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StudySmart
6.12.2025
Mathe
Integrale
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6. Dez. 2025
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StudySmart
@study_29
Integralrechnung ist eines der wichtigsten Themen in der Oberstufen-Mathematik und... Mehr anzeigen
Die Streifenmethode ist dein erster Schritt zum Verständnis von Integralen. Du teilst die Fläche unter einer Kurve in schmale Streifen auf und berechnest deren Gesamtfläche.
Bei der Untersumme U₄ nimmst du die kleineren Rechtecke, bei der Obersumme O₄ die größeren. Die Formel lautet: U₄ = ¼ · .
Wenn du unendlich viele Streifen verwendest, entsteht die Grenzwertbildung. Hier verwendest du die praktische Formel für die Summe der Quadratzahlen: 1² + 2² + ... + n² = n/6.
Tipp: Bei der Grenzwertbildung kannst du dir merken: Alle Terme mit n im Nenner werden zu 0, nur die konstanten Terme bleiben übrig.
Stammfunktionen sind das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die ursprüngliche Funktion. Die Grundregel ist einfach: Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch die neue Zahl.
Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³. Bei f(x) = 5x wird F(x) = 5/2 · x². Diese Regel funktioniert auch bei negativen Exponenten und Wurzeln.
Besonders wichtig sind Bruchfunktionen wie f(x) = 6/x². Schreibst du sie als 6x⁻², wird die Stammfunktion zu -6x⁻¹.
Merksatz: Die Konstante C vergisst du nie! Jede Stammfunktion hat unendlich viele Lösungen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.
Bei Anfangswertproblemen suchst du die spezielle Stammfunktion, die durch einen gegebenen Punkt geht. Du bestimmst zuerst die allgemeine Stammfunktion und setzt dann den Punkt ein, um C zu finden.
Der Hauptsatz der Integralrechnung ist dein mächtigstes Werkzeug: ∫ₐᵇ f(x)dx = ₐᵇ = F(b) - F(a). Du berechnest die Stammfunktion an der oberen Grenze minus der unteren Grenze.
Steckbriefaufgaben haben feste Übersetzungsregeln: "Punkt P(3|4)" bedeutet f(3) = 4, "Steigung bei x = 3" bedeutet f'(3) = Wert, und "Extrempunkt" bedeutet f'(x) = 0.
Praxis-Tipp: Schreibe dir die Übersetzungen für Steckbriefaufgaben auf einen Spickzettel - das spart in der Klausur wertvolle Zeit!
Wenn eine Funktion die x-Achse schneidet, musst du die Flächen getrennt berechnen. Flächen unter der x-Achse sind negativ, deshalb bildest du Beträge: |A₁| + |A₂|.
Für Flächen zwischen zwei Funktionen verwendest du ∫|f(x) - g(x)|dx. Finde zuerst die Schnittpunkte der Funktionen - das sind deine Integrationsgrenzen.
Die Differenzfunktion f(x) - g(x) zeigt dir, welche Funktion oben liegt. Ist das Ergebnis negativ, vertauschst du einfach die Funktionen oder nimmst den Betrag.
Wichtig: Zeichne dir immer eine kleine Skizze! So siehst du sofort, welche Bereiche du separat berechnen musst.
Beim Ableiten von Produkten brauchst du die Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Bei √x · leitest du beide Faktoren getrennt ab und addierst die Produkte.
Das Integrieren wird einfacher, wenn du Terme erst umformst. wird zu x² - 16, und das integrierst du problemlos zu ⅓x³ - 16x.
Bei zusammengesetzten Funktionen wie ⁵ musst du durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Hier ist die innere Ableitung 3, also teilst du zusätzlich durch 3.
Strategie: Forme komplizierte Ausdrücke immer erst um, bevor du integrierst - das spart dir viele Fehler!
Bruchfunktionen werden einfacher, wenn du sie als Potenzen mit negativen Exponenten schreibst. Aus 2/x² wird 2x⁻², und das lässt sich normal ableiten und integrieren.
Bei gemischten Brüchen teilst du jeden Term einzeln durch den Nenner. Aus /x² werden drei separate Terme: 2x + 1 - 4/x.
Das Ableiten wird dann zum Kinderspiel: Der konstante Term 1 wird zu 0, aus 2x wird 2, und aus -4/x = -4x⁻¹ wird 4x⁻².
Profi-Tipp: Schreibe Brüche immer als Potenzen um - dann kannst du alle gewohnten Regeln verwenden und machst weniger Fehler!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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StudySmart
@study_29
Integralrechnung ist eines der wichtigsten Themen in der Oberstufen-Mathematik und baut auf allem auf, was du über Funktionen gelernt hast. Du wirst verschiedene Methoden kennenlernen, um Flächen unter Kurven zu berechnen und Stammfunktionen zu finden.
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Die Streifenmethode ist dein erster Schritt zum Verständnis von Integralen. Du teilst die Fläche unter einer Kurve in schmale Streifen auf und berechnest deren Gesamtfläche.
Bei der Untersumme U₄ nimmst du die kleineren Rechtecke, bei der Obersumme O₄ die größeren. Die Formel lautet: U₄ = ¼ · .
Wenn du unendlich viele Streifen verwendest, entsteht die Grenzwertbildung. Hier verwendest du die praktische Formel für die Summe der Quadratzahlen: 1² + 2² + ... + n² = n/6.
Tipp: Bei der Grenzwertbildung kannst du dir merken: Alle Terme mit n im Nenner werden zu 0, nur die konstanten Terme bleiben übrig.
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Stammfunktionen sind das Gegenteil vom Ableiten - du suchst die ursprüngliche Funktion. Die Grundregel ist einfach: Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch die neue Zahl.
Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³. Bei f(x) = 5x wird F(x) = 5/2 · x². Diese Regel funktioniert auch bei negativen Exponenten und Wurzeln.
Besonders wichtig sind Bruchfunktionen wie f(x) = 6/x². Schreibst du sie als 6x⁻², wird die Stammfunktion zu -6x⁻¹.
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Steckbriefaufgaben haben feste Übersetzungsregeln: "Punkt P(3|4)" bedeutet f(3) = 4, "Steigung bei x = 3" bedeutet f'(3) = Wert, und "Extrempunkt" bedeutet f'(x) = 0.
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Für Flächen zwischen zwei Funktionen verwendest du ∫|f(x) - g(x)|dx. Finde zuerst die Schnittpunkte der Funktionen - das sind deine Integrationsgrenzen.
Die Differenzfunktion f(x) - g(x) zeigt dir, welche Funktion oben liegt. Ist das Ergebnis negativ, vertauschst du einfach die Funktionen oder nimmst den Betrag.
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Bruchfunktionen werden einfacher, wenn du sie als Potenzen mit negativen Exponenten schreibst. Aus 2/x² wird 2x⁻², und das lässt sich normal ableiten und integrieren.
Bei gemischten Brüchen teilst du jeden Term einzeln durch den Nenner. Aus /x² werden drei separate Terme: 2x + 1 - 4/x.
Das Ableiten wird dann zum Kinderspiel: Der konstante Term 1 wird zu 0, aus 2x wird 2, und aus -4/x = -4x⁻¹ wird 4x⁻².
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahre alles über den Definitionsbereich verschiedener Funktionstypen, einschließlich linearer, quadratischer und exponentieller Funktionen. Lerne, welche Einschränkungen bei Wurzeln und Brüchen zu beachten sind. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen, um das Verständnis der Funktionsdomänen zu fördern.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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