Einführungsphase

Die Einführungsphase markiert den Beginn der Oberstufe in Mathematik. Hier werden die Grundlagen gelegt, die du für die Qualifikationsphase brauchst.

In dieser Phase wiederholst und vertiefst du wichtige Konzepte aus der Mittelstufe. Gleichzeitig lernst du neue Bereiche kennen, die später essentiell werden.

Tipp: Nutze diese Phase, um deine Grundlagen zu festigen - sie sind das Fundament für alles Weitere!

Die drei Hauptbereiche sind beschreibende Statistik, Analysis und analytische Geometrie. Jeder Bereich baut systematisch aufeinander auf.

Beschreibende Statistik & Elementare Funktionenlehre

Beschreibende Statistik hilft dir, Daten zu verstehen und zu beschreiben. Die wichtigsten Kenngrößen sind: Stichprobenumfang (n), arithmetisches Mittel (Durchschnitt), Modalwert (häufigster Wert), Median (Mitte der Daten), Varianz und Standardabweichung.

Bei Potenzfunktionen f(x) = x^n musst du zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden. Die Potenzregeln sind: x^a · x^b = x^$a+b$, x^a/x^b = x^$a-b$ und $x^a$^b = x^(a·b).

Sinusfunktionen haben die Form f(x) = a·sin$b·(x-d)$+e. Dabei ist a die Amplitude, die Periodenlänge P = 2π/b, d die x-Verschiebung und e die y-Verschiebung.

Merktipp: Bei Ableitungen gilt - Konstantenregel: Zahlen werden zu 0, Potenzregel: Exponent nach vorn, dann um 1 verringern!

Ganzrationale Funktionen haben verschiedene Grade: konstant (Grad 0), linear (Grad 1), quadratisch (Grad 2) und kubisch (Grad 3). Für Umkehrfunktionen vertauschst du x und y und löst nach y auf.

Analysis

Analysis ist das Herzstück der Oberstufen-Mathematik. Hier lernst du, wie Funktionen sich verhalten und wie du sie untersuchst.

Die Analysis verbindet alle bisherigen Mathematik-Kenntnisse miteinander. Du arbeitest mit Ableitungen, Integralen und komplexen Funktionsuntersuchungen.

Wichtig: Analysis braucht viel Übung - aber die Konzepte bauen logisch aufeinander auf!

Dieser Bereich ist besonders klausurrelevant und wird in der Qualifikationsphase noch weiter vertieft.

Rotationsvolumen & Funktionsuntersuchung

Rotationsvolumen berechnest du mit V = π∫a→b²dx. Stelle dir vor, eine Kurve rotiert um die x-Achse - das entstehende 3D-Volumen kannst du so bestimmen.

Die wichtigsten Ableitungsregeln: Produktregel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x), Kettenregel f'(x) = äußere Ableitung · innere Ableitung, Summenregel f'(x) = u'(x) + v'(x).

Für Extrempunkte brauchst du f'(x) = 0 (notwendig) und f''(x) ≠ 0 (hinreichend). Bei Wendepunkten gilt f''(x) = 0 (notwendig) und f'''(x) ≠ 0 (hinreichend).

Praxistipp: Zeichne dir das Steigungsverhalten auf - so erkennst du Extrempunkte viel leichter!

Symmetrie erkennst du so: Achsensymmetrie wenn f$-x$ = f(x), Punktsymmetrie wenn f$-x$ = -f(x). Das Globalverhalten liest du am höchsten Exponenten und seinem Vorzeichen ab.

E-Funktion, Logarithmus & Anwendungen

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist besonders, weil sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Bei der Kettenregel mit e-Funktionen multiplizierst du mit der inneren Ableitung: $e^(3x²+1)$' = 6x·e^$3x²+1$.

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion: e^x = a ⟺ ln(a) = x. Die Logarithmengesetze sind: ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln$a/b$ = ln(a) - ln(b) und ln$a^c$ = c·ln(a).

Für Tangenten berechnest du: 1) Steigung m = f'(x), 2) y-Achsenabschnitt über mx + b = y, 3) Tangentengleichung t(x) = mx + b. Normalen haben die negative Umkehrsteigung: m = -1/f'(x).

Vereinfachung: ln$e^x$ = x und e^(ln(x)) = x - das sind Umkehroperationen!

Flächeninhalt zwischen Graphen berechnest du mit ∫[a→b]$f(x) - g(x)$dx. Der orientierte Flächeninhalt kann negativ sein, der normale ist immer positiv: ∫[a→b]|f(x)|dx.

