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Vektorraumoperationen

Kreuzprodukt

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Einführung in das Vektorprodukt: Definition und Anwendung

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Das Vektorprodukt ist ein mächtiges mathematisches Werkzeug, das dir hilft,... Mehr anzeigen

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# Vektorprodukt Ariane MSS 12 M2 Inhaltsverzeichnis - Definition des Vektorprodukts – Allgemeines - Rechengesetze für das Vektorprodukt -

Was ist das Vektorprodukt?

Du kennst bereits das Skalarprodukt - jetzt kommt sein "großer Bruder": das Vektorprodukt geschrieben als $\vec{a} \times \vec{b}$. Der wichtigste Unterschied: Das Ergebnis ist kein Skalar, sondern ein komplett neuer Vektor!

Die allgemeine Formel sieht erstmal kompliziert aus: a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}. Keine Sorge - mit etwas Übung wird das zur Routine.

Das Besondere: a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} steht orthogonal alsoim90°−Winkelalso im 90°-Winkel zu beiden ursprünglichen Vektoren. Das macht es super praktisch für viele Anwendungen!

Merktipp: Das Vektorprodukt funktioniert nur im 3D-Raum - in der Ebene gibt's das nicht!

# Vektorprodukt Ariane MSS 12 M2 Inhaltsverzeichnis - Definition des Vektorprodukts – Allgemeines - Rechengesetze für das Vektorprodukt -

Rechenregeln, die du kennen musst

Beim Vektorprodukt gelten andere Regeln als bei normaler Multiplikation. Das Anti-Kommutativgesetz ist der Knaller: a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) - die Reihenfolge ändert das Vorzeichen!

Das Assoziativgesetz mit Skalaren funktioniert wie gewohnt: (r⋅a⃗)×b⃗=r⋅(a⃗×b⃗)(r \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \times \vec{b}). Auch das Distributivgesetz bleibt vertraut: a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}.

Der Normalenvektor n⃗=a⃗×b⃗\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} ist dein bester Freund bei Ebenenberechnungen - er zeigt dir immer die Richtung senkrecht zur Ebene.

Praxis-Tipp: Bei Klausuren immer auf die Reihenfolge achten - ein falsches Vorzeichen kostet schnell Punkte!

# Vektorprodukt Ariane MSS 12 M2 Inhaltsverzeichnis - Definition des Vektorprodukts – Allgemeines - Rechengesetze für das Vektorprodukt -

Flächenberechnung mit dem Vektorprodukt

Hier wird's richtig praktisch! Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist einfach A=∣a⃗×b⃗∣A = |\vec{a} \times \vec{b}| - also der Betrag des Vektorprodukts.

Die Herleitung über A=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡αA = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \alpha zeigt dir, warum das funktioniert. Nach einigen mathematischen Umformungen (die du im Detail nicht auswendig lernen musst) kommst du zur eleganten Formel.

Für ein Dreieck halbierst du einfach das Ergebnis: ADreieck=12∣a⃗×b⃗∣A_{Dreieck} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|. Das ist deutlich schneller als die klassische Formel mit Grundlinie mal Höhe!

Klausur-Hack: Diese Formel spart dir bei Geometrie-Aufgaben oft mehrere Rechenschritte - einfach die Vektoren einsetzen und fertig!

# Vektorprodukt Ariane MSS 12 M2 Inhaltsverzeichnis - Definition des Vektorprodukts – Allgemeines - Rechengesetze für das Vektorprodukt -

Volumenberechnung: Spat und Pyramide

Ein Spat ist wie ein schiefer Würfel, der von sechs Parallelogrammen begrenzt wird. Sein Volumen berechnest du mit dem Spatprodukt: V=∣(a⃗×b⃗)⋅c⃗∣V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|.

Das funktioniert, weil ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}| die Grundfläche und die Projektion von c⃗\vec{c} die Höhe liefert. Je nachdem, ob die Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, kann das Ergebnis positiv oder negativ werden - deshalb die Betragsstriche!

Für eine dreiseitige Pyramide teilst du durch 6: V=16∣(a⃗×b⃗)⋅c⃗∣V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|. Das kommt daher, dass eine Pyramide ein Drittel des Volumens eines entsprechenden Prismas hat.

