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Ganzrationale Funktionen sind Polynome mit der allgemeinen Form f = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Die Zahlen vor den x-Werten nennt man Koeffizienten, wobei aₙ der Leitkoeffizient ist.
Der Grad der Funktion wird durch den größten Exponenten bestimmt. Bei f = 0,5x³ + 18x² - 1,5x - 2 ist der Grad drei, weil x³ der höchste Term ist.
Merke dir: Je höher der Grad, desto "welliger" wird der Graph der Funktion!
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Konstante Funktionen haben den Grad null und sehen aus wie f = c. Ihr Graph ist eine waagerechte Linie - egal welchen x-Wert du einsetzt, y bleibt immer gleich.
Lineare Funktionen vom Grad eins kennst du schon: f = mx + b. Das sind gerade Linien mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.
Diese beiden Funktionstypen sind die Bausteine für alle komplexeren ganzrationalen Funktionen.
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Quadratische Funktionen haben die Form f = ax² + bx + c und erzeugen Parabeln. Sie öffnen sich nach oben (a > 0) oder unten (a < 0).
Kubische Funktionen mit f = ax³ + bx² + cx + d sind schon interessanter. Ihr Graph kann bis zu zwei "Wellen" haben und läuft immer von -∞ bis +∞ oder umgekehrt.
Bei Funktionen vierten Grades f = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ wird's richtig spannend - hier können bis zu drei Wellen auftreten!
Tipp: Je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte sind möglich!
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Nullstellen findest du, indem du f = 0 setzt. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch f(0).
Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Die x-Werte nennt man Extremstellen, die y-Werte sind die Extrema (Minimum oder Maximum).
Unterscheide zwischen lokalen Extrema (höchster/tiefster Punkt in der Umgebung) und globalen Extrema (höchster/tiefster Punkt der gesamten Funktion).
Praxis-Tipp: Diese Punkte sind entscheidend für Kurvendiskussionen in Klausuren!
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