Mathe 9. Klasse: Zusammenfassung zu reellen Zahlen und Strahlensatz

Reelle Zahlen und Wurzeln

Reelle Zahlen sind alle Zahlen, die du dir vorstellen kannst - von natürlichen Zahlen bis zu irrationalen wie π. Die Zahlenmenge IR enthält alles: natürliche Zahlen (N), ganze Zahlen (Z), rationale Zahlen (Q) und irrationale Zahlen $IR\Q$.

Bei Funktionen sind Definitionsmenge (was du für x einsetzen darfst) und Wertemenge (was rauskommen kann) mega wichtig. Beispiel: Bei D = R{3} darfst du alles außer 3 einsetzen.

Wurzeln löst du mit den Potenzgesetzen: √x = x^$1/2$. Beim Rechnen mit Wurzeln kannst du sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren - aber Achtung: Der Radikant (die Zahl unter der Wurzel) darf nie negativ sein!

Merktipp: Wurzeln und Potenzen heben sich gegenseitig auf - das ist dein Schlüssel zum Lösen!

Quadratische Funktionen und Mitternachtsformel

Quadratische Funktionen haben drei wichtige Formen, die dir verschiedene Infos geben. Die Normalform ax²+bx+c ist perfekt für die Mitternachtsformel, die Scheitelpunktform a$x-xs$²+ys zeigt dir sofort den Scheitel, und die Nullstellenform ax-x₁$$x-x₂ verrät die Nullstellen.

Der Streckfaktor a entscheidet alles: +a öffnet nach oben, -a nach unten. Bei |a| > 1 wird die Parabel schmaler, bei |a| < 1 breiter als die Normalparabel.

Die Mitternachtsformel x = $-b±√(b²-4ac)$/(2a) ist dein Allheilmittel für quadratische Gleichungen. Die Diskriminante b²-4ac sagt dir: D < 0 = keine Lösung, D = 0 = eine Lösung, D > 0 = zwei Lösungen.

Gebrochene rationale Funktionen (Hyperbeln) haben die Form a/$x-b$ + c, wobei b die senkrechte und c die waagerechte Asymptote bestimmt.

Pro-Tipp: Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort Verschiebungen - nach rechts bei +xs, nach oben bei +ys!

Strahlensätze und Ähnlichkeit

Strahlensätze helfen dir bei der V-Figur und X-Figur unbekannte Strecken zu berechnen. Das Verhältnis der entsprechenden Strecken ist immer gleich: a/a₁ = b/b₁ = c/c₁.

Ähnliche Figuren entstehen durch Vergrößern oder Verkleinern - alle Winkel bleiben gleich, nur die Streckenverhältnisse ändern sich um den Ähnlichkeitsfaktor k. Bei Strecken multiplizierst du mit k, bei Flächen mit k², bei Volumina mit k³.

Kongruente Figuren sind deckungsgleich - alle Seiten und Winkel sind identisch. Die Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SSW) gelten nur bei Dreiecken und helfen dir zu prüfen, ob zwei Dreiecke kongruent sind.

Schnittpunkte von Funktionen findest du, indem du beide Terme gleichsetzt und nach x auflöst. Dann setzt du x in einen der ursprünglichen Terme ein, um y zu berechnen.

Faustregel: Kongruent = deckungsgleich, ähnlich = gleiche Form, verschiedene Größe!

Wahrscheinlichkeit und Trigonometrie

Wahrscheinlichkeiten berechnest du mit relativer Häufigkeit P = H/n (als Prozent) oder absoluter Häufigkeit. Vierfeldertafeln und Mengendiagramme helfen dir bei verknüpften Ereignissen - A∩B bedeutet "beide Ereignisse", A∪B bedeutet "mindestens eins".

Der Satz des Pythagoras a² + b² = c² funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Damit berechnest du Hypotenusen, Katheten oder Diagonalen.

Trigonometrie brauchst du für alle anderen Dreiecke: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete. Der Sinussatz a/sin α = b/sin β = c/sin γ und Kosinussatz a² = b² + c² - 2bc·cos α lösen beliebige Dreiecke.

Diese Formeln sind deine Werkzeuge für komplexere Berechnungen in der Geometrie!

Eselsbrücke: SIN = Seite INnen, COS = COSeite, TAN = TANgiert beide Katheten!