Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Funktionen fortgeschritten

Nullstellen ganzrationaler funktionen 3. und höheren grades

Mathe

16. Dez. 2025

793

11 Seiten

Was sind Gebrochenrationale Funktionen? Einfach erklärt

Semia Tokhi @semiatokhi_pjmf

Gebrochenrationale Funktionen sind Bruchfunktionen, bei denen zwei Polynome durcheinander geteilt werden. Du kennst sie bestimmt schon aus dem... Mehr anzeigen

Gebrochenrationale Funktionen

Hey! Zeit für einen der spannendsten Funktionstypen in der Analysis. Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir überall - von der Physik bis zur Wirtschaft.

Diese Funktionen haben eine besondere Eigenschaft Sie können Werte haben, die gegen unendlich gehen oder plötzlich "Löcher" im Graphen aufweisen. Das macht sie richtig interessant zu untersuchen.

Du wirst sehen, dass das Verstehen dieser Funktionen dir hilft, komplexere mathematische Zusammenhänge zu durchblicken. Lass uns gemeinsam entdecken, wie sie funktionieren!

💡 Merke dir Gebrochenrationale Funktionen sind wie normale Brüche - nur dass oben und unten ganze Polynome stehen!

Definition

Eine gebrochenrationale Funktion entsteht, wenn du zwei ganzrationale Funktionen (Polynome) durcheinander teilst. Im Grunde ist es ein großer Bruch mit Polynomen.

Die allgemeine Form sieht so aus f(x) = p(x)/q(x), wobei p(x) der Zähler und q(x) der Nenner ist. Beide sind normale Polynome mit verschiedenen Potenzen von x.

Ein konkretes Beispiel f(x) = $x³ + 2x - 5$ / $x - 3$ . Hier steht oben ein Polynom dritten Grades und unten ein lineares Polynom.

💡 Wichtig Der Nenner darf niemals null werden - sonst ist die Funktion nicht definiert!

Nullstellen und Definitionslücken

Hier wird's richtig praktisch für deine Klausuren! Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. Definitionslücken entstehen, wenn der Nenner null wird.

Schauen wir uns f(x) = $x-5$ / $x+1$ an Die Nullstelle liegt bei x = 5 $Zähler = 0$ . Bei x = -1 haben wir eine Definitionslücke $Nenner = 0$ .

An der Definitionslücke passiert etwas Faszinierendes Die Funktion nähert sich dieser Stelle an, erreicht sie aber nie. Dort entsteht eine senkrechte Asymptote - eine unsichtbare Linie, der sich der Graph annähert.

💡 Merktrick Zähler null = Nullstelle, Nenner null = Definitionslücke!

Polstelle

Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler an derselben Stelle ungleich null ist. Das ist mathematisch ausgedrückt h(a) = 0 und g(a) ≠ 0.

Bei unserem Beispiel f(x) = $x-5$ / $x+1$ haben wir bei x = -1 eine Polstelle. Der Nenner wird dort null, aber der Zähler hat den Wert -6.

An Polstellen "explodiert" die Funktion praktisch - sie geht gegen plus oder minus unendlich. Das kannst du dir wie einen Telefonmast vorstellen, der senkrecht in den Himmel ragt.

💡 Klausurtipp Polstellen sind immer da, wo nur der Nenner null wird!

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

Um herauszufinden, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat, testest du Werte links und rechts der Polstelle. Das zeigt dir, in welche Richtung die Funktion "explodiert".

Bei f(x) = $x-5$ / $x+1$ mit Polstelle bei x = -1 Setze f(-2) = 7 und f(0) = -5 ein. Links der Polstelle ist die Funktion positiv, rechts negativ.

Das bedeutet Von links kommend geht die Funktion gegen +∞, von rechts kommend gegen -∞. Die mathematische Schreibweise dafür lernst du schnell lim $x→-1⁻$ f(x) = +∞ und lim $x→-1⁺$ f(x) = -∞.

💡 Praxistipp Wähle einfache Testwerte wie -2, 0, oder 1 - das rechnet sich leichter!

Asymptoten-Überblick

Asymptoten sind unsichtbare Linien, denen sich der Funktionsgraph annähert, ohne sie zu berühren. Es gibt vier verschiedene Typen, die du unbedingt unterscheiden können musst.

Senkrechte Asymptoten entstehen an Polstellen. Waagerechte Asymptoten zeigen, wohin die Funktion für sehr große x-Werte strebt. Schiefe und kurvenförmige Asymptoten beschreiben komplexere Annäherungsverhalten.

Jeder Asymptotyp hat seine eigenen Regeln zur Berechnung. Das Gute daran Mit ein bisschen Übung erkennst du sofort, welcher Typ vorliegt!

