Was sind Primzahlen und wie zerlegt man sie?

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Der Name kommt vom lateinischen "numerus primus" - die erste Zahl. Außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade, weil gerade Zahlen immer durch 2 teilbar sind.

Die ersten Primzahlen kennst du bestimmt schon: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Es gibt übrigens unendlich viele davon!

Bei der Primfaktorzerlegung darfst du jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben. Das Coole: Es gibt für jede Zahl nur eine einzige richtige Zerlegung. Zum Beispiel: 840 = 2³ · 3 · 5 · 7.

Tipp: Fang immer mit den kleinsten Primzahlen an - das macht's viel einfacher!

Du kannst große Zahlen erstmal in kleinere Faktoren aufteilen, bevor du die Primfaktoren suchst. So wird aus 840 = 10 · 84, dann weiter zu 2 · 5 · 2 · 42, und so weiter.

Teilbarkeitsregeln - deine Geheimwaffen

Mit diesen Teilbarkeitsregeln erkennst du blitzschnell, durch welche Primzahlen eine Zahl teilbar ist. Das spart dir massig Zeit!

Für 2, 4, 8: Schau nur auf die letzten Ziffern. Letzte Ziffer durch 2 teilbar? → ganze Zahl durch 2 teilbar. Letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar? → ganze Zahl durch 4 teilbar. Bei 8 schaust du auf die letzten drei Ziffern.

Für 3 und 9: Hier hilft die Quersumme! Addiere alle Ziffern zusammen. Ist diese Summe durch 3 teilbar, ist die ganze Zahl durch 3 teilbar. Beispiel: 129 → 1+2+9 = 12 → durch 3 teilbar!

Für 5 und 25: Endet die Zahl auf 0 oder 5? → durch 5 teilbar. Enden die letzten beiden Ziffern auf 00, 25, 50 oder 75? → durch 25 teilbar.

Profi-Trick: Wenn keine Regel greift, prüfe nur Primzahlen bis zur Wurzel der Zahl. Bei 391 musst du nur bis 19 testen!

Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die durch beide gegebenen Zahlen teilbar ist. Super praktisch für Brüche gleichnamig machen!

So gehst du vor: Erst beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Dann nimmst du jeden Primfaktor mit dem höchsten Exponenten, der vorkommt. Bei kgV(90,27): 90 = 2 · 3² · 5 und 27 = 3³ → kgV = 2 · 3³ · 5 = 270.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Gegenteil - die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind. Hier nimmst du jeden gemeinsamen Primfaktor mit dem kleinsten Exponenten.

Merktrick: kgV = höchste Potenzen, ggT = niedrigste gemeinsame Potenzen!

Beispiel ggT(126,147): 126 = 2 · 3² · 7 und 147 = 3 · 7² → gemeinsame Faktoren sind 3 und 7 → ggT = 3¹ · 7¹ = 21.