Mathematik

Rationale und Wurzelausdrücke

rationale Funktion

805

•

26. Jan. 2026

•

11 Seiten

Was sind Gebrochenrationale Funktionen? Einfach erklärt

Semia Tokhi

@semiatokhi_pjmf

Gebrochenrationale Funktionen sind Bruchfunktionen, bei denen zwei Polynome durcheinander geteilt... Mehr anzeigen

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Gebrochenrationale Funktionen

Hey! Zeit für einen der spannendsten Funktionstypen in der Analysis. Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir überall - von der Physik bis zur Wirtschaft.

Diese Funktionen haben eine besondere Eigenschaft: Sie können Werte haben, die gegen unendlich gehen oder plötzlich "Löcher" im Graphen aufweisen. Das macht sie richtig interessant zu untersuchen.

Du wirst sehen, dass das Verstehen dieser Funktionen dir hilft, komplexere mathematische Zusammenhänge zu durchblicken. Lass uns gemeinsam entdecken, wie sie funktionieren!

💡 Merke dir: Gebrochenrationale Funktionen sind wie normale Brüche - nur dass oben und unten ganze Polynome stehen!

Definition

Eine gebrochenrationale Funktion entsteht, wenn du zwei ganzrationale Funktionen (Polynome) durcheinander teilst. Im Grunde ist es ein großer Bruch mit Polynomen.

Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = p(x)/q(x), wobei p(x) der Zähler und q(x) der Nenner ist. Beide sind normale Polynome mit verschiedenen Potenzen von x.

Ein konkretes Beispiel: f(x) = $x³ + 2x - 5$ / $x - 3$ . Hier steht oben ein Polynom dritten Grades und unten ein lineares Polynom.

💡 Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden - sonst ist die Funktion nicht definiert!

Nullstellen und Definitionslücken

Hier wird's richtig praktisch für deine Klausuren! Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. Definitionslücken entstehen, wenn der Nenner null wird.

Schauen wir uns f(x) = $x-5$ / $x+1$ an: Die Nullstelle liegt bei x = 5 $Zähler = 0$ . Bei x = -1 haben wir eine Definitionslücke $Nenner = 0$ .

An der Definitionslücke passiert etwas Faszinierendes: Die Funktion nähert sich dieser Stelle an, erreicht sie aber nie. Dort entsteht eine senkrechte Asymptote - eine unsichtbare Linie, der sich der Graph annähert.

💡 Merktrick: Zähler null = Nullstelle, Nenner null = Definitionslücke!

Polstelle

Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler an derselben Stelle ungleich null ist. Das ist mathematisch ausgedrückt: h(a) = 0 und g(a) ≠ 0.

Bei unserem Beispiel f(x) = $x-5$ / $x+1$ haben wir bei x = -1 eine Polstelle. Der Nenner wird dort null, aber der Zähler hat den Wert -6.

An Polstellen "explodiert" die Funktion praktisch - sie geht gegen plus oder minus unendlich. Das kannst du dir wie einen Telefonmast vorstellen, der senkrecht in den Himmel ragt.

💡 Klausurtipp: Polstellen sind immer da, wo nur der Nenner null wird!

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

Um herauszufinden, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat, testest du Werte links und rechts der Polstelle. Das zeigt dir, in welche Richtung die Funktion "explodiert".

Bei f(x) = $x-5$ / $x+1$ mit Polstelle bei x = -1: Setze f(-2) = 7 und f(0) = -5 ein. Links der Polstelle ist die Funktion positiv, rechts negativ.

Das bedeutet: Von links kommend geht die Funktion gegen +∞, von rechts kommend gegen -∞. Die mathematische Schreibweise dafür lernst du schnell: lim $x→-1⁻$ f(x) = +∞ und lim $x→-1⁺$ f(x) = -∞.

💡 Praxistipp: Wähle einfache Testwerte wie -2, 0, oder 1 - das rechnet sich leichter!

Asymptoten-Überblick

Asymptoten sind unsichtbare Linien, denen sich der Funktionsgraph annähert, ohne sie zu berühren. Es gibt vier verschiedene Typen, die du unbedingt unterscheiden können musst.

Senkrechte Asymptoten entstehen an Polstellen. Waagerechte Asymptoten zeigen, wohin die Funktion für sehr große x-Werte strebt. Schiefe und kurvenförmige Asymptoten beschreiben komplexere Annäherungsverhalten.

Jeder Asymptotyp hat seine eigenen Regeln zur Berechnung. Das Gute daran: Mit ein bisschen Übung erkennst du sofort, welcher Typ vorliegt!

💡 Orientierung: Die Art der Asymptote hängt von den Graden der Polynome ab!

Senkrechte Asymptote

Senkrechte Asymptoten findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Dann überprüfst du, ob der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist.

Beispiel: Bei f(x) = $3x² - 7$ / $2x - 4$ setzt du 2x - 4 = 0. Das ergibt x = 2. Jetzt prüfst du: 3·2² - 7 = 5 ≠ 0.

