Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen mit einem Bruch, bei dem sowohl...
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Ronja @ronjab
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Grundfunktionen und Asymptoten
Gebrochenrationale Funktionen haben die Grundform , wobei n eine natürliche Zahl ist. Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, sehen die Graphen völlig unterschiedlich aus.
Bei ungeraden Exponenten (wie oder ) verlaufen die Hyperbeln in Quadrant I und III. Das bedeutet, sie liegen sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse. Bei geraden Exponenten (wie oder ) bleiben die Hyperbeln nur oberhalb der x-Achse in Quadrant I und II.
Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird. Du unterscheidest zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Bei einer Polstelle ohne VZW nähert sich der Graph gleichsinnig der Asymptote, bei einer mit VZW in entgegengesetzter Richtung.
Merkhilfe: Ungerade Exponenten = Vorzeichenwechsel, gerade Exponenten = kein Vorzeichenwechsel!
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Hebbare Lücken und Asymptoten bestimmen
Manchmal ist eine Definitionslücke gar keine echte Polstelle. Wenn sowohl Zähler als auch Nenner an derselben Stelle null werden, hast du eine hebbare Lücke. Das bedeutet einfach, dass du den Bruch noch kürzen kannst!
Das Verhalten für x→∞ hängt vom Grad von Zähler und Nenner ab. Bei Zählergrad < Nennergrad ist die x-Achse waagerechte Asymptote. Bei gleichem Grad gibt's eine waagerechte Gerade als Asymptote. Bei Zählergrad > Nennergrad strebt der Graph gegen unendlich.
Symmetrie checkst du wie immer: f = f bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei Funktionen der Form kannst du die Asymptoten direkt ablesen: a gibt die senkrechte, b die waagerechte Asymptote an.
Praxistipp: Zeichne dir die Asymptoten zuerst ein - dann wird das Skizzieren des Graphen viel einfacher!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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AnnaiOS-Nutzerin
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Ronja @ronjab
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