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18. Dez. 2025
•
sophia
@sophiabdrn
Integralrechnung ist ein mächtiges Tool, um aus Änderungsraten wieder die... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du kennst nur die Änderungsrate einer Größe, willst aber den tatsächlichen Bestand wissen. Genau das macht die Integralrechnung möglich! Wenn du zum Beispiel weißt, wie schnell Wasser in einen Tank fließt, kannst du berechnen, wie viel insgesamt drin ist.
Das Grundprinzip funktioniert über Produktsummen: Du zerlegst das Intervall in kleine Rechtecke und addierst deren Flächen. Die Untersumme und Obersumme nähern sich immer mehr an den echten Wert an, je mehr Rechtecke du verwendest.
Die Formeln sehen kompliziert aus, aber das Konzept ist einfach: . Hier teilst du das Intervall in gleiche Teile und berechnest die Rechteckflächen.
Merke dir: Je kleiner die Rechtecke werden (n gegen unendlich), desto genauer wird dein Ergebnis!
Die Stammfunktion ist das Gegenteil der Ableitung: Wenn , dann ist die Stammfunktion von . Das ist wie rückwärts rechnen - statt abzuleiten, "leitest du auf".
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht alles einfacher: . Statt mühsam unendlich viele Rechtecke zu berechnen, findest du die Stammfunktion und setzt die Grenzen ein.
Bei der Aufleitung merkst du dir die wichtigste Regel: . Das ist die Integrationskonstante - die brauchst du immer, außer bei bestimmten Integralen.
Praxis-Tipp: Wenn du einen Anfangswert hast, kannst du bestimmen und die komplette Bestandsfunktion rekonstruieren!
Ein bestimmtes Integral berechnet den orientierten Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse. "Orientiert" bedeutet: Flächen unter der x-Achse zählen negativ, die darüber positiv.
Die praktische Berechnung läuft über . Du findest die Stammfunktion, setzt die obere Grenze ein, ziehst die untere ab - fertig!
Ohne CAS musst du manchmal Grenzwerte berechnen. Das kann knifflig werden, aber die Grundidee bleibt gleich: Du näherst dich mit immer kleineren Rechtecken dem exakten Wert an.
Wichtig: Grenzwerte wie helfen dir beim Vereinfachen komplexer Ausdrücke!
Die Integrationsregeln machen dein Leben deutlich einfacher. Du kannst Konstanten vor das Integral ziehen: . Integrale addieren sich: .
Eine super praktische Regel: . Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen. Das hilft oft beim Rechnen!
Bei Integralgrenzen bestimmen setzt du das Integral gleich einem gegebenen Wert und löst nach der gesuchten Grenze auf. Das kann zu mehreren Lösungen führen - prüfe immer, welche sinnvoll sind.
Rechentrick: Bei - wenn Anfang und Ende gleich sind, ist das Integral immer null!
Eine Integralfunktion ordnet jeder Stelle den Flächeninhalt vom Startpunkt bis zu dieser Stelle zu. Sie startet immer bei null: .
Je nachdem, wo du startest $I_0$, $I_2$, $I_{-1}$, bekommst du verschiedene Funktionen. Sie unterscheiden sich nur durch eine Konstante - die Form bleibt gleich.
Graphisch entspricht die Integralfunktion der kumulierten Fläche unter der ursprünglichen Kurve. Wenn die Geschwindigkeit ist, gibt den zurückgelegten Weg an.
Visualisierung hilft: Stell dir vor, du sammelst kontinuierlich Fläche unter der Kurve - das ist deine Integralfunktion!
Für echte Flächeninhalte (immer positiv!) musst du aufpassen: Der orientierte Flächeninhalt kann negativ werden. Deshalb brauchst du - die Betragsfunktion macht alles positiv.
Praktisch bedeutet das: Finde die Nullstellen der Funktion, teile das Intervall dort auf und berechne jeden Abschnitt einzeln. Dann addierst du die Beträge: .
Im CAS kannst du direkt ∫|f(x)|dx oder ∫abs(f(x))dx eingeben. Das spart dir die mühsame Aufteilung in Teilintervalle.
CAS-Befehle merken:
solve()für Gleichungen,zeros()für Nullstellen,expand()für Grenzwerte - diese drei brauchst du ständig!
Beim Aufleiten wendest du die Potenzregel rückwärts an: Aus wird . Bei leitest du jeden Term einzeln auf: .
Für Brüche schreibst du sie als negative Potenzen: wird zu . Bei Exponentialfunktionen bleibt die Form: .
