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Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

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10. Feb. 2026

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Funktionen leicht verständlich - Mathe Grundwissen Klasse 10

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Dream

@dream_9za93

Mathematik kann echt überwältigend sein, aber diese Zusammenfassung bringt alle... Mehr anzeigen

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h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Potenzgesetze und Funktionstypen

Potenzgesetze sind die Grundlage für fast alles in Mathe - und sie sind einfacher als du denkst! Das wichtigste Gesetz: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} bedeutet einfach, dass du die Exponenten addierst. Bei der Division subtrahierst du sie: xa:xb=xa−bx^a : x^b = x^{a-b}.

Die verschiedenen Funktionstypen haben alle ihre eigenen Charakteristika. Lineare Funktionen $m \cdot x + t$ ergeben immer eine gerade Linie, während quadratische Funktionen $ax^2 + bx + c$ die typischen Parabeln bilden.

Ganzrationale Funktionen erkennst du am höchsten Exponenten - das ist der Grad der Funktion. Eine Funktion wie f(x)=0,5x4+x2−1,5x−2f(x) = 0,5x^4 + x^2 - 1,5x - 2 ist also eine Funktion 4. Grades.

Merktipp: Bei Exponentialfunktionen $a^x$ steht die Variable im Exponenten, bei Potenzfunktionen $x^n$ in der Basis!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Quadratische Funktionen meistern

Quadratische Funktionen kommen in drei verschiedenen Formen daher, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform ax2+bx+cax^2 + bx + c ist perfekt für Berechnungen, die Scheitelform a(x−d)2+ea(x-d)^2 + e zeigt dir sofort den Scheitelpunkt.

Die Nullstellenform a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet. Mit der Mitternachtsformel −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} findest du immer die Nullstellen - falls welche existieren.

Das Umwandeln von Normal- in Scheitelform läuft über die quadratische Ergänzung. Du klammerst zuerst den Faktor vor x2x^2 aus, dann nimmst du die Hälfte der Zahl vor dem xx, quadrierst sie und addierst/subtrahierst sie gleichzeitig.

Praxis-Tipp: Für Klassenarbeiten solltest du alle drei Formen sicher beherrschen - sie machen verschiedene Aufgabentypen super einfach!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

Das Verhalten ganzrationaler Funktionen hängt von zwei Faktoren ab: dem Vorzeichen von aa und ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist. Bei geradem Grad gehen beide Äste in dieselbe Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte.

Nullstellen finden ist oft wie ein Puzzle lösen. Zuerst schaust du, ob du etwas ausklammern kannst - oft ist xx oder x2x^2 ein Faktor. Was übrig bleibt, löst du mit der Mitternachtsformel.

Die Substitution ist dein Geheimtrick bei Funktionen mit nur geraden Exponenten. Du ersetzt x2x^2 durch zz und machst aus x4−3x2+2x^4 - 3x^2 + 2 einfach z2−3z+2z^2 - 3z + 2. Nach dem Lösen musst du aber zurücksubstituieren - vergiss das nicht!

Wichtig: Bei der Rücksubstitution entstehen oft mehrere Nullstellen aus einer z-Lösung, weil x=±zx = \pm\sqrt{z}!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Exponentialfunktionen verstehen

Exponentialfunktionen $a \cdot b^x$ beschreiben Wachstum und Zerfall perfekt. Der Anfangswert aa ist der y-Achsenabschnitt, der Wachstumsfaktor bb bestimmt, wie schnell es wächst oder schrumpft.

Den Wachstumsfaktor berechnest du aus Prozentangaben: 20% Wachstum bedeutet b=1,20b = 1,20. Mit zwei Punkten stellst du ein Gleichungssystem auf und löst nach aa und bb auf.

Linear oder exponentiell unterscheiden ist einfach: Bei linearem Wachstum kommen pro Zeitschritt gleiche Beträge dazu, bei exponentiellem Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.

Der Logarithmus ist das Gegenstück zur Exponentialfunktion. Wenn $2^x = 8,dannist, dann ist x = \log_2 8 = 3$. Das brauchst du, um nach dem Exponenten aufzulösen.

Eselsbrücke: b>1b > 1 = steigend, $0 < b < 1$ = fallend. So einfach ist das!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

Trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis am einfachsten zu verstehen. Die Sinusfunktion hat die Periode $2\pi$ und schwingt zwischen -1 und 1 - das ist ihre Amplitude.

Die allgemeine Form a⋅sin⁡[b(x+c)]+da \cdot \sin[b(x+c)] + d sieht kompliziert aus, aber jeder Parameter hat eine klare Bedeutung: aa streckt vertikal, bb streckt horizontal, cc verschiebt horizontal und dd verschiebt vertikal.

Am rechtwinkligen Dreieck gilt: sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Das ist besonders bei praktischen Aufgaben wichtig.

Trick: Für jeden Winkel α\alpha gibt es drei weitere Winkel mit demselben Sinuswert: $180°-\alpha,, 180°+\alphaund und 360°-\alpha$!

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Geometrie-Formeln kompakt

Flächenberechnungen sind meist auswendig lernen, aber die Logik dahinter hilft. Parallelogramme und Rechtecke funktionieren nach dem Prinzip "Grundseite mal Höhe", Dreiecke sind die Hälfte davon.

