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Mathematik

Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

horizontale Asymptote

Mathe1.802Aktualisiert 27. Sept. 20262 Seiten

Einführung in gebrochenrationale Funktionen

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Ronja @ronjab
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Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen mit einem Bruch, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner Polynome stehen. Diese Funktionen haben besondere Eigenschaften wie Asymptoten und Polstellen, die ihr Verhalten prägen.
Gebrochenrationale Funktionen – Seite 1

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Grundfunktionen und Asymptoten

Gebrochenrationale Funktionen haben die Grundform f(x)=1xnf(x) = \frac{1}{x^n}, wobei n eine natürliche Zahl ist. Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, sehen die Graphen völlig unterschiedlich aus.

Bei ungeraden Exponenten (wie 1x\frac{1}{x} oder 1x3\frac{1}{x^3}) verlaufen die Hyperbeln in Quadrant I und III. Das bedeutet, sie liegen sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse. Bei geraden Exponenten (wie 1x2\frac{1}{x^2} oder 1x4\frac{1}{x^4}) bleiben die Hyperbeln nur oberhalb der x-Achse in Quadrant I und II.

Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird. Du unterscheidest zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Bei einer Polstelle ohne VZW nähert sich der Graph gleichsinnig der Asymptote, bei einer mit VZW in entgegengesetzter Richtung.

Merkhilfe: Ungerade Exponenten = Vorzeichenwechsel, gerade Exponenten = kein Vorzeichenwechsel!

Gebrochenrationale Funktionen – Seite 2

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Hebbare Lücken und Asymptoten bestimmen

Manchmal ist eine Definitionslücke gar keine echte Polstelle. Wenn sowohl Zähler als auch Nenner an derselben Stelle null werden, hast du eine hebbare Lücke. Das bedeutet einfach, dass du den Bruch noch kürzen kannst!

Das Verhalten für x→∞ hängt vom Grad von Zähler und Nenner ab. Bei Zählergrad < Nennergrad ist die x-Achse y=0y=0 waagerechte Asymptote. Bei gleichem Grad gibt's eine waagerechte Gerade als Asymptote. Bei Zählergrad > Nennergrad strebt der Graph gegen unendlich.

Symmetrie checkst du wie immer: f−x-x = fxx bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f−x-x = -fxx bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei Funktionen der Form f(x)=c(x−a)n+bf(x) = \frac{c}{(x-a)^n} + b kannst du die Asymptoten direkt ablesen: a gibt die senkrechte, b die waagerechte Asymptote an.

Praxistipp: Zeichne dir die Asymptoten zuerst ein - dann wird das Skizzieren des Graphen viel einfacher!

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