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Vektorrechnung

Winkel zwischen zwei vektoren

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30. Nov. 2025

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Vektoren Lernen Leicht Gemacht - Schülerguide

M

Melina

@melina_iltn

Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen... Mehr anzeigen

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Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Koordinatensystem und Abstände

Das Arbeiten mit Punkten im 3D-Koordinatensystem ist der erste Schritt zum Verständnis von Vektoren. Du trägst Punkte wie A(1|3|2) ein, indem du die x-, y- und z-Koordinaten in der richtigen Reihenfolge abliest.

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: d=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2d = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}. Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.

Ein praktisches Beispiel: Für A(2|3|4) und B(3|5|2) rechnest du d=(3−2)2+(5−3)2+(2−4)2=1+4+4=3d = \sqrt{(3-2)^2 + (5-3)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3. So einfach ist das!

Tipp: Vergiss nicht, zuerst die Differenzen zu berechnen, dann zu quadrieren und erst am Ende die Wurzel zu ziehen.

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Mittelpunkte und Vektoren verstehen

Den Mittelpunkt einer Strecke findest du durch: M(a1+b12,a2+b22,a3+b32)M(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}, \frac{a_3+b_3}{2}). Du addierst einfach die entsprechenden Koordinaten und teilst durch 2.

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - das ist ihr wichtigster Job. Ein Verbindungsvektor AB→\overrightarrow{AB} verschiebt Punkt A genau auf Punkt B und wird berechnet durch: AB→=(b1−a1\b2−a2\b3−a3)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1-a_1\b_2-a_2\b_3-a_3 \end{pmatrix}.

Merke dir: Bei XY→\overrightarrow{XY} ziehst du immer die Koordinaten des ersten Punktes von denen des zweiten ab. So kommst du von X nach Y.

Eselsbrücke: "Endpunkt minus Anfangspunkt" - das klappt immer!

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Vektorrechnung meistern

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. Das ist quasi der Abstand vom Nullpunkt zum Endpunkt des Vektors.

Bei der Addition von Vektoren addierst du einfach komponentenweise: (1\2\3)+(1\3\2)=(2\5\5)\begin{pmatrix} 1\2\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\3\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\5\5 \end{pmatrix}.

Die Multiplikation mit einer reellen Zahl verändert die Länge des Vektors: 2⋅(2\3)=(4\6)2 \cdot \begin{pmatrix} 2\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\6 \end{pmatrix}. Positive Zahlen behalten die Richtung, negative kehren sie um.

Merkhilfe: Ein Vektor mal 2 wird doppelt so lang, mal -1 dreht er sich um 180°.

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Linearkombinationen und Geraden

Linearkombinationen wie r⃗=αa⃗+βb⃗\vec{r} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} entstehen durch Addition von skalierten Vektoren. Du multiplizierst jeden Vektor mit seiner Zahl und addierst dann.

Eine Gerade in Parameterform hat die Form g⃗=p⃗+tv⃗\vec{g} = \vec{p} + t\vec{v}. Dabei ist p⃗\vec{p} der Stützvektor (zeigt zu einem Punkt auf der Gerade) und v⃗\vec{v} der Richtungsvektor (gibt die Richtung an).

Um eine Gerade zu zeichnen, bestimmst du die Spurpunkte - dort, wo die Gerade die Koordinatenebenen schneidet. Setze eine Koordinate auf 0 und löse nach dem Parameter t auf.

Praxistipp: Für Spurpunkte: Sx1x2S_{x_1x_2} bedeutet x3=0x_3 = 0, Sx1x3S_{x_1x_3} bedeutet x2=0x_2 = 0, usw.

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Geraden aus Punkten konstruieren

Aus zwei Punkten eine Gerade bestimmen ist straightforward: Wähle einen Punkt als Stützvektor und bilde den Verbindungsvektor als Richtungsvektor.

Für P(2|4|3) und Q(3|6|2) nimmst du: g⃗=(2\4\3)+t(1\2\-1)\vec{g} = \begin{pmatrix} 2\4\3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\2\-1 \end{pmatrix}. Der Richtungsvektor ist PQ→=(1\2\-1)\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1\2\-1 \end{pmatrix}.

Du kannst verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade schreiben, indem du den Richtungsvektor mit einer Zahl multiplizierst oder einen anderen Punkt als Stützvektor wählst.

Flexibilität nutzen: Jede Gerade hat unendlich viele korrekte Parameterdarstellungen!

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen

Punktprobe und Geraden vergleichen

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Geradengleichung ein. Alle drei Gleichungen müssen denselben Parameterwert t liefern.

Bei der Parallelitätsprüfung vergleichst du die Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel.

Für Gleichheit müssen die Geraden parallel sein UND ein Punkt der einen Gerade muss auch auf der anderen liegen. Setze dazu die Geradengleichungen gleich und prüfe, ob das Gleichungssystem lösbar ist.

Systematisch vorgehen: Erst Parallelität prüfen, dann bei parallelen Geraden die Gleichheit testen.

Thema: Vektoren Klausur: 08.06.21 Lernzettel Mathe 1. Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und aus einem Koordinatensystem bestimmen


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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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M

Melina

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Vektoren sind dein Werkzeug, um Bewegungen und Positionen im dreidimensionalen Raum zu beschreiben. In dieser Zusammenfassung lernst du alles, was du für deine Klausur brauchst - von den Grundlagen bis hin zu Geraden im Raum.

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Koordinatensystem und Abstände

Das Arbeiten mit Punkten im 3D-Koordinatensystem ist der erste Schritt zum Verständnis von Vektoren. Du trägst Punkte wie A(1|3|2) ein, indem du die x-, y- und z-Koordinaten in der richtigen Reihenfolge abliest.

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: d=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2d = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}. Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen erweitert.

Ein praktisches Beispiel: Für A(2|3|4) und B(3|5|2) rechnest du d=(3−2)2+(5−3)2+(2−4)2=1+4+4=3d = \sqrt{(3-2)^2 + (5-3)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3. So einfach ist das!

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Mittelpunkte und Vektoren verstehen

Den Mittelpunkt einer Strecke findest du durch: M(a1+b12,a2+b22,a3+b32)M(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}, \frac{a_3+b_3}{2}). Du addierst einfach die entsprechenden Koordinaten und teilst durch 2.

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum - das ist ihr wichtigster Job. Ein Verbindungsvektor AB→\overrightarrow{AB} verschiebt Punkt A genau auf Punkt B und wird berechnet durch: AB→=(b1−a1\b2−a2\b3−a3)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1-a_1\b_2-a_2\b_3-a_3 \end{pmatrix}.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Julia S

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