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annika 🤍
4.12.2025
Mathe
Lernzettel Integralrechnung
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4. Dez. 2025
•
annika 🤍
@annika_m
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung - während du... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du kennst die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt und willst wissen, wie weit es insgesamt gefahren ist. Genau das macht die Integralrechnung - sie berechnet aus einer Änderungsratenfunktion die Gesamtänderung.
Praktisch bedeutet das: Du berechnest die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Mit Geogebra geht das super einfach, aber du solltest auch verstehen, wie es mathematisch funktioniert.
Ohne digitale Hilfsmittel verwendest du Ober- und Untersummen. Dabei teilst du die Fläche in viele Rechtecke auf - bei der Obersumme ist das Ergebnis etwas zu groß, bei der Untersumme etwas zu klein. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis.
Der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). Dabei ist F die Stammfunktion von f. Um eine Stammfunktion zu finden, erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.
Merktipp: Die Integralrechnung "macht" die Ableitung rückgängig - deshalb heißt sie auch "Umkehrung der Differentialrechnung".
Wenn du Integrale annähernd berechnen willst, teilst du die Fläche in Rechtecke auf. Das Coole daran: Du siehst sofort, dass dein echter Wert zwischen Ober- und Untersumme liegt. Je mehr Rechtecke, desto genauer dein Ergebnis.
Bei der orientierten Fläche sind Bereiche oberhalb der x-Achse positiv, unterhalb negativ - sie können sich also gegenseitig aufheben. Die Gesamtfläche dagegen ist immer positiv, weil du negative Bereiche als Betrag nimmst.
Willst du die Schnittfläche zwischen zwei Graphen berechnen? Erst die Schnittpunkte finden, dann A = ∫ˣ¹ˣ² dx rechnen. Für den Mittelwert einer Funktion gilt: M = 1/ · ∫ᵃᵇ f(x)dx.
Uneigentliche Integrale haben unbeschränkte Grenzen (wie ∞). Du ersetzt die kritische Grenze durch eine Variable z und prüfst dann das Grenzwertverhalten. Klingt kompliziert, ist aber nur ein zusätzlicher Schritt.
Praxistipp: Bei Klausuraufgaben immer erst überlegen, ob du die orientierte Fläche oder die Gesamtfläche brauchst - das entscheidet über dein Vorgehen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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annika 🤍
@annika_m
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung - während du bei der Ableitung die Änderungsrate findest, berechnest du beim Integrieren die Gesamtänderung. Im Prinzip suchst du die Fläche unter einer Kurve, was super praktisch für viele Alltagsprobleme ist.
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Stell dir vor, du kennst die Geschwindigkeit eines Autos zu jedem Zeitpunkt und willst wissen, wie weit es insgesamt gefahren ist. Genau das macht die Integralrechnung - sie berechnet aus einer Änderungsratenfunktion die Gesamtänderung.
Praktisch bedeutet das: Du berechnest die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Mit Geogebra geht das super einfach, aber du solltest auch verstehen, wie es mathematisch funktioniert.
Ohne digitale Hilfsmittel verwendest du Ober- und Untersummen. Dabei teilst du die Fläche in viele Rechtecke auf - bei der Obersumme ist das Ergebnis etwas zu groß, bei der Untersumme etwas zu klein. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird dein Ergebnis.
Der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫ᵃᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). Dabei ist F die Stammfunktion von f. Um eine Stammfunktion zu finden, erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.
Merktipp: Die Integralrechnung "macht" die Ableitung rückgängig - deshalb heißt sie auch "Umkehrung der Differentialrechnung".
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Wenn du Integrale annähernd berechnen willst, teilst du die Fläche in Rechtecke auf. Das Coole daran: Du siehst sofort, dass dein echter Wert zwischen Ober- und Untersumme liegt. Je mehr Rechtecke, desto genauer dein Ergebnis.
Bei der orientierten Fläche sind Bereiche oberhalb der x-Achse positiv, unterhalb negativ - sie können sich also gegenseitig aufheben. Die Gesamtfläche dagegen ist immer positiv, weil du negative Bereiche als Betrag nimmst.
Willst du die Schnittfläche zwischen zwei Graphen berechnen? Erst die Schnittpunkte finden, dann A = ∫ˣ¹ˣ² dx rechnen. Für den Mittelwert einer Funktion gilt: M = 1/ · ∫ᵃᵇ f(x)dx.
Uneigentliche Integrale haben unbeschränkte Grenzen (wie ∞). Du ersetzt die kritische Grenze durch eine Variable z und prüfst dann das Grenzwertverhalten. Klingt kompliziert, ist aber nur ein zusätzlicher Schritt.
Praxistipp: Bei Klausuraufgaben immer erst überlegen, ob du die orientierte Fläche oder die Gesamtfläche brauchst - das entscheidet über dein Vorgehen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, die Eigenschaften bestimmter Integrale, die Berechnung von Flächen zwischen Kurven und die Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Mathematikstudierende, die sich auf Klausuren vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Rechenregeln der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter Graphen und der Bestimmung von Stammfunktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu den Regeln der Integration, dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Flächenbilanz zwischen Funktionen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen mithilfe bestimmter Integrale. Sie umfasst die Bestimmung der Schnittpunkte, die Berechnung der Nullstellen und die Anwendung von Integralen zur Flächenbestimmung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integralrechnung und Flächenberechnung beschäftigen.
MatheVertiefende Übungen zur Integralrechnung für die 12. Klasse. Behandelt werden die Streifenmethode, Nullstellenberechnung, unbestimmte und bestimmte Integrale sowie die Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen. Ideal zur Vorbereitung auf Klausuren. Themen: Obersumme, Untersumme, Trapezsumme, und Rekonstruktionsaufgaben.
MatheErfahren Sie alles über Integrale und Stammfunktionen in der Integralrechnung. Dieser Überblick behandelt die Berechnung von Flächeninhalten und Rauminhalten, die Rekonstruktion von Größen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit den Grundlagen der Integralrechnung und den Regeln der Integration vertraut machen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich bestimmter und unbestimmter Integrale, Stammfunktionen, Produktsummen und der Flächeninhaltsfunktion. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung des Hauptsatzes der Integralrechnung und der Berechnung von Flächen zwischen Graphen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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