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Mathe

6. Dez. 2025

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2 Seiten

Grundlagen der Geometrie: Koordinatensystem und Vektoren

Amelie @amelie_k04

Vektoren sind dein Werkzeug für dreidimensionale Geometrie - sie beschreiben Richtungen, Längen und Bewegungen im Raum. Mit den... Mehr anzeigen

DREIDIMENSIONALES
VEKTOREN
allg.:
a-(1),
KOORDINATENSYSTEM
A(3/2/0)
B (-1/3/3)
AB- ()-(8) - ()-(3)
ов OA
Ortsvektor B
↳vom Ursprung zu B
all

Vektoren im 3D-Raum - Grundlagen und Rechnen

Das dreidimensionale Koordinatensystem hat 8 Oktanten (4 oben, 4 unten), in denen du jeden Punkt mit drei Koordinaten A $x/y/z$ beschreibst. Vektoren schreibst du als Spalte mit drei Komponenten.

Um von Punkt A zu Punkt B zu gelangen, berechnest du den Verbindungsvektor $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ . Der Ortsvektor zeigt immer vom Ursprung zu einem Punkt. Beim Addieren und Subtrahieren rechnest du einfach komponentenweise.

Die S-Multiplikation streckt oder staucht Vektoren $2\vec{a}$ ist doppelt so lang wie $\vec{a}$ . Der Gegenvektor $-\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit $\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})$ .

Tipp Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist $\vec{a} = k\vec{b}$

Längen, Winkel und Produkte

Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit dem 3D-Pythagoras $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ . Das ist super wichtig für Abstände und Winkelberechnungen.

Das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ gibt dir eine Zahl zurück. Damit berechnest du Winkel zwischen Vektoren $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ . Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ ist komplizierter zu rechnen, aber mega nützlich Es steht senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren. Die Fläche eines Parallelogramms ist $|\vec{AB} \times \vec{AD}|$ , die eines Dreiecks die Hälfte davon.

Merkhilfe Beim Vektorprodukt denkst du an "über Kreuz" multiplizieren - jede Komponente entsteht aus den anderen beiden!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Tipp: Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{a} = k\vec{b}$

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