Linearkombination von Vektoren

Linearkombinationen begegnen dir überall in der Vektorrechnung - sie sind nichts anderes als die Summe von Vielfachen verschiedener Vektoren. Die allgemeine Form sieht so aus: $r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$.

Das Geniale daran ist, dass das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Du kannst dir das wie ein Rezept vorstellen: Nimm vom ersten Vektor das r-fache, vom zweiten das s-fache und so weiter, dann addiere alles zusammen.

Einheitsvektoren sind besonders praktisch: Jeder beliebige Vektor im 3D-Raum lässt sich als Linearkombination der drei Einheitsvektoren $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ darstellen.

Um rechnerisch zu beweisen, ob ein Vektor eine Linearkombination anderer ist, stellst du ein lineares Gleichungssystem auf. Du setzt die unbekannten Faktoren als Variablen und löst das System - wenn es eine eindeutige Lösung gibt, ist dein Beweis erbracht.

💡 Merktipp: Bei der Probe solltest du immer alle Gleichungen des LGS überprüfen, nicht nur die ersten beiden!