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Vektorrechnung lernen leicht gemacht: Lernzettel

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J

Julie

8.12.2025

Mathe

Lernzettel Vektorrechnung

Mathematik

Vektorraumoperationen

Inneres Produkt

704

•

8. Dez. 2025

•

4 Seiten

Vektorrechnung lernen leicht gemacht: Lernzettel

J

Julie

@julie.3011

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in Mathe - sie... Mehr anzeigen

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# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Vektor-Grundlagen

Stell dir vor, du willst von einem Punkt zum anderen gelangen - genau das macht ein Vektor! Er zeigt dir den Weg von A nach B.

Die wichtigste Regel beim Vektor aufstellen: Zielpunkt minus Startpunkt. Für AB→\overrightarrow{AB} rechnest du also B - A. Bei den Punkten A(2|4) und B(6|3) ergibt das: AB→=(63)−(24)=(4−1)\overrightarrow{AB} = \binom{6}{3} - \binom{2}{4} = \binom{4}{-1}.

Ein Ortsvektor verschiebt den Ursprung zu einem bestimmten Punkt. Für Punkt A(-2|4) schreibst du einfach OA→=(−24)\overrightarrow{OA} = \binom{-2}{4}. Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung - du wechselst einfach alle Vorzeichen.

Merktipp: Vektor = Startpunkt + Pfeilspitze. Die Richtung macht den Unterschied!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Rechnen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du rechnest einfach alle Zahlen einzeln!

Bei der Addition addierst du jede Komponente: (52)+(3−4)=(8−2)\binom{5}{2} + \binom{3}{-4} = \binom{8}{-2}. Die Subtraktion funktioniert genauso, nur mit Minus.

Multiplikation mit einem Skalar (einer normalen Zahl) bedeutet: Jede Komponente einzeln mal nehmen. So wird aus 3⋅(2−3)3 \cdot \binom{2}{-3} einfach (6−9)\binom{6}{-9}.

Das Skalarprodukt ist besonders cool: Du multiplizierst die Komponenten und addierst alles. Kommt dabei 0 raus, stehen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander! Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit ∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Pro-Tipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer rechter Winkel zwischen den Vektoren!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Geraden und Punktproben

Geradengleichungen sehen kompliziert aus, sind aber logisch aufgebaut: x⃗=Stu¨tzvektor+r⋅Richtungsvektor\vec{x} = \text{Stützvektor} + r \cdot \text{Richtungsvektor}. Der Stützvektor ist ein Punkt auf der Gerade, der Richtungsvektor zeigt, wohin die Gerade läuft.

Bei einer Punktprobe checkst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Du setzt die Koordinaten ein und löst das Gleichungssystem. Passen alle Gleichungen zusammen? Dann liegt der Punkt drauf!

Kollinearität bedeutet, dass Vektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen - sie sind Vielfache voneinander. Um weitere Punkte auf einer Gerade zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für den Parameter r ein.

Checkpoint: Bei Punktproben müssen ALLE Gleichungen das gleiche r ergeben - sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden!

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

Anwendungen und Winkel

Hier wird's richtig praktisch! Um orthogonale Vektoren zu finden, stellst du ein Gleichungssystem auf und setzt alle Skalarprodukte gleich null.

Beim vierten Punkt eines Parallelogramms nutzt du die Tatsache, dass gegenüberliegende Seiten gleich sind: AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}. Einfach umstellen und den gesuchten Punkt berechnen.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Danach mit dem GTR (auf DEG eingestellt!) den Winkel bestimmen.

Um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, bildest du alle Seitenvektoren und checkst ihre Skalarprodukte. Ist eines davon null, hast du einen rechten Winkel gefunden!

Praxis-Tipp: GTR immer auf DEG umstellen bei Winkelberechnungen - sonst stimmt das Ergebnis nicht!



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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•

704

•

8. Dez. 2025

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Vektorrechnung lernen leicht gemacht: Lernzettel

J

Julie

@julie.3011

Vektoren sind ein super wichtiges Thema in Mathe - sie helfen dir, Punkte im Raum zu verbinden und geometrische Probleme zu lösen. Du lernst hier alles von den Grundlagen bis hin zu praktischen Anwendungen wie Geradengleichungen und Winkelberechnungen.

# VEKTOREN VEKTOR AUFSTELLEN Punkle: A(214); B(613) $ \overrightarrow{AB}$: Punkt 8 Punkt A rechnen $\rightarrow$ Zielpunkt minus Startpu

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Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Danach mit dem GTR (auf DEG eingestellt!) den Winkel bestimmen.

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

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Zusammenfassung Schreiben

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Anleitung zum Verfassen von Zusammenfassungen in Englisch. Er behandelt wichtige Aspekte wie die Struktur einer Zusammenfassung, die Verwendung von Schlüsselvokabular und formale Sprache. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Textzusammenfassung verbessern möchten.

EnglischEnglisch
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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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