Das Trapez ist der Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h. Beim Kreis ist die Fläche πr2\pi r^2 - eine der wichtigsten Formeln überhaupt.

Umfänge sind logischer: Du addierst einfach alle Seitenlängen. Beim Kreis ist der Umfang $2\pi r$, beim Quadrat $4a$. Das Sechseck besteht aus sechs gleichen Seiten.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Figuren immer auf - so siehst du sofort, welche Formel du brauchst!

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Prozentrechnung einfach erklärt

Prozentrechnung ist eigentlich nur ein Dreisatz in Verkleidung. Du hast immer drei Größen: Grundwert (das Ganze), Prozentwert (das Ergebnis) und Prozentsatz (wieviel Prozent).

Die Grundformel ProzentwertProzentsatz⋅Grundwert×100\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}} \times 100% sieht kompliziert aus, aber das Prinzip ist einfach: "5% von 100 sind 5".

In praktischen Aufgaben erkennst du den Grundwert daran, dass er meist nach "von" steht. Der Prozentwert ist das konkrete Ergebnis, der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil gemeint ist.

Merk-Hilfe: Prozent bedeutet "von hundert" - deshalb rechnest du immer mit dem Faktor 100!



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Potenzgesetze und Funktionstypen

Potenzgesetze sind die Grundlage für fast alles in Mathe - und sie sind einfacher als du denkst! Das wichtigste Gesetz: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} bedeutet einfach, dass du die Exponenten addierst. Bei der Division subtrahierst du sie: xa:xb=xa−bx^a : x^b = x^{a-b}.

Die verschiedenen Funktionstypen haben alle ihre eigenen Charakteristika. Lineare Funktionen $m \cdot x + t$ ergeben immer eine gerade Linie, während quadratische Funktionen $ax^2 + bx + c$ die typischen Parabeln bilden.

Ganzrationale Funktionen erkennst du am höchsten Exponenten - das ist der Grad der Funktion. Eine Funktion wie f(x)=0,5x4+x2−1,5x−2f(x) = 0,5x^4 + x^2 - 1,5x - 2 ist also eine Funktion 4. Grades.

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Quadratische Funktionen kommen in drei verschiedenen Formen daher, die alle ihre Vorteile haben. Die Normalform ax2+bx+cax^2 + bx + c ist perfekt für Berechnungen, die Scheitelform a(x−d)2+ea(x-d)^2 + e zeigt dir sofort den Scheitelpunkt.

Die Nullstellenform a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) funktioniert nur, wenn die Parabel die x-Achse schneidet. Mit der Mitternachtsformel −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} findest du immer die Nullstellen - falls welche existieren.

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Trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis am einfachsten zu verstehen. Die Sinusfunktion hat die Periode $2\pi$ und schwingt zwischen -1 und 1 - das ist ihre Amplitude.

Die allgemeine Form a⋅sin⁡[b(x+c)]+da \cdot \sin[b(x+c)] + d sieht kompliziert aus, aber jeder Parameter hat eine klare Bedeutung: aa streckt vertikal, bb streckt horizontal, cc verschiebt horizontal und dd verschiebt vertikal.

Am rechtwinkligen Dreieck gilt: sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Das ist besonders bei praktischen Aufgaben wichtig.

Trick: Für jeden Winkel α\alpha gibt es drei weitere Winkel mit demselben Sinuswert: $180°-\alpha,, 180°+\alphaund und 360°-\alpha$!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

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Geometrie-Formeln kompakt

Flächenberechnungen sind meist auswendig lernen, aber die Logik dahinter hilft. Parallelogramme und Rechtecke funktionieren nach dem Prinzip "Grundseite mal Höhe", Dreiecke sind die Hälfte davon.

Das Trapez ist der Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h. Beim Kreis ist die Fläche πr2\pi r^2 - eine der wichtigsten Formeln überhaupt.

Umfänge sind logischer: Du addierst einfach alle Seitenlängen. Beim Kreis ist der Umfang $2\pi r$, beim Quadrat $4a$. Das Sechseck besteht aus sechs gleichen Seiten.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Figuren immer auf - so siehst du sofort, welche Formel du brauchst!

h # Mathe Potenzgesetze 1) $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ $x^a : x^b = x^{a-b}$ 2) $(xa)^b = x^{a \cdot b}$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 3) $

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Prozentrechnung einfach erklärt

Prozentrechnung ist eigentlich nur ein Dreisatz in Verkleidung. Du hast immer drei Größen: Grundwert (das Ganze), Prozentwert (das Ergebnis) und Prozentsatz (wieviel Prozent).

Die Grundformel ProzentwertProzentsatz⋅Grundwert×100\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}} \times 100% sieht kompliziert aus, aber das Prinzip ist einfach: "5% von 100 sind 5".

In praktischen Aufgaben erkennst du den Grundwert daran, dass er meist nach "von" steht. Der Prozentwert ist das konkrete Ergebnis, der Prozentsatz gibt an, welcher Anteil gemeint ist.

Merk-Hilfe: Prozent bedeutet "von hundert" - deshalb rechnest du immer mit dem Faktor 100!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Paul T

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