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24. Dez. 2025
•
tarja
@tarjaa._
Die Differentialrechnung ist ein super wichtiges Werkzeug in der Analysis,... Mehr anzeigen
Die mittlere Änderungsrate zeigt dir, wie steil ein Funktionsabschnitt im Durchschnitt ist - genau wie die Sekantensteigung, die durch zwei Punkte geht. Den berechnest du mit der Formel: m = /, auch Differenzenquotient genannt.
Viel spannender ist die momentane Änderungsrate: Sie gibt dir die exakte Steigung an einem einzelnen Punkt. Das machst du mit der Tangentensteigung, die den Graph nur einmal berührt. Diese findest du über den Differentialquotient - also die erste Ableitung.
Beim Ableiten brauchst du drei wichtige Regeln: Die Potenzregel , die Faktorregel (Konstanten bleiben stehen) und die Summenregel (jeder Summand wird einzeln abgeleitet).
Merktipp: Die erste Ableitung gibt die Steigung, die zweite die Krümmung und die dritte zeigt Wendestellen an!
Für die Tangentengleichung setzt du erst den x-Wert in f(x) ein, leitest ab, bestimmst die Steigung m und rechnest dann y = mx + n.
Hoch- und Tiefpunkte findest du mega einfach: Erste Ableitung bilden, f'(x) = 0 setzen und die Nullstellen bestimmen. Dann checkst du mit Werten links und rechts der Nullstelle oder mit der zweiten Ableitung, was es ist.
Bei der Vorzeichenprobe gilt: + nach - = Hochpunkt, - nach + = Tiefpunkt. Mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 = Hochpunkt, f''(x) > 0 = Tiefpunkt.
Wendepunkte kriegst du durch die zweite Ableitung: f''(x) = 0 setzen und in die dritte Ableitung einsetzen. f'''(x) > 0 bedeutet rechts-links-Wendung, f'''(x) < 0 bedeutet links-rechts-Wendung.
Profi-Tipp: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente - also wenn f'(x) = 0 und f''(x) = 0 gleichzeitig!
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 = linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 = rechtsgekrümmt (wie ein Frown). Easy!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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tarja
@tarjaa._
Die Differentialrechnung ist ein super wichtiges Werkzeug in der Analysis, mit dem du alles über Funktionen herausfinden kannst - von der Steigung bis zu Hoch- und Tiefpunkten. Es klingt kompliziert, aber mit den richtigen Formeln und Schritten kriegst du das... Mehr anzeigen
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Die mittlere Änderungsrate zeigt dir, wie steil ein Funktionsabschnitt im Durchschnitt ist - genau wie die Sekantensteigung, die durch zwei Punkte geht. Den berechnest du mit der Formel: m = /, auch Differenzenquotient genannt.
Viel spannender ist die momentane Änderungsrate: Sie gibt dir die exakte Steigung an einem einzelnen Punkt. Das machst du mit der Tangentensteigung, die den Graph nur einmal berührt. Diese findest du über den Differentialquotient - also die erste Ableitung.
Beim Ableiten brauchst du drei wichtige Regeln: Die Potenzregel , die Faktorregel (Konstanten bleiben stehen) und die Summenregel (jeder Summand wird einzeln abgeleitet).
Merktipp: Die erste Ableitung gibt die Steigung, die zweite die Krümmung und die dritte zeigt Wendestellen an!
Für die Tangentengleichung setzt du erst den x-Wert in f(x) ein, leitest ab, bestimmst die Steigung m und rechnest dann y = mx + n.
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Hoch- und Tiefpunkte findest du mega einfach: Erste Ableitung bilden, f'(x) = 0 setzen und die Nullstellen bestimmen. Dann checkst du mit Werten links und rechts der Nullstelle oder mit der zweiten Ableitung, was es ist.
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Wendepunkte kriegst du durch die zweite Ableitung: f''(x) = 0 setzen und in die dritte Ableitung einsetzen. f'''(x) > 0 bedeutet rechts-links-Wendung, f'''(x) < 0 bedeutet links-rechts-Wendung.
Profi-Tipp: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente - also wenn f'(x) = 0 und f''(x) = 0 gleichzeitig!
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 = linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 = rechtsgekrümmt (wie ein Frown). Easy!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie, wie man die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion berechnet, indem man die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten ermittelt. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Änderungsrate anhand eines Beispiels mit der Funktion f(x) = 0,5x² und erklärt die Konzepte von Endwert, Anfangswert und Intervall. Ideal für Studierende, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt den Differenzenquotienten, die Ableitung und die mittlere Änderungsrate einer Funktion. Erfahren Sie, wie man die Sekantensteigung berechnet und die momentane Änderungsrate an einem Punkt bestimmt. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Differentialrechnung vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Funktionsuntersuchung im Sachzusammenhang, einschließlich der momentanen und mittleren Änderungsrate sowie des Differenzenquotienten. Erfahren Sie, wie die erste und zweite Ableitung die Steigung und das Verhalten von Funktionen bestimmen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.
MatheErfahren Sie alles über die mittlere und lokale Änderungsrate in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definitionen, Berechnungen und Beispiele zur Ableitung und dem Differenzquotienten. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheVertiefte Lerninhalte zu Extremwertaufgaben, Steckbriefaufgaben, Gauß-Algorithmus und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu den Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung, einschließlich der Bestimmung von Funktionswerten und der Analyse von Kurvenverläufen. Ideal für die Vorbereitung auf Matheprüfungen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Konzepte der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate, einschließlich der Berechnung der mittleren Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Er erklärt den differentialen Quotienten und dessen Anwendung in der Mathematik. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Lena M
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