Eselsbrücke: Spat = Spatprodukt, Pyramide = Spatprodukt durch 6 - so vergisst du die Formeln nie wieder!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Das Vektorprodukt ist ein mächtiges mathematisches Werkzeug, das dir hilft, komplexe räumliche Probleme zu lösen. Anders als das Skalarprodukt liefert es einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Du brauchst es für Flächenberechnungen, Volumenbestimmungen und um Normalenvektoren... Mehr anzeigen

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Du kennst bereits das Skalarprodukt - jetzt kommt sein "großer Bruder": das Vektorprodukt geschrieben als $\vec{a} \times \vec{b}$. Der wichtigste Unterschied: Das Ergebnis ist kein Skalar, sondern ein komplett neuer Vektor!

Die allgemeine Formel sieht erstmal kompliziert aus: a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}. Keine Sorge - mit etwas Übung wird das zur Routine.

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Das Assoziativgesetz mit Skalaren funktioniert wie gewohnt: (r⋅a⃗)×b⃗=r⋅(a⃗×b⃗)(r \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \times \vec{b}). Auch das Distributivgesetz bleibt vertraut: a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}.

Der Normalenvektor n⃗=a⃗×b⃗\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} ist dein bester Freund bei Ebenenberechnungen - er zeigt dir immer die Richtung senkrecht zur Ebene.

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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektorenrechnung, einschließlich der Unterschiede zwischen Orts- und Richtungsvektoren, der Berechnung von Einheitsvektoren, der Bestimmung des Mittelpunkts und der Länge von Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet praktische Anwendungsaufgaben zur Vektorgeometrie und vertieft Ihr Verständnis für 3D-Koordinatensysteme und orthogonale Vektoren.

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Vektorprodukt und Flächeninhalt

Entdecken Sie die Grundlagen des Vektorprodukts, einschließlich seiner Eigenschaften, Berechnungen und Anwendungen zur Flächeninhaltsermittlung von Parallelogrammen und Dreiecken. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu orthogonalen Vektoren, dem Kreuzprodukt und den relevanten Formeln. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Geometrie der Vektoren

Entdecken Sie die Grundlagen der dreidimensionalen Geometrie, einschließlich Vektoren, deren Addition und Multiplikation, Skalarprodukt, Winkelberechnung und Kreuzprodukt. Erfahren Sie mehr über die Flächenberechnung von Parallelogrammen und Dreiecken sowie das Volumen von Pyramiden und geometrischen Prismen. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.

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Beliebteste Inhalte: Kreuzprodukt

Mathematik LK Abi 2021: Themenübersicht

Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das Mathematik Abitur 2021, einschließlich Analysis, analytische Geometrie und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung. Themen: Hypothesentests, Normalverteilung, Integralrechnung, Vektoren und mehr.

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Ebenen und Geraden im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Geometrie im Raum mit diesem umfassenden Überblick über Ebenen und Geraden. Erfahren Sie, wie Spurpunkte, Schnittpunkte und die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen bestimmt werden. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Vektoren, Skalar- und Vektorprodukte sowie die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur 2022.

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Vektoren in der Analytischen Geometrie

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Vektoren in der analytischen Geometrie, einschließlich Vektortypen, Skalar- und Kreuzprodukt, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie Lagebeziehungen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs. Erlerne die Grundlagen der Vektorgeometrie und deren Anwendungen im dreidimensionalen Koordinatensystem.

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Vektorprodukt und Volumenberechnung

Entdecke die Grundlagen des Vektorprodukts und seine Anwendung zur Berechnung von Volumen und Flächeninhalten. Diese Zusammenfassung behandelt das Vektorprodukt, die Bestimmung des Normalvektors und bietet ein Beispiel zur Volumenberechnung einer dreieckigen Pyramide. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Kreuzprodukt Berechnung

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Vektoren und Geometrie

Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Konzepte der Vektoren und Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt Vektorprodukte, Abstände zwischen Ebenen, die Position von Linien und mehr. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Konzepte des Skalarprodukts, Vektorprodukts und Spatprodukts. Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, die Eigenschaften der Produkte analysiert und deren Anwendungen in der Geometrie versteht. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Geometrie: Ebenen und Geraden

Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Geometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, Abstandsberechnungen, Schnittpunktbestimmungen, Parametergleichungen und der Anwendung von Vektorprodukten. Ideal für die Vorbereitung auf das Mathe-Abitur. Themen: LGS, Kreuzprodukt, Skalarprodukt, Spiegelung, Symmetrie, Winkelberechnung und mehr.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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4.9/5

App Store

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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