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Mathe1.941Aktualisiert 26. Sept. 20262 Seiten

Grundlagen der Geometrie: Koordinatensystem und Vektoren

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Amelie @amelie_k04
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Vektoren sind dein Werkzeug für dreidimensionale Geometrie - sie beschreiben Richtungen, Längen und Bewegungen im Raum. Mit den richtigen Rechenregeln löst du problemlos Aufgaben zu Winkeln, Abständen und Flächen.
Geometrie – Seite 1

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Vektoren im 3D-Raum - Grundlagen und Rechnen

Das dreidimensionale Koordinatensystem hat 8 Oktanten (4 oben, 4 unten), in denen du jeden Punkt mit drei Koordinaten Ax/y/zx/y/z beschreibst. Vektoren schreibst du als Spalte mit drei Komponenten.

Um von Punkt A zu Punkt B zu gelangen, berechnest du den Verbindungsvektor AB⃗=B⃗−A⃗\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}. Der Ortsvektor zeigt immer vom Ursprung zu einem Punkt. Beim Addieren und Subtrahieren rechnest du einfach komponentenweise.

Die S-Multiplikation streckt oder staucht Vektoren: 2a⃗2\vec{a} ist doppelt so lang wie a⃗\vec{a}. Der Gegenvektor −AB⃗-\vec{AB} zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findest du mit M⃗=12(A⃗+B⃗)\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}).

Tipp: Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: a⃗=kb⃗\vec{a} = k\vec{b}

Geometrie – Seite 2

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Längen, Winkel und Produkte

Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit dem 3D-Pythagoras: ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Das ist super wichtig für Abstände und Winkelberechnungen.

Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 gibt dir eine Zahl zurück. Damit berechnest du Winkel zwischen Vektoren: cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Das Vektorprodukt a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} ist komplizierter zu rechnen, aber mega nützlich: Es steht senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren. Die Fläche eines Parallelogramms ist ∣AB⃗×AD⃗∣|\vec{AB} \times \vec{AD}|, die eines Dreiecks die Hälfte davon.

Merkhilfe: Beim Vektorprodukt denkst du an "über Kreuz" multiplizieren - jede Komponente entsteht aus den anderen beiden!

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