Randverhalten von Funktionen
Das Randverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn x gegen +∞ oder −∞ geht. Dabei schauen wir uns nur die höchste Potenz der Funktion an - sie bestimmt das komplette Verhalten an den Rändern.
Die wichtigsten Faktoren sind der Koeffizient a (die Zahl vor der höchsten Potenz) und der Exponent n. Je nachdem, ob a positiv oder negativ und n gerade oder ungerade ist, ergeben sich vier verschiedene Fälle.
Fall 1: a > 0 und n gerade wie bei $2x^2 + 3x + 1$
- Beide Äste gehen nach oben: f(x)→+∞ für x→−∞ und x→+∞
Fall 2: a < 0 und n gerade wie bei $-2x^2 + 3x + 1$
- Beide Äste gehen nach unten: f(x)→−∞ für x→−∞ und x→+∞
Fall 3: a > 0 und n ungerade wie bei $3x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 1$
- Links runter, rechts rauf: f(x)→−∞ für x→−∞ und f(x)→+∞ für x→+∞
Fall 4: a < 0 und n ungerade
- Links rauf, rechts runter: f(x)→+∞ für x→−∞ und f(x)→−∞ für x→+∞
Merktipp: Bei geraden Exponenten verhalten sich beide Äste gleich, bei ungeraden Exponenten entgegengesetzt!