💡 Orientierung Die Art der Asymptote hängt von den Graden der Polynome ab!

Senkrechte Asymptote

Senkrechte Asymptoten findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Dann überprüfst du, ob der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist.

Beispiel Bei f(x) = $3x² - 7$ / $2x - 4$ setzt du 2x - 4 = 0. Das ergibt x = 2. Jetzt prüfst du 3·2² - 7 = 5 ≠ 0.

Da der Zähler nicht null ist, hast du bei x = 2 eine senkrechte Asymptote. Diese Linie x = 2 wird vom Graphen niemals geschnitten, nur angenähert.

💡 Schnellcheck Nenner = 0 und Zähler ≠ 0 → senkrechte Asymptote!

Waagerechte Asymptote

Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Du vergleichst einfach die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner.

Falls der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, liegt die waagerechte Asymptote bei y = 0 $x-Achse$ . Beispiel f(x) = $x² + 3$ / $4x³ - 2$ hat die Asymptote y = 0.

Sind die Grade gleich, teilst du die führenden Koeffizienten. Bei f(x) = $5x² + 1$ / $2x² - 1$ ergibt das y = 5/2 = 2,5.

💡 Eselsbrücke Kleinerer Zählergrad = x-Achse, gleiche Grade = Koeffizientenverhältnis!

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote entsteht, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Dann machst du eine Polynomdivision.

Beispiel f(x) = $2x² - x + 4$ / $x - 1$ . Da 2 = 1 + 1, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Polynomdivision ergibt 2x + 1 + 5/ $x-1$ .

Die schiefe Asymptote ist y = 2x + 1. Der Rest 5/ $x-1$ wird für große x-Werte vernachlässigbar klein.

💡 Merkregel Zählergrad = Nennergrad + 1 → schiefe Asymptote durch Polynomdivision!

Kurvenförmige Asymptote

Kurvenförmige Asymptoten treten auf, wenn der Zählergrad mindestens um 2 größer ist als der Nennergrad. Auch hier hilft die Polynomdivision.

Bei f(x) = $3x³ + 2x² + x$ / $x - 1$ ist der Zählergrad 3 und der Nennergrad 1. Die Polynomdivision liefert 3x² + 5x + 6 + 6/ $x-1$ .

Die kurvenförmige Asymptote ist y = 3x² + 5x + 6. Für sehr große x-Werte verhält sich die Funktion wie diese Parabel.

💡 Praxistipp Je größer der Gradunterschied, desto "wilder" wird die Asymptote!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur

Quiz

Flashcards

Aufsatz

Beliebteste Inhalte: rationale Funktion

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Dieser Lernzettel behandelt die Definition und Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich ihres Randverhaltens und der Auswirkungen der Koeffizienten auf den Graphen. Ideal für Studierende, die sich auf das Thema Kurvenzeichnen und Funktionstypen vorbereiten.

Mathe

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

Mathe

Funktionstypen im Überblick

Entdecken Sie die verschiedenen Funktionstypen in der Mathematik: Ganzrationale, gebrochenrationale und nichtrationale Funktionen. Diese Übersicht behandelt wichtige Konzepte wie Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie deren Transformationen und Eigenschaften. Ideal für Studierende, die ein umfassendes Verständnis der Funktionsklassen entwickeln möchten.

Mathe

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

Mathe

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

Mathe

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

Mathe

Vektoren in Crash-Simulationen

Entdecken Sie die Anwendung von Vektoren in der Fahrzeugentwicklung, insbesondere bei Crash-Simulationen von Porsche. Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen von Vektoren, deren Addition, Subtraktion, Skalare Multiplikation und die Prüfung von Orthogonalität. Ideal für Mathematik- und Ingenieurstudierende, die sich auf das Abitur vorbereiten. Quellen: Abitur Skript Mathematik Stark Verlag.

Mathe

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

Mathe

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

Mathe

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

Mathe

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

Deutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

Deutsch

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Entdecken Sie die Grundlagen der Neurobiologie mit Fokus auf den Aufbau und die Funktionen von Nervenzellen, Ruhe- und Aktionspotentialen sowie der Rolle von Synapsen. Diese Zusammenfassung behandelt auch EPSP und IPSP, die Erregungsübertragung und die Bedeutung von Neurotoxinen. Ideal für Studierende der Biologie und Neurobiologie.

Biologie

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

Deutsch

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

Deutsch

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

Deutsch

Zusammenfassung Schreiben

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Anleitung zum Verfassen von Zusammenfassungen in Englisch. Er behandelt wichtige Aspekte wie die Struktur einer Zusammenfassung, die Verwendung von Schlüsselvokabular und formale Sprache. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Textzusammenfassung verbessern möchten.

