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Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Geradengleichung

Mathe1.187Aktualisiert 2. Okt. 20265 Seiten

Lineare Funktionen: Zusammenfassung ILS Mathe MatS 8/N

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Ella @mozzarella
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Lineare Funktionen sind der Schlüssel zum Verständnis, wie zwei Größen mathematisch zusammenhängen - von der Handyrechnung bis zur Geschwindigkeit deines Autos. Du lernst hier alles, was du für Klassenarbeiten brauchst: vom Grundprinzip bis zur sicheren Berechnung von Schnittpunkten.
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Grundlagen von Funktionen

Funktionen begegnen dir überall im Alltag - ob bei der Berechnung von Taxikosten oder dem Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegter Strecke. Eine Funktion ist eine mathematische Zuordnung zwischen zwei Größen mit klaren Regeln.

Das wichtigste Prinzip: Jedem x-Wert (Eingabe) wird genau ein y-Wert (Ausgabe) zugeordnet. Stell dir vor wie einen Automaten - du wirfst eine Zahl rein und bekommst immer genau eine bestimmte Zahl zurück.

Du kannst Funktionen auf drei Arten beschreiben: sprachlich, als Graph im Koordinatensystem oder als Funktionsgleichung. Die Funktionsgleichung ist dabei die kürzeste und präziseste Variante.

Merke dir: Die Definitionsmenge D enthält alle möglichen x-Werte, die Wertemenge W alle möglichen y-Werte!

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Das Koordinatensystem verstehen

Im Koordinatensystem werden Funktionen als Graphen dargestellt - das ist dein wichtigstes Werkzeug zum Visualisieren. Die x-Achse zeigt die Definitionsmenge (Eingangswerte), die y-Achse die Wertemenge (Ausgangswerte).

Die vier Quadranten sind nummeriert: rechts oben ist Quadrant 1 (beide Werte positiv), links oben Quadrant 2, links unten Quadrant 3, rechts unten Quadrant 4. Der Punkt (0|0) heißt Ursprung.

Definitionsmengen schreibst du als Ungleichungsketten, zum Beispiel D = {x|0 ≤ x < 10}. Das bedeutet: alle Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und 10 (ausschließlich) gehören dazu.

Tipp: Während Rechnungen die Maßeinheiten weglassen und erst am Ende wieder hinzufügen - das macht alles übersichtlicher!

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Steigung und Ursprungsgeraden

Die Steigung einer Geraden findest du mit dem Steigungsdreieck: m = Δy/Δx. Gehst du nach rechts und nach oben, ist die Steigung positiv. Fällt die Gerade nach rechts ab, ist sie negativ.

Ursprungsgeraden verlaufen durch den Punkt (0|0) und haben die einfache Funktionsgleichung y = m·x. Hier bestimmt nur die Steigung m das Aussehen der Geraden.

Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung. Die allgemeine Geradengleichung lautet y = mx + b, wobei b der y-Achsenabschnitt ist - also der Punkt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Merke dir: Aus der Steigung kannst du direkt weitere Punkte auf der Geraden finden - einfach vom y-Achsenabschnitt aus gehen!

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Geraden zeichnen und Punkte prüfen

Zum Zeichnen einer Geraden startest du am y-Achsenabschnitt b. Von dort gehst du so weit nach rechts, wie der Nenner der Steigung angibt, und so weit hoch/runter, wie der Zähler vorschreibt.

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Stimmt das Ergebnis, liegt er drauf - wenn nicht, dann nicht.

Die rechnerische Bestimmung einer Funktionsgleichung läuft in zwei Schritten: Erst die Steigung m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁ berechnen, dann mit einem Punkt den y-Achsenabschnitt b bestimmen.

Wichtig: Beim Steigungsberechnen Zähler und Nenner in derselben Reihenfolge abziehen, sonst wird das Vorzeichen falsch!

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Schnittpunkte und Nullstellen

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Identische Geraden haben sowohl gleiche Steigung als auch gleichen y-Achsenabschnitt. Sich schneidende Geraden haben unterschiedliche Steigungen.

Den Schnittpunkt zweier Geraden findest du, indem du ihre Funktionsgleichungen gleichsetzt und nach x auflöst. Den erhaltenen x-Wert setzt du in eine der Gleichungen ein, um den y-Wert zu berechnen.

Die Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, wo der Graph die x-Achse schneidet. Du setzt die Funktionsgleichung gleich null und löst nach x auf: y = 0.

Tipp: Mache immer eine Probe, indem du deine berechneten Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt!

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