Grundlagen der Matrixrechnung

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Das Format einer Matrix wird als (Anzahl Zeilen × Anzahl Spalten) angegeben. Zum Beispiel hat die Matrix A = $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \ -4 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ das Format (2×3).

Spezielle Formen von Matrizen sind Spaltenvektoren (Matrizen mit nur einer Spalte) und Reihenvektoren (Matrizen mit nur einer Zeile). Die Elemente entlang der Diagonale von links oben nach rechts unten bilden die Hauptdiagonale.

💡 Denk daran: Bei der Matrixmultiplikation ist die Reihenfolge entscheidend! Anders als bei normalen Zahlen gilt hier: A·B ≠ B·A (nicht kommutativ).

Bei der Matrixmultiplikation werden Zeilen mit Spalten multipliziert. Um zwei Matrizen zu multiplizieren, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten übereinstimmen. Nur die Einheitsmatrix E (mit Einsen auf der Hauptdiagonale und sonst Nullen) ist kommutativ in der Multiplikation.

Die Addition und Subtraktion von Matrizen ist nur möglich, wenn beide Matrizen dasselbe Format haben. Dabei werden die entsprechenden Elemente addiert oder subtrahiert. Bei der skalaren Multiplikation wird jedes Element der Matrix mit der gleichen Zahl multipliziert, wie bei 4·$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 & -8 & 16 \ 4 & 0 & 20 \end{pmatrix}$.