Verständnis Quadratischer Funktionen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele

Jennyyy:)

2.12.2025

Mathe

Quadratische Funktionen

Mathematik

Graphen- und Figurentransformationen

Strecktransformation

2.064

•

2. Dez. 2025

•

5 Seiten

Verständnis Quadratischer Funktionen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele

Jennyyy:)

@jennyyyyy

Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von der... Mehr anzeigen

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Mathe Klausur 2
QUADRATISCHE FUNKTIONEN
Allgemeine Form: f(x) = ax ² +bx+,
+bx+c₂
Scheitel punkt form. a (x d)³² +e
Scheibel ist der
tiefste

Grundlagen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen begegnen dir ständig im Alltag, und sie sind eigentlich gar nicht so kompliziert! Die allgemeine Form ist $f(x) = ax^2 + bx + c$ , wobei $a$ bestimmt, wie die Parabel aussieht.

Der Streckfaktor $a$ ist dein wichtigster Parameter. Ist $a > 1$ , wird die Parabel gestreckt (steiler), ist $0 < a < 1$ , wird sie gestaucht (flacher). Bei negativem $a$ öffnet sich die Parabel nach unten statt nach oben.

Die Scheitelpunktform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ zeigt dir sofort den wichtigsten Punkt: Den Scheitelpunkt bei $(d|e)$ . Das ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.

Tipp: Um den Streckfaktor aus dem Graphen abzulesen, gehst du vom Scheitelpunkt 1 Einheit zur Seite und schaust, um wie viele Einheiten der Graph nach oben/unten geht.

Umrechnung zwischen den Formen

Von der Scheitelpunktform zur Normalform kommst du ganz einfach mit den binomischen Formeln. Beispiel: $f(x) = (x+3)^2 - 4$ wird zu $f(x) = x^2 + 6x + 5$ .

Die drei binomischen Formeln sind deine besten Freunde:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Bei der Funktionsbeschreibung achtest du auf drei Dinge: Öffnungsrichtung $positives $a$ = nach oben$ , Streckung/Stauchung und den Scheitelpunkt. Eine Funktion wie $f(x) = -2(x+1)^2 + 3$ öffnet sich nach unten, ist gestreckt und hat ihren Scheitelpunkt bei $(-1|3)$ .

Merkhilfe: In der Scheitelpunktform $a(x-d)^2 + e$ steht beim $d$ das umgekehrte Vorzeichen des tatsächlichen Scheitelpunkts!

Quadratische Gleichungen lösen

Du hast drei verschiedene Werkzeuge, je nachdem was in deiner Gleichung fehlt. Das Ausklammern funktioniert, wenn das absolute Glied ($c$) fehlt - dann klammerst du einfach $x$ aus.

Fehlt das lineare Glied ($bx$), kannst du durch Umformen lösen: $2x^2 - 8 = 0$ wird zu $x^2 = 4$ , also $x = ±2$ .

Die p-q-Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ ist dein Allzweck-Tool, wenn alle Terme da sind. Wichtig: Du musst vorher durch $a$ teilen, damit vor $x^2$ eine 1 steht!

Praxis-Tipp: Mit dem Taschenrechner findest du den Scheitelpunkt schnell über Menü → 9, dann die Bereiche von -5 bis 5 durchprobieren.

Schnittpunkte berechnen

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist super einfach: Setze $x = 0$ ein, und du bekommst den Punkt $(0|c)$ . Das absolute Glied $c$ ist also direkt dein y-Wert!

Für Schnittpunkte mit der x-Achse setzt du $f(x) = 0$ und löst die quadratische Gleichung. Du bekommst 0, 1 oder 2 Lösungen - je nachdem, ob die Parabel die x-Achse schneidet.

Schnittpunkte mit anderen Geraden findest du, indem du beide Funktionen gleichsetzt: $f(x) = g(x)$ . Das ergibt wieder eine quadratische Gleichung, die du mit deinen bekannten Methoden löst.

Kontroll-Trick: Setze deine gefundenen x-Werte in beide ursprünglichen Funktionen ein - du solltest die gleichen y-Werte bekommen!

Funktionsgraphen zeichnen

Das Zeichnen einer Parabel ist wie ein Rezept: Erst den Scheitelpunkt finden und einzeichnen, dann systematisch weitere Punkte konstruieren.

Vom Scheitelpunkt gehst du schrittweise zur Seite und trägst die entsprechenden y-Werte ab: 1 Einheit zur Seite → $1 \cdot a$ nach oben, 2 Einheiten → $4 \cdot a$ nach oben, 3 Einheiten → $9 \cdot a$ nach oben.

Bei der Normalform musst du erst den Scheitelpunkt berechnen: $x_s = -\frac{b}{2a}$ für die x-Koordinate, dann $x_s$ in die Funktion einsetzen für die y-Koordinate.

Zeichnen-Hack: Die Parabel ist symmetrisch zum Scheitelpunkt - zeichne erst eine Seite, dann spiegle die Punkte!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Sarah L

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$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
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Du hast drei verschiedene Werkzeuge, je nachdem was in deiner Gleichung fehlt. Das Ausklammern funktioniert, wenn das absolute Glied ($c$) fehlt - dann klammerst du einfach $x$ aus.

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Funktionsgraphen zeichnen

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