Quadratische Funktionen: Grundlagen und Beispiele

Grundlagen quadratischer Funktionen

Die Normalparabel y = x² ist dein Ausgangspunkt - eine U-förmige Kurve mit dem Scheitelpunkt im Ursprung S(0|0). Mit der erweiterten Form y = a·x² + c kannst du diese Parabel nach oben oder unten verschieben.

Der Faktor a bestimmt das Aussehen deiner Parabel: Ist a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben, ist a < 0 nach unten. Je größer |a|, desto schmaler wird die Parabel - je kleiner |a|, desto breiter.

Merktipp: Bei a = 2 ist die Parabel doppelt so schmal, bei a = 0,5 doppelt so breit wie die Normalparabel!

Du kannst zwischen Scheitelform y = $x-d$² + e und Normalform y = ax² + bx + c wechseln. Die Scheitelform zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(d|e), die Normalform brauchst du für die Lösungsformel.

Nullstellen findest du, indem du y = 0 setzt und die Lösungsformel x₁,₂ = $-b ± √(b²-4ac)$/(2a) anwendest. Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch Einsetzen von x = 0.

Funktionsgleichungen mit zwei Punkten bestimmen

Wenn du zwei Punkte einer Parabel kennst, kannst du ihre Funktionsgleichung berechnen. Das ist wie ein Rätsel lösen - du setzt beide Punkte in die allgemeine Form y = x² + bx + c ein.

Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (b und c). Durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen eliminierst du eine Variable und löst schrittweise auf.

Praxistipp: Rechne sauber und kontrolliere dein Ergebnis, indem du beide ursprünglichen Punkte in deine gefundene Gleichung einsetzt!

Das Verfahren funktioniert immer gleich: Punkte einsetzen → Gleichungssystem aufstellen → eine Variable eliminieren → rückwärts einsetzen. Mit etwas Übung wird das zur Routine und du knackst jede Aufgabe spielend.