Englisch

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Funktionen fortgeschritten

Nullstellen ganzrationaler funktionen 3. und höheren grades

Mathe

•

793

•

16. Dez. 2025

•

11 Seiten

Was sind Gebrochenrationale Funktionen? Einfach erklärt

Semia Tokhi

@semiatokhi_pjmf

Gebrochenrationale Funktionen sind Bruchfunktionen, bei denen zwei Polynome durcheinander geteilt werden. Du kennst sie bestimmt schon aus dem Alltag - zum Beispiel beschreiben sie, wie sich Geschwindigkeiten oder Konzentrationen verhalten.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Gebrochenrationale Funktionen

Hey! Zeit für einen der spannendsten Funktionstypen in der Analysis. Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir überall - von der Physik bis zur Wirtschaft.

Diese Funktionen haben eine besondere Eigenschaft: Sie können Werte haben, die gegen unendlich gehen oder plötzlich "Löcher" im Graphen aufweisen. Das macht sie richtig interessant zu untersuchen.

Du wirst sehen, dass das Verstehen dieser Funktionen dir hilft, komplexere mathematische Zusammenhänge zu durchblicken. Lass uns gemeinsam entdecken, wie sie funktionieren!

💡 Merke dir: Gebrochenrationale Funktionen sind wie normale Brüche - nur dass oben und unten ganze Polynome stehen!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Definition

Eine gebrochenrationale Funktion entsteht, wenn du zwei ganzrationale Funktionen (Polynome) durcheinander teilst. Im Grunde ist es ein großer Bruch mit Polynomen.

Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = p(x)/q(x), wobei p(x) der Zähler und q(x) der Nenner ist. Beide sind normale Polynome mit verschiedenen Potenzen von x.

Ein konkretes Beispiel: f(x) = $x³ + 2x - 5$ / $x - 3$ . Hier steht oben ein Polynom dritten Grades und unten ein lineares Polynom.

💡 Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden - sonst ist die Funktion nicht definiert!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nullstellen und Definitionslücken

Hier wird's richtig praktisch für deine Klausuren! Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. Definitionslücken entstehen, wenn der Nenner null wird.

Schauen wir uns f(x) = $x-5$ / $x+1$ an: Die Nullstelle liegt bei x = 5 $Zähler = 0$ . Bei x = -1 haben wir eine Definitionslücke $Nenner = 0$ .

An der Definitionslücke passiert etwas Faszinierendes: Die Funktion nähert sich dieser Stelle an, erreicht sie aber nie. Dort entsteht eine senkrechte Asymptote - eine unsichtbare Linie, der sich der Graph annähert.

💡 Merktrick: Zähler null = Nullstelle, Nenner null = Definitionslücke!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Polstelle

Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler an derselben Stelle ungleich null ist. Das ist mathematisch ausgedrückt: h(a) = 0 und g(a) ≠ 0.

Bei unserem Beispiel f(x) = $x-5$ / $x+1$ haben wir bei x = -1 eine Polstelle. Der Nenner wird dort null, aber der Zähler hat den Wert -6.

An Polstellen "explodiert" die Funktion praktisch - sie geht gegen plus oder minus unendlich. Das kannst du dir wie einen Telefonmast vorstellen, der senkrecht in den Himmel ragt.

💡 Klausurtipp: Polstellen sind immer da, wo nur der Nenner null wird!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

Um herauszufinden, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat, testest du Werte links und rechts der Polstelle. Das zeigt dir, in welche Richtung die Funktion "explodiert".

Bei f(x) = $x-5$ / $x+1$ mit Polstelle bei x = -1: Setze f(-2) = 7 und f(0) = -5 ein. Links der Polstelle ist die Funktion positiv, rechts negativ.

Das bedeutet: Von links kommend geht die Funktion gegen +∞, von rechts kommend gegen -∞. Die mathematische Schreibweise dafür lernst du schnell: lim $x→-1⁻$ f(x) = +∞ und lim $x→-1⁺$ f(x) = -∞.

💡 Praxistipp: Wähle einfache Testwerte wie -2, 0, oder 1 - das rechnet sich leichter!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Asymptoten-Überblick

Asymptoten sind unsichtbare Linien, denen sich der Funktionsgraph annähert, ohne sie zu berühren. Es gibt vier verschiedene Typen, die du unbedingt unterscheiden können musst.

Jeder Asymptotyp hat seine eigenen Regeln zur Berechnung. Das Gute daran: Mit ein bisschen Übung erkennst du sofort, welcher Typ vorliegt!

