Vektor-Grundlagen

Stell dir vor, du willst von einem Punkt zum anderen gelangen - genau das macht ein Vektor! Er zeigt dir den Weg von A nach B.

Die wichtigste Regel beim Vektor aufstellen: Zielpunkt minus Startpunkt. Für $\overrightarrow{AB}$ rechnest du also B - A. Bei den Punkten A(2|4) und B(6|3) ergibt das: $\overrightarrow{AB} = \binom{6}{3} - \binom{2}{4} = \binom{4}{-1}$.

Ein Ortsvektor verschiebt den Ursprung zu einem bestimmten Punkt. Für Punkt A$-2|4$ schreibst du einfach $\overrightarrow{OA} = \binom{-2}{4}$. Der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung - du wechselst einfach alle Vorzeichen.

Merktipp: Vektor = Startpunkt + Pfeilspitze. Die Richtung macht den Unterschied!

Rechnen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren ist eigentlich ziemlich entspannt - du rechnest einfach alle Zahlen einzeln!

Bei der Addition addierst du jede Komponente: $\binom{5}{2} + \binom{3}{-4} = \binom{8}{-2}$. Die Subtraktion funktioniert genauso, nur mit Minus.

Multiplikation mit einem Skalar (einer normalen Zahl) bedeutet: Jede Komponente einzeln mal nehmen. So wird aus $3 \cdot \binom{2}{-3}$ einfach $\binom{6}{-9}$.

Das Skalarprodukt ist besonders cool: Du multiplizierst die Komponenten und addierst alles. Kommt dabei 0 raus, stehen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander! Den Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnest du mit $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Pro-Tipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer rechter Winkel zwischen den Vektoren!

Geraden und Punktproben

Geradengleichungen sehen kompliziert aus, sind aber logisch aufgebaut: $\vec{x} = \text{Stützvektor} + r \cdot \text{Richtungsvektor}$. Der Stützvektor ist ein Punkt auf der Gerade, der Richtungsvektor zeigt, wohin die Gerade läuft.

Bei einer Punktprobe checkst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Du setzt die Koordinaten ein und löst das Gleichungssystem. Passen alle Gleichungen zusammen? Dann liegt der Punkt drauf!

Kollinearität bedeutet, dass Vektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen - sie sind Vielfache voneinander. Um weitere Punkte auf einer Gerade zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für den Parameter r ein.

Checkpoint: Bei Punktproben müssen ALLE Gleichungen das gleiche r ergeben - sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden!

Anwendungen und Winkel

Hier wird's richtig praktisch! Um orthogonale Vektoren zu finden, stellst du ein Gleichungssystem auf und setzt alle Skalarprodukte gleich null.

Beim vierten Punkt eines Parallelogramms nutzt du die Tatsache, dass gegenüberliegende Seiten gleich sind: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Einfach umstellen und den gesuchten Punkt berechnen.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Danach mit dem GTR (auf DEG eingestellt!) den Winkel bestimmen.

Um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, bildest du alle Seitenvektoren und checkst ihre Skalarprodukte. Ist eines davon null, hast du einen rechten Winkel gefunden!

Praxis-Tipp: GTR immer auf DEG umstellen bei Winkelberechnungen - sonst stimmt das Ergebnis nicht!