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1.823
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20. Jan. 2026
•
Melina
@melina_iltn
Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen... Mehr anzeigen
Das Arbeiten mit Punkten im 3D-Koordinatensystem ist der erste Schritt zum Verständnis von Vektoren. Du trägst Punkte wie A(1|3|2) ein, indem du die x-, y- und z-Koordinaten in der richtigen Reihenfolge abliest.
Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: . Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.
Ein praktisches Beispiel: Für A(2|3|4) und B(3|5|2) rechnest du . So einfach ist das!
Tipp: Vergiss nicht, zuerst die Differenzen zu berechnen, dann zu quadrieren und erst am Ende die Wurzel zu ziehen.
Den Mittelpunkt einer Strecke findest du durch: . Du addierst einfach die entsprechenden Koordinaten und teilst durch 2.
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - das ist ihr wichtigster Job. Ein Verbindungsvektor verschiebt Punkt A genau auf Punkt B und wird berechnet durch: .
Merke dir: Bei ziehst du immer die Koordinaten des ersten Punktes von denen des zweiten ab. So kommst du von X nach Y.
Eselsbrücke: "Endpunkt minus Anfangspunkt" - das klappt immer!
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: . Das ist quasi der Abstand vom Nullpunkt zum Endpunkt des Vektors.
Bei der Addition von Vektoren addierst du einfach komponentenweise: .
Die Multiplikation mit einer reellen Zahl verändert die Länge des Vektors: $2 \cdot \begin{pmatrix} 2\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\6 \end{pmatrix}$. Positive Zahlen behalten die Richtung, negative kehren sie um.
Merkhilfe: Ein Vektor mal 2 wird doppelt so lang, mal -1 dreht er sich um 180°.
Linearkombinationen wie entstehen durch Addition von skalierten Vektoren. Du multiplizierst jeden Vektor mit seiner Zahl und addierst dann.
Eine Gerade in Parameterform hat die Form . Dabei ist der Stützvektor (zeigt zu einem Punkt auf der Gerade) und der Richtungsvektor (gibt die Richtung an).
Um eine Gerade zu zeichnen, bestimmst du die Spurpunkte - dort, wo die Gerade die Koordinatenebenen schneidet. Setze eine Koordinate auf 0 und löse nach dem Parameter t auf.
Praxistipp: Für Spurpunkte: bedeutet , bedeutet , usw.
Aus zwei Punkten eine Gerade bestimmen ist straightforward: Wähle einen Punkt als Stützvektor und bilde den Verbindungsvektor als Richtungsvektor.
Für P(2|4|3) und Q(3|6|2) nimmst du: . Der Richtungsvektor ist .
Du kannst verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade schreiben, indem du den Richtungsvektor mit einer Zahl multiplizierst oder einen anderen Punkt als Stützvektor wählst.
Flexibilität nutzen: Jede Gerade hat unendlich viele korrekte Parameterdarstellungen!
Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Geradengleichung ein. Alle drei Gleichungen müssen denselben Parameterwert t liefern.
Bei der Parallelitätsprüfung vergleichst du die Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel.
Für Gleichheit müssen die Geraden parallel sein UND ein Punkt der einen Gerade muss auch auf der anderen liegen. Setze dazu die Geradengleichungen gleich und prüfe, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
Systematisch vorgehen: Erst Parallelität prüfen, dann bei parallelen Geraden die Gleichheit testen.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Xander S
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Elisha
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Paul T
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Melina
@melina_iltn
Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen Raum zu beschreiben. In dieser Zusammenfassung lernst du alles, was du für deine Klausur brauchst - von den Grundlagen bis hin zu Geraden im Raum.
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Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über Vektoren, Geraden und Ebenen auf Grundkursniveau. Sie behandelt wichtige Konzepte wie Skalarprodukt, Orthogonalität, Kollinearität, Geradengleichungen und Ebenengleichungen. Ideal für das Verständnis von räumlichen Beziehungen und geometrischen Eigenschaften. Enthält Merksätze, Regeln und Definitionen zur Unterstützung des Lernprozesses.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren und Punkte im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Parametergleichung einer Geraden, die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Abständen sowie die Konzepte der Kollinearität und Linearkombinationen. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Punkte im Raum, Vektoreigenschaften und lineare Kombinationen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über das 3D-Koordinatensystem, Kollinearität und Vektoroperationen. Ideal für Studierende, die sich auf analytische Geometrie vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Konzepte von Vektoren, Abständen zwischen Punkten, Linearkombinationen und Kollinearität. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Berechnung von Vektorlängen, dem Mittelpunkt einer Strecke und den Bedingungen für Kollinearität. Ideal für Studierende der Multivariablen Analysis.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Lage von Geraden im Raum, einschließlich der Konzepte von parallelen und identischen Linien sowie windschiefen Geraden. Die Aufgaben auf Seite 155 (1a/b und 3a/b) werden detailliert analysiert, um die Richtungsvektoren und deren Beziehungen zu verstehen. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und räumliche Positionierung vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Elisha
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