Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Gleichung

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Aktualisiert 25. Feb. 2026

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3 Seiten

Lineare Funktionen einfach erklärt

Kathie

@kathie_22

Lineare Funktionen sind die Grundlage der Algebra und beschreiben Zusammenhänge,... Mehr anzeigen

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# LINEARE FUNKTIONEN

Definition:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, denn zu jedem x-Wert gibt
es genau einen Funktionswert von x.

Definition und Darstellung linearer Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Du kannst sie auf drei verschiedene Arten darstellen: als Funktionsgleichung $f(x) = mx + b$ , als Wertetabelle oder als Funktionsgraph (eine Gerade).

Die Steigung m einer linearen Funktion gibt an, wie steil die Gerade verläuft. Du berechnest sie mit der Formel m = Δy/Δx = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Das bedeutet: Wenn du zwei Punkte auf der Geraden hast, teilst du den Höhenunterschied durch den horizontalen Abstand.

Um eine Geradengleichung zu bestimmen, brauchst du entweder zwei Punkte oder einen Punkt und die Steigung. Bei zwei Punkten berechnest du zuerst die Steigung m und setzt dann einen der Punkte in die Gleichung f(x) = mx + b ein, um b zu ermitteln.

💡 Merke: Eine lineare Funktion wird immer als gerade Linie dargestellt - sie hat keine Kurven oder Knicke. Je größer die Steigung m, desto steiler steigt die Gerade an.

Geradengleichungen bestimmen

Wenn dir ein Punkt und die Steigung gegeben sind, kannst du die Geradengleichung f(x) = mx + b ganz leicht bestimmen. Setze einfach die Koordinaten des Punktes und die Steigung in die Gleichung ein und löse nach b auf. Zum Beispiel: Mit Punkt (1|4) und Steigung m = -3 erhältst du f(x) = -3x + 7.

Sind dir dagegen die Steigung m und der y-Achsenabschnitt b bereits bekannt, kannst du die Gleichung sofort aufschreiben. Bei m = -0,5 und b = 3 lautet die Funktionsgleichung direkt f(x) = -0,5x + 3.

Wenn du nur einen Graphen siehst, kannst du die Geradengleichung trotzdem bestimmen. Lies dafür den y-Achsenabschnitt b direkt ab, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Für die Steigung m wählst du zwei beliebige Punkte auf der Geraden und berechnest m = Δy/Δx.

🔍 Tipp: Der y-Achsenabschnitt b ist immer der Wert, den die Funktion an der Stelle x = 0 annimmt. Du kannst ihn direkt am Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Wenn du wissen willst, ob sich zwei lineare Funktionen f(x) und g(x) schneiden, setzt du f(x) = g(x) und löst nach x auf. Mit diesem x-Wert kannst du dann den y-Wert des Schnittpunkts berechnen. Erhältst du eine falsche Aussage $wie 3 = 7$ , gibt es keinen Schnittpunkt - die Geraden sind parallel zueinander.

Die Steigungen m₁ und m₂ verraten dir viel über die Lagebeziehung. Sind die Steigungen unterschiedlich (m₁ ≠ m₂), gibt es genau einen Schnittpunkt. Sind die Steigungen gleich $m₁ = m₂$ , aber die y-Achsenabschnitte verschieden (b₁ ≠ b₂), verlaufen die Geraden parallel zueinander.

Besondere Schnittpunkte sind die mit den Koordinatenachsen. Den Schnittpunkt mit der x-Achse findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhältst du bei x = 0 - das ist genau der y-Achsenabschnitt b.

🎯 Wichtig: Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt haben $m₁ = m₂ und b₁ = b₂$ , dann sind es eigentlich identische Funktionen, die genau übereinanderliegen!

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