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Grenzwerte und Asymptoten von Funktionen

horizontale Asymptote

MatheMathe1,762 aufrufe·Aktualisiert Jun 4, 2026·2 Seiten

Einführung in gebrochenrationale Funktionen

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Ronja @ronjab

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen mit einem Bruch, bei dem sowohl...

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# Gebrochenrationale Funktionen Die Grundfunktionen: $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ $n \in IN$ $n≠ 0$ für n ungerade gilt: * Schaubilde

Grundfunktionen und Asymptoten

Gebrochenrationale Funktionen haben die Grundform f(x)=1xnf(x) = \frac{1}{x^n}, wobei n eine natürliche Zahl ist. Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, sehen die Graphen völlig unterschiedlich aus.

Bei ungeraden Exponenten wie $\frac{1}{x}$ oder $\frac{1}{x^3}$ verlaufen die Hyperbeln in Quadrant I und III. Das bedeutet, sie liegen sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse. Bei geraden Exponenten wie $\frac{1}{x^2}$ oder $\frac{1}{x^4}$ bleiben die Hyperbeln nur oberhalb der x-Achse in Quadrant I und II.

Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird. Du unterscheidest zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Bei einer Polstelle ohne VZW nähert sich der Graph gleichsinnig der Asymptote, bei einer mit VZW in entgegengesetzter Richtung.

Merkhilfe: Ungerade Exponenten = Vorzeichenwechsel, gerade Exponenten = kein Vorzeichenwechsel!

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# Gebrochenrationale Funktionen Die Grundfunktionen: $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ $n \in IN$ $n≠ 0$ für n ungerade gilt: * Schaubilde

Hebbare Lücken und Asymptoten bestimmen

Manchmal ist eine Definitionslücke gar keine echte Polstelle. Wenn sowohl Zähler als auch Nenner an derselben Stelle null werden, hast du eine hebbare Lücke. Das bedeutet einfach, dass du den Bruch noch kürzen kannst!

Das Verhalten für x→∞ hängt vom Grad von Zähler und Nenner ab. Bei Zählergrad < Nennergrad ist die x-Achse y=0y=0 waagerechte Asymptote. Bei gleichem Grad gibt's eine waagerechte Gerade als Asymptote. Bei Zählergrad > Nennergrad strebt der Graph gegen unendlich.

Symmetrie checkst du wie immer: f−x-x = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f−x-x = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei Funktionen der Form f(x)=c(x−a)n+bf(x) = \frac{c}{(x-a)^n} + b kannst du die Asymptoten direkt ablesen: a gibt die senkrechte, b die waagerechte Asymptote an.

Praxistipp: Zeichne dir die Asymptoten zuerst ein - dann wird das Skizzieren des Graphen viel einfacher!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Ronja @ronjab

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen mit einem Bruch, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner Polynome stehen. Diese Funktionen haben besondere Eigenschaften wie Asymptoten und Polstellen, die ihr Verhalten prägen.

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Grundfunktionen und Asymptoten

Gebrochenrationale Funktionen haben die Grundform f(x)=1xnf(x) = \frac{1}{x^n}, wobei n eine natürliche Zahl ist. Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, sehen die Graphen völlig unterschiedlich aus.

Bei ungeraden Exponenten wie $\frac{1}{x}$ oder $\frac{1}{x^3}$ verlaufen die Hyperbeln in Quadrant I und III. Das bedeutet, sie liegen sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse. Bei geraden Exponenten wie $\frac{1}{x^2}$ oder $\frac{1}{x^4}$ bleiben die Hyperbeln nur oberhalb der x-Achse in Quadrant I und II.

Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird. Du unterscheidest zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Bei einer Polstelle ohne VZW nähert sich der Graph gleichsinnig der Asymptote, bei einer mit VZW in entgegengesetzter Richtung.

Merkhilfe: Ungerade Exponenten = Vorzeichenwechsel, gerade Exponenten = kein Vorzeichenwechsel!

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Hebbare Lücken und Asymptoten bestimmen

Manchmal ist eine Definitionslücke gar keine echte Polstelle. Wenn sowohl Zähler als auch Nenner an derselben Stelle null werden, hast du eine hebbare Lücke. Das bedeutet einfach, dass du den Bruch noch kürzen kannst!

Das Verhalten für x→∞ hängt vom Grad von Zähler und Nenner ab. Bei Zählergrad < Nennergrad ist die x-Achse y=0y=0 waagerechte Asymptote. Bei gleichem Grad gibt's eine waagerechte Gerade als Asymptote. Bei Zählergrad > Nennergrad strebt der Graph gegen unendlich.

Symmetrie checkst du wie immer: f−x-x = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f−x-x = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei Funktionen der Form f(x)=c(x−a)n+bf(x) = \frac{c}{(x-a)^n} + b kannst du die Asymptoten direkt ablesen: a gibt die senkrechte, b die waagerechte Asymptote an.

Praxistipp: Zeichne dir die Asymptoten zuerst ein - dann wird das Skizzieren des Graphen viel einfacher!

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Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

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Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin