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Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

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31. Dez. 2025

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Funktionen leicht verständlich - Mathe Grundwissen Klasse 10

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Dream

@dream_9za93

Mathematik kann echt überwältigend sein, aber diese Zusammenfassung bringt alle... Mehr anzeigen

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h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Potenzgesetze und Funktionstypen

Potenzgesetze sind die Grundlage für fast alles in Mathe - und sie sind einfacher als du denkst! Das wichtigste Gesetz: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} bedeutet einfach, dass du die Exponenten addierst. Bei der Division subtrahierst du sie: xa:xb=xa−bx^a : x^b = x^{a-b}.

Die verschiedenen Funktionstypen haben alle ihre eigenen Charakteristika. Lineare Funktionen $m \cdot x + t$ ergeben immer eine gerade Linie, während quadratische Funktionen $ax^2 + bx + c$ die typischen Parabeln bilden.

Ganzrationale Funktionen erkennst du am höchsten Exponenten - das ist der Grad der Funktion. Eine Funktion wie f(x)=0,5x4+x2−1,5x−2f(x) = 0,5x^4 + x^2 - 1,5x - 2 ist also eine Funktion 4. Grades.

Merktipp: Bei Exponentialfunktionen $a^x$ steht die Variable im Exponenten, bei Potenzfunktionen $x^n$ in der Basis!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Quadratische Funktionen meistern

Quadratische Funktionen kommen in drei verschiedenen Formen daher, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform ax2+bx+cax^2 + bx + c ist perfekt für Berechnungen, die Scheitelform a(x−d)2+ea(x-d)^2 + e zeigt dir sofort den Scheitelpunkt.

Die Nullstellenform a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet. Mit der Mitternachtsformel −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} findest du immer die Nullstellen - falls welche existieren.

Das Umwandeln von Normal- in Scheitelform läuft über die quadratische Ergänzung. Du klammerst zuerst den Faktor vor x2x^2 aus, dann nimmst du die Hälfte der Zahl vor dem xx, quadrierst sie und addierst/subtrahierst sie gleichzeitig.

Praxis-Tipp: Für Klassenarbeiten solltest du alle drei Formen sicher beherrschen - sie machen verschiedene Aufgabentypen super einfach!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

Das Verhalten ganzrationaler Funktionen hängt von zwei Faktoren ab: dem Vorzeichen von aa und ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist. Bei geradem Grad gehen beide Äste in dieselbe Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte.

Nullstellen finden ist oft wie ein Puzzle lösen. Zuerst schaust du, ob du etwas ausklammern kannst - oft ist xx oder x2x^2 ein Faktor. Was übrig bleibt, löst du mit der Mitternachtsformel.

Die Substitution ist dein Geheimtrick bei Funktionen mit nur geraden Exponenten. Du ersetzt x2x^2 durch zz und machst aus x4−3x2+2x^4 - 3x^2 + 2 einfach z2−3z+2z^2 - 3z + 2. Nach dem Lösen musst du aber zurücksubstituieren - vergiss das nicht!

Wichtig: Bei der Rücksubstitution entstehen oft mehrere Nullstellen aus einer z-Lösung, weil x=±zx = \pm\sqrt{z}!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Exponentialfunktionen verstehen

Exponentialfunktionen $a \cdot b^x$ beschreiben Wachstum und Zerfall perfekt. Der Anfangswert aa ist der y-Achsenabschnitt, der Wachstumsfaktor bb bestimmt, wie schnell es wächst oder schrumpft.

Den Wachstumsfaktor berechnest du aus Prozentangaben: 20% Wachstum bedeutet b=1,20b = 1,20. Mit zwei Punkten stellst du ein Gleichungssystem auf und löst nach aa und bb auf.

Linear oder exponentiell unterscheiden ist einfach: Bei linearem Wachstum kommen pro Zeitschritt gleiche Beträge dazu, bei exponentiellem Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.

Der Logarithmus ist das Gegenstück zur Exponentialfunktion. Wenn 2x=82^x = 8, dann ist x=log⁡28=3x = \log_2 8 = 3. Das brauchst du, um nach dem Exponenten aufzulösen.

Eselsbrücke: b>1b > 1 = steigend, 0<b<10 < b < 1 = fallend. So einfach ist das!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis am einfachsten zu verstehen. Die Sinusfunktion hat die Periode 2π2\pi und schwingt zwischen -1 und 1 - das ist ihre Amplitude.

Die allgemeine Form a⋅sin⁡[b(x+c)]+da \cdot \sin[b(x+c)] + d sieht kompliziert aus, aber jeder Parameter hat eine klare Bedeutung: aa streckt vertikal, bb streckt horizontal, cc verschiebt horizontal und dd verschiebt vertikal.