Wachstumsmodelle

Exponentielles Wachstum folgt f(x) = A·e^(kx), wobei A der Anfangswert und k die Wachstumskonstante ist. Die Differentialgleichung lautet f'(x) = k·f(x) - die Änderung ist proportional zum Bestand.

Bei begrenztem Wachstum gibt es eine Obergrenze G: f(x) = $A-G$·e^(kx) + G. Hier gilt f'(x) = k·$G-f(x)$ - die Änderung ist proportional zum Restbestand bis zur Grenze.

Logistisches Wachstum kombiniert beide Effekte: f(x) = (A·G)/$A + (G-A)·e^(-kx)$. Die Differentialgleichung f'(x) = k·f(x)·$G-f(x)$ bedeutet: Änderung proportional zu Bestand UND Restbestand.

Alltagsbezug: Exponentiell = Bakterien, begrenzt = Aufwärmen, logistisch = Bevölkerungswachstum!

Die Halbwertszeit gibt an, wann sich der Anfangsbestand halbiert hat. Bei k > 0 hast du Zunahme, bei k < 0 Abnahme.

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie bringt Algebra und Geometrie zusammen. Du arbeitest im dreidimensionalen Koordinatensystem mit Punkten, Vektoren, Geraden und Ebenen.

Hier werden abstrakte Berechnungen geometrisch anschaulich. Du kannst Abstände messen, Winkel berechnen und Lagebeziehungen bestimmen.

Visualisierung hilft: Zeichne dir räumliche Probleme auf - auch wenn's nur eine Skizze ist!

Dieser Bereich ist sehr systematisch aufgebaut und wird schrittweise komplexer.

Punkte, Vektoren & Geraden

Im dreidimensionalen Koordinatensystem hat jeder Punkt drei Koordinaten: P(x|y|z). Der Abstand zwischen zwei Punkten ist √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²$.

Vektoren verschieben Punkte im Raum. Die Länge eines Vektors ist √$x²+y²+z²$. Das Skalarprodukt ā·b̄ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ brauchst du für Winkel und Orthogonalität.

Geraden haben die Form x̄ = ā + r·ū $Punkt-Richtungs-Form$. Zwei Geraden können identisch, parallel, sich schneidend oder windschief sein.

Lagebeziehungen merken: Skalarprodukt = 0 → orthogonal, Richtungsvektoren Vielfache → parallel!

Spurpunkte entstehen, wo Geraden die Koordinatenebenen schneiden. Setze dafür eine Koordinate auf 0 und löse nach dem Parameter auf.

Ebenen & ihre Darstellungsformen

Ebenen haben drei Darstellungsformen: Parameterform x̄ = ā + r·ū + s·v̄, Normalenform n̄·$x̄-ā$ = 0 und Koordinatenform n₁x + n₂y + n₃z = d.

Den Normalenvektor erhältst du durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: n̄ = ū × v̄. Er steht senkrecht auf der Ebene.

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade: Wenn Richtungsvektor und Normalenvektor orthogonal sind, liegt die Gerade in der Ebene oder ist parallel dazu.

Umwandeln: Parameterform → Kreuzprodukt bilden → Normalenform → ausmultiplizieren → Koordinatenform!

Für Schnittgeraden zweier Ebenen setzt du die Koordinatenformen gleich und löst nach zwei Variablen auf. Die dritte Variable wird Parameter der Schnittgerade.

Ebenen-Beziehungen & Winkel

Bei zwei Koordinatenformen vergleichst du die Normalenvektoren: Sind sie Vielfache, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind die Gleichungen identisch, sind die Ebenen identisch.

Schnittwinkel zwischen Ebenen berechnest du mit cos⁻¹$|n̄₁·n̄₂|/(|n̄₁|·|n̄₂|)$. Zwischen Ebene und Gerade verwendest du den Sinus!

Bei zwei Parameterformen gleichsetzen und Matrix aufstellen. Je nach Lösungsverhalten hast du Schnittpunkt, Parallelität oder Identität.

Winkel-Merkhilfe: Ebene-Ebene = Kosinus mit Normalenvektoren, Ebene-Gerade = Sinus mit Normal- und Richtungsvektor!

Für Schnittgeraden löst du ein Gleichungssystem und drückst alles durch einen Parameter aus. Das Ergebnis ist wieder eine Gerade in Parameterform.