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Kurvendiskussion Klausur für die E2: Verbesserte Lösungen

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@nicknameMUSH

4.12.2025

Mathe

Kurvendiskussion Klausur

2.780

4. Dez. 2025

8 Seiten

Kurvendiskussion Klausur für die E2: Verbesserte Lösungen

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@nicknameMUSH

@nicknamemush

Diese Mathe-Klausur aus der E-Phase zeigt dir alles, was du... Mehr anzeigen

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+

Nullstellen und Schnittpunkte berechnen

Nullstellen zu finden ist eigentlich ganz einfach, wenn du das System verstehst. Bei der Funktion f(x) = ⅓x³ - 2,5x² + 3x setzt du einfach f(x) = 0 und klammerst erstmal x aus.

Das gibt dir: 0 = xx22,5x+3⅓x² - 2,5x + 3. Jetzt hast du schon die erste Nullstelle bei x = 0. Für die anderen beiden Nullstellen nutzt du die p-q-Formel oder Mitternachtsformel.

Nach dem Rechnen bekommst du drei Nullstellen: x₁ = 0, x₂ = 1,5 und x₃ = 6. Der Steigungswinkel an der ersten Nullstelle wird über die erste Ableitung bestimmt: f'(0) = 3, also α = arctan(3) ≈ 71,57°.

Merktipp: Beim Ausklammern von x bekommst du immer x = 0 als eine Nullstelle geschenkt!

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+

Extremstellen und h-Methode

Extremstellen findest du, indem du die erste Ableitung gleich null setzt und dann mit der zweiten Ableitung prüfst, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Bei f'(x) = 0 und f''(x) > 0 hast du einen Tiefpunkt, bei f''(x) < 0 einen Hochpunkt.

Die h-Methode zur Ableitung ist die mathematische Grundlage für alle Ableitungsregeln. Der typische Fehler in der Aufgabe war ein Vorzeichenfehler - pass also immer auf die Klammern auf!

Bei der Funktion f(x) = 0,25x⁴ - 2x² findest du drei Extremstellen: einen Hochpunkt bei (0|0) und zwei Tiefpunkte bei (-2|-4) und (2|-4). Das erkennst du daran, dass f''(0) = -4 < 0 und f''(±2) = 8 > 0.

Prüftipp: Zeichne dir immer schnell eine Skizze - dann siehst du sofort, ob deine Ergebnisse Sinn machen!

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+

Wendepunkte und Wendetangente

Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung: f''(x) = 0 setzen und lösen. Bei unserer Funktion ist das bei x = 2,5. Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.

Die Wendetangente ist einfach die Tangente, die durch den Wendepunkt geht. Du brauchst die Steigung aus der ersten Ableitung an der Wendestelle: f'(2,5) = -3,25. Mit der Punkt-Steigung-Form bekommst du: t(x) = -3,25x + 5,125.

Ein Wendepunkt zeigt an, wo sich die Krümmung der Funktion ändert - von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder umgekehrt. Das ist besonders wichtig für das Verständnis von Funktionsverläufen.

Wendepunkt-Check: Links und rechts vom Wendepunkt muss die Krümmung unterschiedlich sein!

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+

Anwendung: Turmspringen

Realitätsbezogene Aufgaben wie das Turmspringen zeigen dir, warum Mathe wichtig ist. Die Funktion h(t) = -5t² + 10 beschreibt die Höhe eines Springers über der Zeit.

Nach einer Sekunde ist der Springer noch 5 Meter über dem Wasser: h(1) = 5m. Um herauszufinden, wann er ins Wasser eintaucht, setzt du h(t) = 0 und bekommst t = √2 ≈ 1,41 Sekunden.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnest du als mittlere Steigung zwischen Start und Landung: etwa -7,1 m/s. Die Momentangeschwindigkeit beim Eintauchen kriegst du über die Ableitung h'(t) = -10t, also h'(1,41) = -14,1 m/s.

Physik-Tipp: Das Minuszeichen zeigt die Richtung an - der Springer bewegt sich nach unten!

