Ganzrationale Funktionen - Grundlagen

Ganzrationale Funktionen sind Polynome mit der allgemeinen Form f$x$ = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Die Zahlen vor den x-Werten nennt man Koeffizienten, wobei aₙ der Leitkoeffizient ist.

Der Grad der Funktion wird durch den größten Exponenten bestimmt. Bei f$x$ = 0,5x³ + 18x² - 1,5x - 2 ist der Grad drei, weil x³ der höchste Term ist.

Merke dir: Je höher der Grad, desto "welliger" wird der Graph der Funktion!

Konstante und lineare Funktionen

Konstante Funktionen haben den Grad null und sehen aus wie f$x$ = c. Ihr Graph ist eine waagerechte Linie - egal welchen x-Wert du einsetzt, y bleibt immer gleich.

Lineare Funktionen vom Grad eins kennst du schon: f$x$ = mx + b. Das sind gerade Linien mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.

Diese beiden Funktionstypen sind die Bausteine für alle komplexeren ganzrationalen Funktionen.

Quadratische und kubische Funktionen

Quadratische Funktionen haben die Form f$x$ = ax² + bx + c und erzeugen Parabeln. Sie öffnen sich nach oben (a > 0) oder unten (a < 0).

Kubische Funktionen mit f$x$ = ax³ + bx² + cx + d sind schon interessanter. Ihr Graph kann bis zu zwei "Wellen" haben und läuft immer von -∞ bis +∞ oder umgekehrt.

Bei Funktionen vierten Grades f$x$ = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ wird's richtig spannend - hier können bis zu drei Wellen auftreten!

Tipp: Je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte sind möglich!

Charakteristische Punkte verstehen

Nullstellen findest du, indem du f$x$ = 0 setzt. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch f(0).

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Die x-Werte nennt man Extremstellen, die y-Werte sind die Extrema (Minimum oder Maximum).

Unterscheide zwischen lokalen Extrema (höchster/tiefster Punkt in der Umgebung) und globalen Extrema (höchster/tiefster Punkt der gesamten Funktion).

Praxis-Tipp: Diese Punkte sind entscheidend für Kurvendiskussionen in Klausuren!