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Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Funktion

Mathe172Aktualisiert 10. Sept. 20262 Seiten

Lineare Funktionen einfach erklärt: Zusammenfassung mit wichtigen Themen

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Lineare Funktionen sind ein wichtiges Thema in der 9. Klasse und kommen definitiv in eurer Mathe-Schulaufgabe dran. Hier lernst du alles über Steigung, Geraden und wie du mit ihnen rechnest.
Lineare Funktionen Zusammenfassung – Seite 1

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Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form y = mx + t, wobei m die Steigung und t den y-Achsenabschnitt darstellt. Bei y = 3x + 4 ist die Steigung also 3 und der y-Achsenabschnitt 4.

Die Steigung kann positiv oder negativ sein. Eine positive Steigung bedeutet, dass die Gerade nach oben steigt (wie bei y = 2x + 1). Bei einer negativen Steigung fällt die Gerade nach unten (wie bei y = -2x + 1).

Du kannst die Steigung auf verschiedene Arten berechnen. Mit dem Steigungsvektor rechnest du "Spitze minus Fuß": AB⃗=(3−1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3\\-1 \end{pmatrix} ergibt m = -1/3. Beim Steigungsdreieck gilt m = ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} oder einfacher: "hoch durch rechts" bzw. "runter durch rechts".

Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung m1=m2m₁ = m₂ und unterscheiden sich nur im y-Achsenabschnitt. So sind y = 0,5x + 2 und y = 0,5x + 5 parallel zueinander.

Merktipp: Bei parallelen Geraden ist nur das "t" unterschiedlich, das "m" bleibt gleich!

Lineare Funktionen Zusammenfassung – Seite 2

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Berechnungen mit linearen Funktionen

Senkrechte Geraden erkennst du daran, dass das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt: m₁ · m₂ = -1. Wenn m₁ = 2 ist, dann muss m₂ = -0,5 sein. Falls m₂ nicht gegeben ist, rechnest du einfach m₂ = -1/m₁.

Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf einer Geraden g liegt, setzt du die Koordinaten in die Geradengleichung ein. Bei P−3∣2-3|2 und y = 3x + 5 rechnest du: 2 = 3·−3-3 + 5 = -4. Da 2 ≠ -4 ist, liegt P nicht auf g.

Nullstellen findest du, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Bei y = 3x + 5 wird das zu 0 = 3x + 5, also x = -5/3. Das ist der Schnittpunkt mit der x-Achse.

Eine Ursprungsgerade geht durch den Koordinatenursprung und hat den y-Achsenabschnitt t = 0, wie bei y = -2x + 0.

Prüfungstipp: Diese vier Rechenarten kommen fast immer in Schulaufgaben vor - übe sie gut!

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