Potenzgesetze einfach erklärt

Grundlagen der Potenzen

Wenn du eine Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizierst, kannst du das als Potenz schreiben. Bei $3^4$ multiplizierst du die 3 viermal mit sich selbst $3·3·3·3 = 81$. Die hochgestellte Zahl (hier 4) nennt man Exponent, die Basis ist die Zahl davor (hier 3).

Potenzen funktionieren auch mit Brüchen: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. Bei negativen Exponenten kehrst du den Wert um: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (Beispiel: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$). Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt immer 1: $a^0 = 1$ (für a≠0).

🔍 Wichtig zu wissen: Bei negativen Zahlen als Basis musst du besonders aufpassen! $(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$ ist etwas anderes als $-4^{-2} = -(\frac{1}{4^2}) = -\frac{1}{16}$.

Rechenregeln für Potenzen

Bei Potenzen mit gleicher Basis gilt beim Multiplizieren: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (Beispiel: $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$). Beim Dividieren subtrahierst du die Exponenten: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (Beispiel: $\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$).

Für Potenzen mit gleichem Exponenten gilt beim Multiplizieren: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Beim Dividieren: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (Beispiel: $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$).

Wissenschaftliche Schreibweise

Sehr große oder kleine Zahlen schreibt man oft mit Zehnerpotenzen. Beispiele:

• Entfernung Erde-Mond: 384.000 km = 3,84·10^5 km
• 7,2 Gigabyte = 7,2·10^9 Byte
• 1,2 Mikrometrm = 1,2·10^-6 m

In der technischen Schreibweise verwendet man spezielle Vorsilben: Kilo $10^3$, Mega $10^6$, Giga $10^9$, Tera $10^12$ für große Zahlen sowie Milli $10^-3$, Mikro $10^-6$, Nano $10^-9$ und Piko $10^-12$ für kleine Zahlen.