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Mathe

8. Dez. 2025

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Stochastik Abitur: Grundlagen und Übungen

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Lena @lena_adriana

Stochastik ist überall um dich herum - vom Glücksspiel bis zu Meinungsumfragen! In diesem Kapitel lernst du die... Mehr anzeigen

Q3 - Stochastik
Grundbegriffe der Stochastik
•Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
• Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wie

Stochastik-Grundlagen & Kombinatorik

Stell dir vor, du würfelst oder ziehst Lottozahlen - das sind Zufallsexperimente. Jedes mögliche Resultat nennt man Ergebnis, und alle zusammen bilden den Ergebnisraum Ω. Ein Ereignis ist einfach eine Sammlung von Ergebnissen, die dich interessieren.

Bei Laplace-Experimenten haben alle Ergebnisse die gleiche Chance - wie beim fairen Würfel. Hier rechnest du P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse. Das Gegenereignis Ē tritt ein, wenn E nicht passiert, und es gilt P(E) + P(Ē) = 1.

Die Kombinatorik hilft dir beim Zählen von Möglichkeiten. Ziehst du mit Zurücklegen, hast du bei n Kugeln und k Ziehungen n^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen sind es n!/nkn-k! Möglichkeiten. Beim Lotto ist die Reihenfolge egal - dann brauchst du den Binomialkoeffizienten (n über k) = n!/k!(nk)!k!(n-k)!

Merkregel Mit Zurücklegen = mehr Möglichkeiten, da jede Kugel immer wieder gezogen werden kann!

Q3 - Stochastik
Grundbegriffe der Stochastik
•Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
• Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wie

Bedingte Wahrscheinlichkeit & Unabhängigkeit

Manchmal beeinflusst ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen - das sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Schreibweise P_A(B) bedeutet "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Diese findest du immer auf den hinteren Ästen im Baumdiagramm.

Der Multiplikationssatz besagt P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B). Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P_A(B) = P(B) gilt - das erste Ereignis beeinflusst das zweite nicht. Der Satz von Bayes hilft dir, "rückwärts" zu rechnen Wenn du weißt, dass B eingetreten ist, wie wahrscheinlich war dann A?

Vierfeldertafeln machen alles übersichtlicher. Du trägst die Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle ein und kannst dann alle Werte berechnen. Die Ränder geben dir die Randwahrscheinlichkeiten.

Tipp Bei Textaufgaben erstelle immer zuerst ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel - das macht alles viel klarer!

Q3 - Stochastik
Grundbegriffe der Stochastik
•Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
• Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wie

Statistik & Zufallsvariablen

Statistik wertet reale Daten aus (wie Umfragen), Stochastik macht daraus Vorhersagen für die Zukunft. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu - zum Beispiel die Augenzahl beim Würfeln.

Wichtige Kennzahlen sind der Erwartungswert μ (was du im Durchschnitt erwartest), die Varianz (wie stark die Werte streuen) und die Standardabweichung σ (Wurzel aus der Varianz). Bei echten Daten rechnest du mit dem arithmetischen Mittel und relativen Häufigkeiten.

Bernoulli-Experimente teilen Ergebnisse nur in "Treffer" und "Niete" ein - wie beim Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Anzahl der Treffer folgt dann der Binomialverteilung PX=kX = k = (n über k) · p^k · 1p1-p^nkn-k.

Binomial-Merksatz n Versuche, p bleibt gleich, nur Treffer oder Niete zählen!

Q3 - Stochastik
Grundbegriffe der Stochastik
•Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
• Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wie

Binomialverteilung & Hypothesentests

Bei der Binomialverteilung sind die Kennzahlen super einfach Erwartungswert E(X) = n·p, Varianz V(X) = n·p·1p1-p und Standardabweichung σ = √np(1p)n·p·(1-p). Für Intervalle nutzt du die kumulierte Binomialverteilung F(n; p; k).

Hypothesentests prüfen Vermutungen anhand von Stichproben. Du stellst eine Nullhypothese H₀ und eine Gegenhypothese H₁ auf. Je nach Fragestellung machst du einen rechtsseitigen (H₁ p > p₀) oder linksseitigen Test (H₁ p < p₀).

Dabei können zwei Fehler passieren Fehler 1. Art αFehlerα-Fehler - du verwirfst H₀, obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art βFehlerβ-Fehler - du behältst H₀, obwohl H₁ richtig ist. Das Signifikanzniveau α (meist 5%) begrenzt den ersten Fehlertyp.

Wichtig Je kleiner α, desto seltener verwirfst du H₀ fälschlicherweise - aber desto häufiger übersieht du einen echten Effekt!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Stochastik ist überall um dich herum - vom Glücksspiel bis zu Meinungsumfragen! In diesem Kapitel lernst du die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik kennen, die dir helfen, Zufälle zu verstehen und vorherzusagen.

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Stochastik-Grundlagen & Kombinatorik

Stell dir vor, du würfelst oder ziehst Lottozahlen - das sind Zufallsexperimente. Jedes mögliche Resultat nennt man Ergebnis, und alle zusammen bilden den Ergebnisraum Ω. Ein Ereignis ist einfach eine Sammlung von Ergebnissen, die dich interessieren.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit & Unabhängigkeit

Manchmal beeinflusst ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen - das sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Schreibweise P_A(B) bedeutet: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Diese findest du immer auf den hinteren Ästen im Baumdiagramm.

Der Multiplikationssatz besagt: P(A ∩ B) = P(A) · P_A(B). Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P_A(B) = P(B) gilt - das erste Ereignis beeinflusst das zweite nicht. Der Satz von Bayes hilft dir, "rückwärts" zu rechnen: Wenn du weißt, dass B eingetreten ist, wie wahrscheinlich war dann A?

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Statistik & Zufallsvariablen

Statistik wertet reale Daten aus (wie Umfragen), Stochastik macht daraus Vorhersagen für die Zukunft. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu - zum Beispiel die Augenzahl beim Würfeln.

Wichtige Kennzahlen sind der Erwartungswert μ (was du im Durchschnitt erwartest), die Varianz (wie stark die Werte streuen) und die Standardabweichung σ (Wurzel aus der Varianz). Bei echten Daten rechnest du mit dem arithmetischen Mittel und relativen Häufigkeiten.

Bernoulli-Experimente teilen Ergebnisse nur in "Treffer" und "Niete" ein - wie beim Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Anzahl der Treffer folgt dann der Binomialverteilung: PX=kX = k = (n über k) · p^k · 1p1-p^nkn-k.

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Binomialverteilung & Hypothesentests

Bei der Binomialverteilung sind die Kennzahlen super einfach: Erwartungswert E(X) = n·p, Varianz V(X) = n·p·1p1-p und Standardabweichung σ = √np(1p)n·p·(1-p). Für Intervalle nutzt du die kumulierte Binomialverteilung F(n; p; k).

Hypothesentests prüfen Vermutungen anhand von Stichproben. Du stellst eine Nullhypothese H₀ und eine Gegenhypothese H₁ auf. Je nach Fragestellung machst du einen rechtsseitigen (H₁: p > p₀) oder linksseitigen Test (H₁: p < p₀).

Dabei können zwei Fehler passieren: Fehler 1. Art αFehlerα-Fehler - du verwirfst H₀, obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art βFehlerβ-Fehler - du behältst H₀, obwohl H₁ richtig ist. Das Signifikanzniveau α (meist 5%) begrenzt den ersten Fehlertyp.

Wichtig: Je kleiner α, desto seltener verwirfst du H₀ fälschlicherweise - aber desto häufiger übersieht du einen echten Effekt!

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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