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1.259
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20. Jan. 2026
•
Ela-Lara Seval
@elalaraseval
Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von der... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen sind Polynome mit der allgemeinen Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Die Zahlen vor den x-Werten nennt man Koeffizienten, wobei aₙ der Leitkoeffizient ist.
Der Grad der Funktion wird durch den größten Exponenten bestimmt. Bei f(x) = 0,5x³ + 18x² - 1,5x - 2 ist der Grad drei, weil x³ der höchste Term ist.
Merke dir: Je höher der Grad, desto "welliger" wird der Graph der Funktion!
Konstante Funktionen haben den Grad null und sehen aus wie f(x) = c. Ihr Graph ist eine waagerechte Linie - egal welchen x-Wert du einsetzt, y bleibt immer gleich.
Lineare Funktionen vom Grad eins kennst du schon: f(x) = mx + b. Das sind gerade Linien mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.
Diese beiden Funktionstypen sind die Bausteine für alle komplexeren ganzrationalen Funktionen.
Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c und erzeugen Parabeln. Sie öffnen sich nach oben (a > 0) oder unten (a < 0).
Kubische Funktionen mit f(x) = ax³ + bx² + cx + d sind schon interessanter. Ihr Graph kann bis zu zwei "Wellen" haben und läuft immer von -∞ bis +∞ oder umgekehrt.
Bei Funktionen vierten Grades f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ wird's richtig spannend - hier können bis zu drei Wellen auftreten!
Tipp: Je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte sind möglich!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch f(0).
Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Die x-Werte nennt man Extremstellen, die y-Werte sind die Extrema (Minimum oder Maximum).
Unterscheide zwischen lokalen Extrema und globalen Extrema .
Praxis-Tipp: Diese Punkte sind entscheidend für Kurvendiskussionen in Klausuren!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ela-Lara Seval
@elalaraseval
Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von der Flugbahn eines Balls bis zur Form einer Achterbahn. Diese mathematischen Werkzeuge helfen dir dabei, komplexe Zusammenhänge zu verstehen und zu berechnen. Mit ein paar grundlegenden Konzepten wirst du schnell durchblicken!
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Ganzrationale Funktionen sind Polynome mit der allgemeinen Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀. Die Zahlen vor den x-Werten nennt man Koeffizienten, wobei aₙ der Leitkoeffizient ist.
Der Grad der Funktion wird durch den größten Exponenten bestimmt. Bei f(x) = 0,5x³ + 18x² - 1,5x - 2 ist der Grad drei, weil x³ der höchste Term ist.
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Konstante Funktionen haben den Grad null und sehen aus wie f(x) = c. Ihr Graph ist eine waagerechte Linie - egal welchen x-Wert du einsetzt, y bleibt immer gleich.
Lineare Funktionen vom Grad eins kennst du schon: f(x) = mx + b. Das sind gerade Linien mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.
Diese beiden Funktionstypen sind die Bausteine für alle komplexeren ganzrationalen Funktionen.
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Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c und erzeugen Parabeln. Sie öffnen sich nach oben (a > 0) oder unten (a < 0).
Kubische Funktionen mit f(x) = ax³ + bx² + cx + d sind schon interessanter. Ihr Graph kann bis zu zwei "Wellen" haben und läuft immer von -∞ bis +∞ oder umgekehrt.
Bei Funktionen vierten Grades f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ wird's richtig spannend - hier können bis zu drei Wellen auftreten!
Tipp: Je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte sind möglich!
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Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch f(0).
Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Die x-Werte nennt man Extremstellen, die y-Werte sind die Extrema (Minimum oder Maximum).
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Praxis-Tipp: Diese Punkte sind entscheidend für Kurvendiskussionen in Klausuren!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die grafische Ableitung, die Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen für Funktionen. Sie bietet eine detaillierte Analyse der Krümmungsverhalten und Anwendungen der Differenzierung, ideal für die Vorbereitung auf Matheprüfungen. Typ: Zusammenfassung.
MatheErfahren Sie, wie Sie Extrempunkte einer Funktion berechnen. Dieser Lernzettel erklärt die Schritte zur Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung, notwendige und hinreichende Bedingungen sowie die Klassifizierung von Hoch- und Tiefpunkten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Zusammenhänge zwischen Ableitungen und Funktionen, einschließlich der Analyse von lokalen und globalen Extrema, Monotonie, Wendepunkten und Krümmungsverhalten. Diese Zusammenfassung bietet wertvolle Einblicke in die Anwendung der Differenzialrechnung und deren Bedeutung für das Verständnis von Funktionsgraphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Extremstellen, Wendepunkte und Monotonieverhalten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Anleitungen zur Bestimmung von Funktionsgleichungen sowie zur grafischen Differenzierung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErlerne die Grundlagen der Extremwertaufgaben mit einem Fokus auf die Volumenberechnung von Zylindern. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, die allgemeine Vorgehensweise zur Lösung von Optimierungsproblemen sowie ein detailliertes Beispiel zur Minimierung des Materialbedarfs bei der Herstellung einer Dose. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis für Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man graphisch ableitet und die Beziehung zwischen Funktionen und ihren Ableitungen erkennt. Diese Zusammenfassung behandelt Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und die Bedeutung der Steigung. Ideal für Studierende, die sich auf Differenzierung und Kurvenanalyse vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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Hans T
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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