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+
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a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
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AL
8 8
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·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+
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f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
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·x³2,5x² + 3x
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x (3x 2 - 2,5x+
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a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
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·x³2,5x² + 3x
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x (3x 2 - 2,5x+


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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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4.9/5

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathe

2.780

4. Dez. 2025

8 Seiten

Kurvendiskussion Klausur für die E2: Verbesserte Lösungen

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Diese Mathe-Klausur aus der E-Phase zeigt dir alles, was du über Funktionsanalyse und Ableitungen wissen musst. Du lernst hier, wie du Nullstellen findest, Extrempunkte berechnest und sogar echte Anwendungen wie beim Turmspringen löst.

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MATHEMATIK
Hilfsmittelgestützter Teil
Aufgabe 4
a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
O
0 = x₁
3
AL
8 8
=
·x³2,5x² + 3x
=
x (3x 2 - 2,5x+

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Nullstellen und Schnittpunkte berechnen

Nullstellen zu finden ist eigentlich ganz einfach, wenn du das System verstehst. Bei der Funktion f(x) = ⅓x³ - 2,5x² + 3x setzt du einfach f(x) = 0 und klammerst erstmal x aus.

Das gibt dir: 0 = xx22,5x+3⅓x² - 2,5x + 3. Jetzt hast du schon die erste Nullstelle bei x = 0. Für die anderen beiden Nullstellen nutzt du die p-q-Formel oder Mitternachtsformel.

Nach dem Rechnen bekommst du drei Nullstellen: x₁ = 0, x₂ = 1,5 und x₃ = 6. Der Steigungswinkel an der ersten Nullstelle wird über die erste Ableitung bestimmt: f'(0) = 3, also α = arctan(3) ≈ 71,57°.

Merktipp: Beim Ausklammern von x bekommst du immer x = 0 als eine Nullstelle geschenkt!

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Extremstellen findest du, indem du die erste Ableitung gleich null setzt und dann mit der zweiten Ableitung prüfst, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Bei f'(x) = 0 und f''(x) > 0 hast du einen Tiefpunkt, bei f''(x) < 0 einen Hochpunkt.

Die h-Methode zur Ableitung ist die mathematische Grundlage für alle Ableitungsregeln. Der typische Fehler in der Aufgabe war ein Vorzeichenfehler - pass also immer auf die Klammern auf!

Bei der Funktion f(x) = 0,25x⁴ - 2x² findest du drei Extremstellen: einen Hochpunkt bei (0|0) und zwei Tiefpunkte bei (-2|-4) und (2|-4). Das erkennst du daran, dass f''(0) = -4 < 0 und f''(±2) = 8 > 0.

Prüftipp: Zeichne dir immer schnell eine Skizze - dann siehst du sofort, ob deine Ergebnisse Sinn machen!

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Die Wendetangente ist einfach die Tangente, die durch den Wendepunkt geht. Du brauchst die Steigung aus der ersten Ableitung an der Wendestelle: f'(2,5) = -3,25. Mit der Punkt-Steigung-Form bekommst du: t(x) = -3,25x + 5,125.

Ein Wendepunkt zeigt an, wo sich die Krümmung der Funktion ändert - von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder umgekehrt. Das ist besonders wichtig für das Verständnis von Funktionsverläufen.

Wendepunkt-Check: Links und rechts vom Wendepunkt muss die Krümmung unterschiedlich sein!

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Hilfsmittelgestützter Teil
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a
f(0) = 3·0²³ - 2,5-0² +3.0
f(x) = 0
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Anwendung: Turmspringen

Realitätsbezogene Aufgaben wie das Turmspringen zeigen dir, warum Mathe wichtig ist. Die Funktion h(t) = -5t² + 10 beschreibt die Höhe eines Springers über der Zeit.

Nach einer Sekunde ist der Springer noch 5 Meter über dem Wasser: h(1) = 5m. Um herauszufinden, wann er ins Wasser eintaucht, setzt du h(t) = 0 und bekommst t = √2 ≈ 1,41 Sekunden.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnest du als mittlere Steigung zwischen Start und Landung: etwa -7,1 m/s. Die Momentangeschwindigkeit beim Eintauchen kriegst du über die Ableitung h'(t) = -10t, also h'(1,41) = -14,1 m/s.

Physik-Tipp: Das Minuszeichen zeigt die Richtung an - der Springer bewegt sich nach unten!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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