Randverhalten von Funktionen

Das Randverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn x gegen $+\infty$ oder $-\infty$ geht. Dabei schauen wir uns nur die höchste Potenz der Funktion an - sie bestimmt das komplette Verhalten an den Rändern.

Die wichtigsten Faktoren sind der Koeffizient a (die Zahl vor der höchsten Potenz) und der Exponent n. Je nachdem, ob a positiv oder negativ und n gerade oder ungerade ist, ergeben sich vier verschiedene Fälle.

Fall 1: a > 0 und n gerade wie bei $2x^2 + 3x + 1$

• Beide Äste gehen nach oben: $f(x) \to +\infty$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$

Fall 2: a < 0 und n gerade wie bei $-2x^2 + 3x + 1$

• Beide Äste gehen nach unten: $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$

Fall 3: a > 0 und n ungerade wie bei $3x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 1$

• Links runter, rechts rauf: $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $f(x) \to +\infty$ für $x \to +\infty$

Fall 4: a < 0 und n ungerade

• Links rauf, rechts runter: $f(x) \to +\infty$ für $x \to -\infty$ und $f(x) \to -\infty$ für $x \to +\infty$

Merktipp: Bei geraden Exponenten verhalten sich beide Äste gleich, bei ungeraden Exponenten entgegengesetzt!