grad: Graph verläuft in die gleiche Richtung (beide Seiten nach oben oder unten).
• Ungerader Grad: Graph kommt von unten und geht nach oben (oder umgekehrt).

Nullstellen berechnen

Nullstellen bestimmen wir durch das Lösen der Gleichung $f(x) = 0$.

• Ausklammern: $x^2(x^2-5x+6)=0 \Rightarrow x^2=0$ oder Klammer auflösen.
• Substitution: Bei $x^4$ und $x^2$ ersetzt man $a = x^2$ für die Mitternachtsformel.

Beispiel: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \Rightarrow$ Substituiere $a = x^2$ $a^2 - 5a + 4 = 0 \Rightarrow a_1 = 4, a_2 = 1 \Rightarrow x = \pm 2, x = \pm 1$

💡 Tipp: Beim Ausklammern einer Potenz von $x$ ist $x = 0$ immer direkt die erste Nullstelle.

Vielfachheit & Symmetrie

Vielfachheit von Nullstellen

Die Hochzahl des Linearfaktors zeigt, wie der Graph die x-Achse an der Nullstelle schneidet.

• Einfache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse normal mit Vorzeichenwechsel.
• Doppelte Nullstelle: Der Graph berührt die Achse nur (Extrempunkt ohne Vorzeichenwechsel).
• Dreifache Nullstelle: Der Graph hat hier einen Sattelpunkt mit Vorzeichenwechsel.

Symmetrie prüfen

Durch die Exponenten im Funktionsterm erkennst du die Symmetrie sofort.

• Achsensymmetrie zur y-Achse: Nur gerade Exponenten vorhanden; es gilt $f(-x) = f(x)$.
• Punktsymmetrie zum Ursprung: Nur ungerade Exponenten vorhanden; es gilt $f(-x) = -f(x)$.

💡 Tipp: Absolute Glieder ohne $x$ (wie die $+5$ in $x^2 + 5$) zählen als gerade Exponenten, da $+5 = 5x^0$.