Am rechtwinkligen Dreieck gilt: sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Das ist besonders bei praktischen Aufgaben wichtig.

Trick: Für jeden Winkel α\alpha gibt es drei weitere Winkel mit demselben Sinuswert: 180°−α180°-\alpha, 180°+α180°+\alpha und 360°−α360°-\alpha!

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Geometrie-Formeln kompakt

Flächenberechnungen sind meist auswendig lernen, aber die Logik dahinter hilft. Parallelogramme und Rechtecke funktionieren nach dem Prinzip "Grundseite mal Höhe", Dreiecke sind die Hälfte davon.

Das Trapez ist der Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h. Beim Kreis ist die Fläche πr2\pi r^2 - eine der wichtigsten Formeln überhaupt.

Umfänge sind logischer: Du addierst einfach alle Seitenlängen. Beim Kreis ist der Umfang 2πr2\pi r, beim Quadrat 4a4a. Das Sechseck besteht aus sechs gleichen Seiten.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Figuren immer auf - so siehst du sofort, welche Formel du brauchst!

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Prozentrechnung einfach erklärt

Prozentrechnung ist eigentlich nur ein Dreisatz in Verkleidung. Du hast immer drei Größen: Grundwert (das Ganze), Prozentwert (das Ergebnis) und Prozentsatz (wieviel Prozent).

Die Grundformel ProzentwertProzentsatz⋅Grundwert×100\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}} \times 100% sieht kompliziert aus, aber das Prinzip ist einfach: "5% von 100 sind 5".

In praktischen Aufgaben erkennst du den Grundwert daran, dass er meist nach "von" steht. Der Prozentwert ist das konkrete Ergebnis, der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil gemeint ist.

Merk-Hilfe: Prozent bedeutet "von hundert" - deshalb rechnest du immer mit dem Faktor 100!



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Potenzgesetze sind die Grundlage für fast alles in Mathe - und sie sind einfacher als du denkst! Das wichtigste Gesetz: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} bedeutet einfach, dass du die Exponenten addierst. Bei der Division subtrahierst du sie: xa:xb=xa−bx^a : x^b = x^{a-b}.

Die verschiedenen Funktionstypen haben alle ihre eigenen Charakteristika. Lineare Funktionen $m \cdot x + t$ ergeben immer eine gerade Linie, während quadratische Funktionen $ax^2 + bx + c$ die typischen Parabeln bilden.

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Die Nullstellenform a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet. Mit der Mitternachtsformel −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} findest du immer die Nullstellen - falls welche existieren.

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Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis am einfachsten zu verstehen. Die Sinusfunktion hat die Periode 2π2\pi und schwingt zwischen -1 und 1 - das ist ihre Amplitude.

Die allgemeine Form a⋅sin⁡[b(x+c)]+da \cdot \sin[b(x+c)] + d sieht kompliziert aus, aber jeder Parameter hat eine klare Bedeutung: aa streckt vertikal, bb streckt horizontal, cc verschiebt horizontal und dd verschiebt vertikal.

Am rechtwinkligen Dreieck gilt: sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Das ist besonders bei praktischen Aufgaben wichtig.

Trick: Für jeden Winkel α\alpha gibt es drei weitere Winkel mit demselben Sinuswert: 180°−α180°-\alpha, 180°+α180°+\alpha und 360°−α360°-\alpha!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

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Geometrie-Formeln kompakt

Flächenberechnungen sind meist auswendig lernen, aber die Logik dahinter hilft. Parallelogramme und Rechtecke funktionieren nach dem Prinzip "Grundseite mal Höhe", Dreiecke sind die Hälfte davon.

Das Trapez ist der Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h. Beim Kreis ist die Fläche πr2\pi r^2 - eine der wichtigsten Formeln überhaupt.

Umfänge sind logischer: Du addierst einfach alle Seitenlängen. Beim Kreis ist der Umfang 2πr2\pi r, beim Quadrat 4a4a. Das Sechseck besteht aus sechs gleichen Seiten.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Figuren immer auf - so siehst du sofort, welche Formel du brauchst!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

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Prozentrechnung einfach erklärt

Prozentrechnung ist eigentlich nur ein Dreisatz in Verkleidung. Du hast immer drei Größen: Grundwert (das Ganze), Prozentwert (das Ergebnis) und Prozentsatz (wieviel Prozent).

Die Grundformel ProzentwertProzentsatz⋅Grundwert×100\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}} \times 100% sieht kompliziert aus, aber das Prinzip ist einfach: "5% von 100 sind 5".

In praktischen Aufgaben erkennst du den Grundwert daran, dass er meist nach "von" steht. Der Prozentwert ist das konkrete Ergebnis, der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil gemeint ist.

Merk-Hilfe: Prozent bedeutet "von hundert" - deshalb rechnest du immer mit dem Faktor 100!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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