Potenzen und Wurzeln – Mathe 10. Klasse erklärt

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Bei Potenzen drücken wir mehrfache Multiplikationen kompakt aus. Für eine Zahl a und natürliche Zahl n ist a^n einfach a multipliziert mit sich selbst, n-mal hintereinander. Bei negativen Exponenten gilt: a^$-n$ = 1/a^n. Und wichtig zu merken: a^0 = 1 für alle Zahlen außer 0.

Die Vorzeichen bei Potenzen können manchmal knifflig sein. Bei negativer Basis mit geradem Exponenten ist das Ergebnis positiv $z.B. (-5)^4 = 625$. Mit ungeradem Exponenten bleibt das Ergebnis negativ. Beachte den Unterschied zwischen -5^3 $= -125$ und $-5$^3 $= -125$!

Zehnerpotenzen sind besonders nützlich: 10^n hat immer n Nullen nach der 1, während 10^$-n$ ein Komma und n-1 Nullen vor der 1 hat. Damit kannst du große und kleine Zahlen elegant darstellen.

💡 Merkhilfe: Bei Potenzen mit negativen Exponenten stellst du die Basis einfach in den Nenner eines Bruchs und machst den Exponenten positiv. Beispiel: 2^$-3$ = 1/2^3 = 1/8 = 0,125

Die Potenzgesetze machen das Rechnen deutlich einfacher:

• Beim Multiplizieren: a^m · a^n = a^$m+n$
• Beim Dividieren: a^m / a^n = a^$m-n$
• Beim Potenzieren: $a^m$^n = a^(m·n)
• Mit gleichem Exponenten: a^n · b^n = (a·b)^n und a^n/b^n = (a/b)^n

Die n-te Wurzel kannst du auch als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben: √a = a^$1/2$ oder allgemein: ∜a = a^$1/n$. Das verbindet das Konzept der Wurzeln elegant mit dem der Potenzen.