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21. Dez. 2025
•
Melina
@melina_iltn
Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen... Mehr anzeigen
Das Arbeiten mit Punkten im 3D-Koordinatensystem ist der erste Schritt zum Verständnis von Vektoren. Du trägst Punkte wie A(1|3|2) ein, indem du die x-, y- und z-Koordinaten in der richtigen Reihenfolge abliest.
Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: . Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.
Ein praktisches Beispiel: Für A(2|3|4) und B(3|5|2) rechnest du . So einfach ist das!
Tipp: Vergiss nicht, zuerst die Differenzen zu berechnen, dann zu quadrieren und erst am Ende die Wurzel zu ziehen.
Den Mittelpunkt einer Strecke findest du durch: . Du addierst einfach die entsprechenden Koordinaten und teilst durch 2.
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - das ist ihr wichtigster Job. Ein Verbindungsvektor verschiebt Punkt A genau auf Punkt B und wird berechnet durch: .
Merke dir: Bei ziehst du immer die Koordinaten des ersten Punktes von denen des zweiten ab. So kommst du von X nach Y.
Eselsbrücke: "Endpunkt minus Anfangspunkt" - das klappt immer!
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: . Das ist quasi der Abstand vom Nullpunkt zum Endpunkt des Vektors.
Bei der Addition von Vektoren addierst du einfach komponentenweise: .
Die Multiplikation mit einer reellen Zahl verändert die Länge des Vektors: . Positive Zahlen behalten die Richtung, negative kehren sie um.
Merkhilfe: Ein Vektor mal 2 wird doppelt so lang, mal -1 dreht er sich um 180°.
Linearkombinationen wie entstehen durch Addition von skalierten Vektoren. Du multiplizierst jeden Vektor mit seiner Zahl und addierst dann.
Eine Gerade in Parameterform hat die Form . Dabei ist der Stützvektor (zeigt zu einem Punkt auf der Gerade) und der Richtungsvektor (gibt die Richtung an).
Um eine Gerade zu zeichnen, bestimmst du die Spurpunkte - dort, wo die Gerade die Koordinatenebenen schneidet. Setze eine Koordinate auf 0 und löse nach dem Parameter t auf.
Praxistipp: Für Spurpunkte: bedeutet , bedeutet , usw.
Aus zwei Punkten eine Gerade bestimmen ist straightforward: Wähle einen Punkt als Stützvektor und bilde den Verbindungsvektor als Richtungsvektor.
Für P(2|4|3) und Q(3|6|2) nimmst du: . Der Richtungsvektor ist .
Du kannst verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade schreiben, indem du den Richtungsvektor mit einer Zahl multiplizierst oder einen anderen Punkt als Stützvektor wählst.
Flexibilität nutzen: Jede Gerade hat unendlich viele korrekte Parameterdarstellungen!
Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Geradengleichung ein. Alle drei Gleichungen müssen denselben Parameterwert t liefern.
Bei der Parallelitätsprüfung vergleichst du die Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel.
Für Gleichheit müssen die Geraden parallel sein UND ein Punkt der einen Gerade muss auch auf der anderen liegen. Setze dazu die Geradengleichungen gleich und prüfe, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
Systematisch vorgehen: Erst Parallelität prüfen, dann bei parallelen Geraden die Gleichheit testen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Melina
@melina_iltn
Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen Raum zu beschreiben. In dieser Zusammenfassung lernst du alles, was du für deine Klausur brauchst - von den Grundlagen bis hin zu Geraden im Raum.
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Das Arbeiten mit Punkten im 3D-Koordinatensystem ist der erste Schritt zum Verständnis von Vektoren. Du trägst Punkte wie A(1|3|2) ein, indem du die x-, y- und z-Koordinaten in der richtigen Reihenfolge abliest.
Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: . Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.
Ein praktisches Beispiel: Für A(2|3|4) und B(3|5|2) rechnest du . So einfach ist das!
Tipp: Vergiss nicht, zuerst die Differenzen zu berechnen, dann zu quadrieren und erst am Ende die Wurzel zu ziehen.
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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich orthogonaler Vektoren, linearer Kombinationen, kollinearer Vektoren und des Skalarprodukts. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Formeln, um das Verständnis der Vektoroperationen zu vertiefen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Punkte im Raum, Vektoreigenschaften und lineare Kombinationen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über das 3D-Koordinatensystem, Kollinearität und Vektoroperationen. Ideal für Studierende, die sich auf analytische Geometrie vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich linearer Abhängigkeit, Kollinearität, Vektoroperationen und der Berechnung von Abständen im Raum. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Parameterform von Geraden, der Punktprobe und der Eigenschaften orthogonaler Linien. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über Vektoren vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Orthogonalität von Vektoren, die Kollinearität, die Aufstellung von Geraden und die Berechnung von Winkeln zwischen Schnittgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der räumlichen Positionierung vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über orthogonale Vektoren, das Skalarprodukt und deren Eigenschaften. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Orthogonalität, die Berechnung des Skalarprodukts und Beispiele zur Überprüfung der Orthogonalität von Vektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung: Orthogonalität, Kollinearität, Schnittwinkel und die Position von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Linearkombinationen, Nullvektoren, Normalvektoren und mehr. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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