Da der Zähler nicht null ist, hast du bei x = 2 eine senkrechte Asymptote. Diese Linie x = 2 wird vom Graphen niemals geschnitten, nur angenähert.

💡 Schnellcheck: Nenner = 0 und Zähler ≠ 0 → senkrechte Asymptote!

Waagerechte Asymptote

Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Du vergleichst einfach die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner.

Falls der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, liegt die waagerechte Asymptote bei y = 0 $x-Achse$ . Beispiel: f(x) = $x² + 3$ / $4x³ - 2$ hat die Asymptote y = 0.

Sind die Grade gleich, teilst du die führenden Koeffizienten. Bei f(x) = $5x² + 1$ / $2x² - 1$ ergibt das y = 5/2 = 2,5.

💡 Eselsbrücke: Kleinerer Zählergrad = x-Achse, gleiche Grade = Koeffizientenverhältnis!

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote entsteht, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Dann machst du eine Polynomdivision.

Beispiel: f(x) = $2x² - x + 4$ / $x - 1$ . Da 2 = 1 + 1, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Polynomdivision ergibt: 2x + 1 + 5/ $x-1$ .

Die schiefe Asymptote ist y = 2x + 1. Der Rest 5/ $x-1$ wird für große x-Werte vernachlässigbar klein.

💡 Merkregel: Zählergrad = Nennergrad + 1 → schiefe Asymptote durch Polynomdivision!

Kurvenförmige Asymptote

Kurvenförmige Asymptoten treten auf, wenn der Zählergrad mindestens um 2 größer ist als der Nennergrad. Auch hier hilft die Polynomdivision.

Bei f(x) = $3x³ + 2x² + x$ / $x - 1$ ist der Zählergrad 3 und der Nennergrad 1. Die Polynomdivision liefert: 3x² + 5x + 6 + 6/ $x-1$ .

Die kurvenförmige Asymptote ist y = 3x² + 5x + 6. Für sehr große x-Werte verhält sich die Funktion wie diese Parabel.

💡 Praxistipp: Je größer der Gradunterschied, desto "wilder" wird die Asymptote!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Gebrochenrationale Funktionen sind Bruchfunktionen, bei denen zwei Polynome durcheinander geteilt werden. Du kennst sie bestimmt schon aus dem Alltag - zum Beispiel beschreiben sie, wie sich Geschwindigkeiten oder Konzentrationen verhalten.

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Eine gebrochenrationale Funktion entsteht, wenn du zwei ganzrationale Funktionen (Polynome) durcheinander teilst. Im Grunde ist es ein großer Bruch mit Polynomen.

Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = p(x)/q(x), wobei p(x) der Zähler und q(x) der Nenner ist. Beide sind normale Polynome mit verschiedenen Potenzen von x.

Ein konkretes Beispiel: f(x) = $x³ + 2x - 5$ / $x - 3$ . Hier steht oben ein Polynom dritten Grades und unten ein lineares Polynom.

💡 Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden - sonst ist die Funktion nicht definiert!

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Polstelle

Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler an derselben Stelle ungleich null ist. Das ist mathematisch ausgedrückt: h(a) = 0 und g(a) ≠ 0.

Bei unserem Beispiel f(x) = $x-5$ / $x+1$ haben wir bei x = -1 eine Polstelle. Der Nenner wird dort null, aber der Zähler hat den Wert -6.

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Asymptoten sind unsichtbare Linien, denen sich der Funktionsgraph annähert, ohne sie zu berühren. Es gibt vier verschiedene Typen, die du unbedingt unterscheiden können musst.

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Senkrechte Asymptoten findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Dann überprüfst du, ob der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist.

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Da der Zähler nicht null ist, hast du bei x = 2 eine senkrechte Asymptote. Diese Linie x = 2 wird vom Graphen niemals geschnitten, nur angenähert.

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Waagerechte Asymptote

Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Du vergleichst einfach die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner.

Falls der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, liegt die waagerechte Asymptote bei y = 0 $x-Achse$ . Beispiel: f(x) = $x² + 3$ / $4x³ - 2$ hat die Asymptote y = 0.

Sind die Grade gleich, teilst du die führenden Koeffizienten. Bei f(x) = $5x² + 1$ / $2x² - 1$ ergibt das y = 5/2 = 2,5.

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Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote entsteht, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Dann machst du eine Polynomdivision.

Beispiel: f(x) = $2x² - x + 4$ / $x - 1$ . Da 2 = 1 + 1, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Polynomdivision ergibt: 2x + 1 + 5/ $x-1$ .

Die schiefe Asymptote ist y = 2x + 1. Der Rest 5/ $x-1$ wird für große x-Werte vernachlässigbar klein.

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Die kurvenförmige Asymptote ist y = 3x² + 5x + 6. Für sehr große x-Werte verhält sich die Funktion wie diese Parabel.

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