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Vektorrechnung lernen leicht gemacht: Lernzettel

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Julie

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Vektoren sind ein super wichtiges Thema in Mathe - sie... Mehr anzeigen

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# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Vektor-Grundlagen

Stell dir vor, du willst von einem Punkt zum anderen gelangen - genau das macht ein Vektor! Er zeigt dir den Weg von A nach B.

Die wichtigste Regel beim Vektor aufstellen: Zielpunkt minus Startpunkt. Für AB→\overrightarrow{AB} rechnest du also B - A. Bei den Punkten A(2|4) und B(6|3) ergibt das: AB→=(63)−(24)=(4−1)\overrightarrow{AB} = \binom{6}{3} - \binom{2}{4} = \binom{4}{-1}.

Ein Ortsvektor verschiebt den Ursprung zu einem bestimmten Punkt. Für Punkt A(-2|4) schreibst du einfach OA→=(−24)\overrightarrow{OA} = \binom{-2}{4}. Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung - du wechselst einfach alle Vorzeichen.

Merktipp: Vektor = Startpunkt + Pfeilspitze. Die Richtung macht den Unterschied!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Rechnen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du rechnest einfach alle Zahlen einzeln!

Bei der Addition addierst du jede Komponente: (52)+(3−4)=(8−2)\binom{5}{2} + \binom{3}{-4} = \binom{8}{-2}. Die Subtraktion funktioniert genauso, nur mit Minus.

Multiplikation mit einem Skalar (einer normalen Zahl) bedeutet: Jede Komponente einzeln mal nehmen. So wird aus $3 \cdot \binom{2}{-3}einfach einfach \binom{6}{-9}$.

Das Skalarprodukt ist besonders cool: Du multiplizierst die Komponenten und addierst alles. Kommt dabei 0 raus, stehen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander! Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit ∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Pro-Tipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer rechter Winkel zwischen den Vektoren!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Geraden und Punktproben

Geradengleichungen sehen kompliziert aus, sind aber logisch aufgebaut: x⃗=Stu¨tzvektor+r⋅Richtungsvektor\vec{x} = \text{Stützvektor} + r \cdot \text{Richtungsvektor}. Der Stützvektor ist ein Punkt auf der Gerade, der Richtungsvektor zeigt, wohin die Gerade läuft.

Bei einer Punktprobe checkst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Du setzt die Koordinaten ein und löst das Gleichungssystem. Passen alle Gleichungen zusammen? Dann liegt der Punkt drauf!

Kollinearität bedeutet, dass Vektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen - sie sind Vielfache voneinander. Um weitere Punkte auf einer Gerade zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für den Parameter r ein.

Checkpoint: Bei Punktproben müssen ALLE Gleichungen das gleiche r ergeben - sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Anwendungen und Winkel

Hier wird's richtig praktisch! Um orthogonale Vektoren zu finden, stellst du ein Gleichungssystem auf und setzt alle Skalarprodukte gleich null.

Beim vierten Punkt eines Parallelogramms nutzt du die Tatsache, dass gegenüberliegende Seiten gleich sind: AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}. Einfach umstellen und den gesuchten Punkt berechnen.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Danach mit dem GTR (auf DEG eingestellt!) den Winkel bestimmen.

Um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, bildest du alle Seitenvektoren und checkst ihre Skalarprodukte. Ist eines davon null, hast du einen rechten Winkel gefunden!

Praxis-Tipp: GTR immer auf DEG umstellen bei Winkelberechnungen - sonst stimmt das Ergebnis nicht!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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@julie.3011

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in Mathe - sie helfen dir, Punkte im Raum zu verbinden und geometrische Probleme zu lösen. Du lernst hier alles von den Grundlagen bis hin zu praktischen Anwendungen wie Geradengleichungen und Winkelberechnungen.

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

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Stell dir vor, du willst von einem Punkt zum anderen gelangen - genau das macht ein Vektor! Er zeigt dir den Weg von A nach B.

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Ein Ortsvektor verschiebt den Ursprung zu einem bestimmten Punkt. Für Punkt A(-2|4) schreibst du einfach OA→=(−24)\overrightarrow{OA} = \binom{-2}{4}. Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung - du wechselst einfach alle Vorzeichen.

Merktipp: Vektor = Startpunkt + Pfeilspitze. Die Richtung macht den Unterschied!

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Das Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du rechnest einfach alle Zahlen einzeln!

Bei der Addition addierst du jede Komponente: (52)+(3−4)=(8−2)\binom{5}{2} + \binom{3}{-4} = \binom{8}{-2}. Die Subtraktion funktioniert genauso, nur mit Minus.

Multiplikation mit einem Skalar (einer normalen Zahl) bedeutet: Jede Komponente einzeln mal nehmen. So wird aus $3 \cdot \binom{2}{-3}einfach einfach \binom{6}{-9}$.

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Bei einer Punktprobe checkst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Du setzt die Koordinaten ein und löst das Gleichungssystem. Passen alle Gleichungen zusammen? Dann liegt der Punkt drauf!

Kollinearität bedeutet, dass Vektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen - sie sind Vielfache voneinander. Um weitere Punkte auf einer Gerade zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für den Parameter r ein.

Checkpoint: Bei Punktproben müssen ALLE Gleichungen das gleiche r ergeben - sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden!

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Hier wird's richtig praktisch! Um orthogonale Vektoren zu finden, stellst du ein Gleichungssystem auf und setzt alle Skalarprodukte gleich null.

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Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Danach mit dem GTR (auf DEG eingestellt!) den Winkel bestimmen.

Um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, bildest du alle Seitenvektoren und checkst ihre Skalarprodukte. Ist eines davon null, hast du einen rechten Winkel gefunden!

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Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer