Mengen und Funktionen

Mengenoperationen sind ziemlich straightforward: Die Vereinigung A∪B nimmt alle Elemente aus beiden Mengen, die Schnittmenge A∩B nur die gemeinsamen. Das Produkt A×B bildet alle möglichen Paare - bei A={1,2,3} und B={3,4} entstehen 6 Kombinationen wie (1,3), (2,4), etc.

Bei Funktionen gibt's drei wichtige Eigenschaften zu checken. Injektiv bedeutet: Jeder y-Wert hat maximal ein x (keine Dopplungen). Surjektiv heißt: Jeder mögliche y-Wert wird auch erreicht. Bijektiv ist beides zusammen - perfekte 1:1-Zuordnung.

Die Polynomdivision läuft in zwei Schritten: Erst eine Nullstelle zwischen -3 und 3 raten, dann dividieren. Bei f$x$ = x³-6x²+9x-4 ist x=1 eine Nullstelle. Nach der Division bleibt x²-5x+4 übrig, wo du mit der pq-Formel die restlichen Nullstellen x=4 und x=1 findest.

Tipp: Bei der Polynomdivision sollte am Ende immer 0 rauskommen - das ist dein Check, ob alles stimmt!

Trigonometrie

Die Grundwerte von sin und cos für 0°, 30°, 45°, 60°, 90° solltest du auswendig können - sie folgen dem Pattern √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Beim cos läuft's rückwärts. Diese Werte brauchst du ständig!

Additionstheoreme sind mega wichtig für komplexere Aufgaben. Die Grundformeln sin$α+β$ = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) und cos$α+β$ = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) musst du draufhaben. Daraus leitest du dann Doppelwinkelformeln wie sin(2α) = 2sin(α)cos(α) ab.

Wichtige Eigenschaften: sin ist eine ungerade Funktion (sin$-φ$ = -sin(φ)), cos ist gerade (cos$-φ$ = cos(φ)). Der trigonometrische Pythagoras cos²(φ) + sin²(φ) = 1 gilt immer.

Vergiss nicht, deinen GTR richtig einzustellen - Grad für normale Winkel, Rad für Bogenmaß. Die Umkehrfunktionen (Arcsin, Arccos, etc.) brauchst du für Winkelberechnungen.

Merkhilfe: GAHYSO - Gegenkathete/Hypotenuse = sin, Ankathete/Hypotenuse = cos!

Hyperbelfunktionen und 3D-Raum

Hyperbelfunktionen sind wie trigonometrische Funktionen, aber mit e-Funktionen definiert: cosh$x$ = $eˣ + e⁻ˣ$/2 und sinh$x$ = $eˣ - e⁻ˣ$/2. Sie haben ähnliche Additionstheoreme, aber mit anderen Vorzeichen.

Das Skalarprodukt ist dein wichtigstes Tool im 3D-Raum: a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos(φ). Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Damit berechnest du auch Winkel zwischen Vektoren: cos(φ) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|).

Die orthogonale Zerlegung teilt einen Vektor in zwei Teile auf: einen parallelen und einen senkrechten Anteil. Das brauchst du oft für Projektionen und Abstände. Die Formel s⃗ = (a⃗·b⃗)/(b⃗·b⃗) gibt dir den Skalierungsfaktor für den parallelen Teil.

Wichtig: Das Skalarprodukt liefert immer eine Zahl, nie einen Vektor!

Kreuzprodukt und Geraden/Ebenen

Das Kreuzprodukt a⃗×b⃗ erzeugt einen Normalenvektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Der Betrag |a⃗×b⃗| gibt dir den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms. Das Schema: erste Komponente = $a₂b₃ - a₃b₂$, dann zyklisch weiter.

Geraden beschreibst du mit der Parameterform: x⃗ = a⃗ + r·b⃗. Dabei ist a⃗ ein Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und b⃗ der Richtungsvektor. Für Ebenen brauchst du zwei Richtungsvektoren: x⃗ = a⃗ + r·b⃗ + s·c⃗.

Zwischen den Darstellungsformen kannst du umrechnen: Aus der Parameterform zur Normalenform über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren. Die Koordinatenform entsteht durch Ausmultiplizieren der Normalenform zu n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Das Spatprodukt a⃗·(b⃗×c⃗) berechnet das Volumen eines Spats - praktisch für Volumenberechnungen.

Merktrick: Stützvektor = ein Punkt, Richtungsvektor = Strecke zwischen zwei Punkten!

Abstände berechnen

Punkt-Punkt-Abstand ist der einfachste: Verbindungsvektor bilden und dessen Länge berechnen mit d = √$(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²$. Die Richtung des Verbindungsvektors ist egal - die Länge bleibt gleich.

Für den Punkt-Gerade-Abstand verwendest du d = |PA⃗×c⃗|/|c⃗|, wobei PA⃗ vom Geradenpunkt zum externen Punkt zeigt und c⃗ der Richtungsvektor ist. Das Kreuzprodukt sorgt für die senkrechte Komponente.

Parallele Geraden haben denselben Abstand wie ein Punkt zur anderen Geraden - nimm einfach einen beliebigen Punkt der ersten Geraden. Bei windschiefen Geraden brauchst du d = $p⃗-q⃗$·n⃗₀ mit dem normierten Normalenvektor.