Trigonometrische Funktionen haben ihre eigenen Regeln: . Bei zusammengesetzten Funktionen wie musst du durch die innere Ableitung teilen.
Immer dran denken: Das bei unbestimmten Integralen nie vergessen - sonst sind Punkte weg!
Bei bestimmten Integralen setzt du die Grenzen in die Stammfunktion ein: . Rechne immer sorgfältig - ein Vorzeichenfehler ruiniert das ganze Ergebnis.
Manchmal ist das Ergebnis null, obwohl die Funktion nicht konstant ist. Das liegt am orientierten Flächeninhalt: Positive und negative Bereiche heben sich gegenseitig auf.
Bei Parametern im Integral setzt du alles normal ein und löst dann nach dem Parameter auf. Das führt oft zu quadratischen Gleichungen mit mehreren Lösungen.
Kontroll-Tipp: Skizziere die Funktion! So siehst du sofort, ob dein Ergebnis plausibel ist oder ob sich Bereiche aufheben.
Realitätsbezogene Aufgaben zeigen, wofür Integrale wirklich gut sind. Eine Zuflussrate wird zu einer Wassermenge durch Integration.
Die Stammfunktion gibt die gesamte Wassermenge an. Mit Anfangsbedingungen bestimmst du die Konstante - oft ist das der Anfangsbestand.
Bei Integralfunktionen in Sachkontexten interpretierst du das Ergebnis: könnte die "seit Zeitpunkt 0 geflossene Wassermenge" bedeuten.
Einheiten beachten: Wenn in Liter/Minute gegeben ist, hat die Einheit Liter - das hilft beim Verständnis!
Eine Integralfunktion sammelt kontinuierlich die "Effekte" der Funktion von 0 bis . Je nach Kontext kann das Wasser, Strecke oder Energie sein.
Die physikalische Bedeutung ist entscheidend: Ist eine Geschwindigkeit, dann ist der zurückgelegte Weg. Ist ein Zufluss, dann ist die gesammelte Menge.
Integralfunktionen starten immer bei null und "akkumulieren" dann die Werte von . Deshalb sind sie besonders nützlich bei Wachstums- und Sammelprozessen.
Denk dran: Die Integralfunktion ist wie ein Konto, auf das kontinuierlich eingezahlt (oder abgehoben) wird!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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sophia
@sophiabdrn
Integralrechnung ist ein mächtiges Tool, um aus Änderungsraten wieder die ursprünglichen Bestände zu rekonstruieren. Du lernst hier, wie du Flächen unter Kurven berechnest und dabei echte Probleme löst - von Wassermengen bis zu Geschwindigkeiten.
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Stell dir vor, du kennst nur die Änderungsrate einer Größe, willst aber den tatsächlichen Bestand wissen. Genau das macht die Integralrechnung möglich! Wenn du zum Beispiel weißt, wie schnell Wasser in einen Tank fließt, kannst du berechnen, wie viel insgesamt drin ist.
Das Grundprinzip funktioniert über Produktsummen: Du zerlegst das Intervall in kleine Rechtecke und addierst deren Flächen. Die Untersumme und Obersumme nähern sich immer mehr an den echten Wert an, je mehr Rechtecke du verwendest.
Die Formeln sehen kompliziert aus, aber das Konzept ist einfach: . Hier teilst du das Intervall in gleiche Teile und berechnest die Rechteckflächen.
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Bei der Aufleitung merkst du dir die wichtigste Regel: . Das ist die Integrationskonstante - die brauchst du immer, außer bei bestimmten Integralen.
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Ein bestimmtes Integral berechnet den orientierten Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse. "Orientiert" bedeutet: Flächen unter der x-Achse zählen negativ, die darüber positiv.
Die praktische Berechnung läuft über . Du findest die Stammfunktion, setzt die obere Grenze ein, ziehst die untere ab - fertig!
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Rechentrick: Bei - wenn Anfang und Ende gleich sind, ist das Integral immer null!
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Graphisch entspricht die Integralfunktion der kumulierten Fläche unter der ursprünglichen Kurve. Wenn die Geschwindigkeit ist, gibt den zurückgelegten Weg an.
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Praktisch bedeutet das: Finde die Nullstellen der Funktion, teile das Intervall dort auf und berechne jeden Abschnitt einzeln. Dann addierst du die Beträge: .
Im CAS kannst du direkt ∫|f(x)|dx oder ∫abs(f(x))dx eingeben. Das spart dir die mühsame Aufteilung in Teilintervalle.
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Bei Parametern im Integral setzt du alles normal ein und löst dann nach dem Parameter auf. Das führt oft zu quadratischen Gleichungen mit mehreren Lösungen.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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