💡 Orientierung: Die Art der Asymptote hängt von den Graden der Polynome ab!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Senkrechte Asymptote

Senkrechte Asymptoten findest du, indem du den Nenner gleich null setzt. Dann überprüfst du, ob der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist.

Beispiel: Bei f(x) = $3x² - 7$ / $2x - 4$ setzt du 2x - 4 = 0. Das ergibt x = 2. Jetzt prüfst du: 3·2² - 7 = 5 ≠ 0.

Da der Zähler nicht null ist, hast du bei x = 2 eine senkrechte Asymptote. Diese Linie x = 2 wird vom Graphen niemals geschnitten, nur angenähert.

💡 Schnellcheck: Nenner = 0 und Zähler ≠ 0 → senkrechte Asymptote!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Waagerechte Asymptote

Waagerechte Asymptoten hängen vom Verhältnis der Polynomgrade ab. Du vergleichst einfach die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner.

Falls der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, liegt die waagerechte Asymptote bei y = 0 $x-Achse$ . Beispiel: f(x) = $x² + 3$ / $4x³ - 2$ hat die Asymptote y = 0.

Sind die Grade gleich, teilst du die führenden Koeffizienten. Bei f(x) = $5x² + 1$ / $2x² - 1$ ergibt das y = 5/2 = 2,5.

💡 Eselsbrücke: Kleinerer Zählergrad = x-Achse, gleiche Grade = Koeffizientenverhältnis!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote entsteht, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Dann machst du eine Polynomdivision.

Beispiel: f(x) = $2x² - x + 4$ / $x - 1$ . Da 2 = 1 + 1, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Polynomdivision ergibt: 2x + 1 + 5/ $x-1$ .

Die schiefe Asymptote ist y = 2x + 1. Der Rest 5/ $x-1$ wird für große x-Werte vernachlässigbar klein.

💡 Merkregel: Zählergrad = Nennergrad + 1 → schiefe Asymptote durch Polynomdivision!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kurvenförmige Asymptote

Kurvenförmige Asymptoten treten auf, wenn der Zählergrad mindestens um 2 größer ist als der Nennergrad. Auch hier hilft die Polynomdivision.

Bei f(x) = $3x³ + 2x² + x$ / $x - 1$ ist der Zählergrad 3 und der Nennergrad 1. Die Polynomdivision liefert: 3x² + 5x + 6 + 6/ $x-1$ .

Die kurvenförmige Asymptote ist y = 3x² + 5x + 6. Für sehr große x-Werte verhält sich die Funktion wie diese Parabel.

💡 Praxistipp: Je größer der Gradunterschied, desto "wilder" wird die Asymptote!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur

Quiz

Flashcards

Aufsatz

Beliebteste Inhalte: rationale Funktion

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Mathe

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Mathe

Integrationsregeln und Anwendungen

Mathe

Vektoren in Crash-Simulationen

Mathe

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Mathe

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Mathe

Integralrechnung Grundlagen

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Mathe

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

Deutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

Deutsch

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Biologie

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

Deutsch

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

Deutsch

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

Deutsch

Zusammenfassung Schreiben

Englisch

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Was sind Gebrochenrationale Funktionen? Einfach erklärt

Gebrochenrationale Funktionen

Definition

Nullstellen und Definitionslücken

Polstelle

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

Asymptoten-Überblick

Senkrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Schiefe Asymptote

Kurvenförmige Asymptote

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnliche Inhalte

Mathematik Klausur 2016

Funktionen: Eigenschaften & Transformationen

Symmetrie und Verhalten von Funktionen

Ganzrationale Funktionen: Analyse

Grenzwerte und Symmetrie

Analyse gebrochenrationaler Funktionen

Ähnliche Inhalte

Zentrale Klausur EF

Mindmap - Funktionen

Funktionen und ihre Graphen

Beliebteste Inhalte: rationale Funktion

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Funktionstypen im Überblick

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Integrationsregeln und Anwendungen

Vektoren in Crash-Simulationen

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Lineare Funktionen verstehen

Integralrechnung Grundlagen

Lineare Funktionen verstehen

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Der zerbrochene Krug: Analyse

Der zerbrochene Krug

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Abilernzettel Heimsuchung 2025

der zerbrochene Krug übersicht

Der zerbrochene Krug

Zusammenfassung Schreiben

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5

Was sind Gebrochenrationale Funktionen? Einfach erklärt

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Gebrochenrationale Funktionen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Definition

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Nullstellen und Definitionslücken

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Polstelle

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Asymptoten-Überblick

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Senkrechte Asymptote

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Waagerechte Asymptote

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Schiefe Asymptote

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Kurvenförmige Asymptote

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnliche Inhalte