Der Punkt-Ebene-Abstand funktioniert über d = |$p⃗-a⃗$·n⃗|/|n⃗| - du projizierst den Verbindungsvektor auf die Normale der Ebene.

Praxistipp: Abstände sind immer positiv - deshalb die Betragsstriche nicht vergessen!

Winkelberechnungen

Schnittwinkel zweier Geraden berechnest du mit cos(φ) = |m⃗₁·m⃗₂|/(|m⃗₁||m⃗₂|), wobei m⃗₁ und m⃗₂ die Richtungsvektoren sind. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den spitzen Winkel erhältst.

Bei Ebenen verwendest du die Normalenvektoren: cos(φ) = |n⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁||n⃗₂|). Die Normalenvektoren liest du direkt aus der Koordinatenform ab oder berechnest sie via Kreuzprodukt.

Gerade-Ebene-Winkel sind anders - hier nimmst du den Sinus: sin(φ = |m⃗·n⃗|/(|m⃗||n⃗|). Das liegt daran, dass du den Winkel zwischen Gerade und Ebene willst, nicht zwischen Gerade und Normale.

Nach der Berechnung mit cos⁻¹ oder sin⁻¹ erhältst du den Winkel in Grad. Achte darauf, dass dein GTR richtig eingestellt ist!

Eselsbrücke: Gerade-Gerade und Ebene-Ebene → Cosinus. Gerade-Ebene → Sinus!

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen z = a + bi erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i mit i² = -1. Der Realteil ist a, der Imaginärteil ist b. Du kannst sie wie normale Zahlen addieren und subtrahieren.

Bei der Multiplikation gilt: a+bi$$c+di = (ac-bd) + i(ad+bc). Das merkst du dir über das normale Ausmultiplizieren und i² = -1. Die Division funktioniert durch Erweitern mit der konjugierten Zahl des Nenners.

Die komplex konjugierte Zahl z̄ = a - bi spiegelst du an der reellen Achse. Der Betrag |z| = √$a² + b²$ entspricht dem Abstand zum Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

Grafisch stellst du komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar: Realteil auf der x-Achse, Imaginärteil auf der y-Achse. Das macht Operationen anschaulicher.

Wichtig: i² = -1 ist der Schlüssel - merk dir das für alle Rechnungen!

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten beschreiben komplexe Zahlen über Länge r und Winkel φ: z = r(cos(φ) + i·sin(φ)). Dabei ist r = √$x² + y²$ der Betrag und φ der Winkel zur positiven reellen Achse.

Den Winkel berechnest du mit tan(φ) = y/x oder direkt cos(φ) = x/r. Bei z = 2 + 2i ist r = √8 und φ = 45° = π/4, da beide Komponenten gleich groß sind.

Der große Vorteil: Multiplikation wird super einfach - Längen multiplizieren, Winkel addieren! Bei der Division dividierst du die Längen und subtrahierst die Winkel. Das ist viel eleganter als die kartesische Form.

Für Potenzen und Wurzeln sind Polarkoordinaten unschlagbar. z^n hat die Länge r^n und den Winkel n·φ.

Merkhilfe: Multiplikation = Längen mal, Winkel plus. Division = Längen geteilt, Winkel minus!

Matrizen-Grundlagen

Matrizen sind rechteckige Zahlenschemata. Addition und Subtraktion funktionieren nur bei gleich großen Matrizen - einfach elementweise rechnen.

Die Matrixmultiplikation ist trickreicher: Zeile mal Spalte! A·B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. Das Ergebnis hat die Größe "Zeilen von A × Spalten von B".

Die Einheitsmatrix I hat auf der Hauptdiagonale Einsen, sonst Nullen. Sie ist das neutrale Element der Multiplikation: A·I = I·A = A.

Beim Transponieren A^T spiegelst du die Matrix an der Hauptdiagonale - Zeilen werden zu Spalten. Bei 3×3-Matrizen bleiben die Diagonalelemente gleich. Wichtig: (A·B)^T = B^T·A^T (Reihenfolge dreht sich um!).

Symmetrische Matrizen erfüllen A = A^T, schiefsymmetrische A = -A^T.

Tipp: Bei der Matrixmultiplikation immer "Zeile mal Spalte" im Kopf behalten!

Koordinatentransformation und LGS

Die Drehmatrix rotiert Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn: x' = x·cos(φ) - y·sin(φ), y' = x·sin(φ) + y·cos(φ). In Matrixform ist das eine 2×2-Matrix mit cos und -sin in der ersten Zeile.

Lineare Gleichungssysteme löst du mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Erlaubte Operationen: Zeilen addieren/subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren, Zeilen vertauschen. Ziel ist die Stufenform.

Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad - bc. Bei 3×3-Matrizen verwendest du die Sarrussche Regel oder Laplace-Entwicklung. Wähle für Laplace die Zeile/Spalte mit den meisten Nullen - das spart Arbeit!

Eine Determinante von 0 bedeutet: Die Matrix ist nicht invertierbar, das LGS hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Praxistipp: Bei der Laplace-Entwicklung immer die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen wählen!