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Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

Mathe368Aktualisiert 16. Sept. 20262 Seiten

Skalarprodukt einfach erklärt

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Das Skalarprodukt ist ein super wichtiges Werkzeug in der Vektorrechnung - vor allem wenn du prüfen willst, ob Vektoren oder Geraden senkrecht zueinander stehen. Mit ein paar einfachen Regeln und Rechnungen bekommst du das schnell drauf!
Skalarprodukt – Seite 1

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Orthogonalität mit dem Skalarprodukt prüfen

Hier kommt die wichtigste Regel überhaupt: Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Das bedeutet: a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an: a⃗=(174)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} und b⃗=(−3−47)\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}. Du rechnest: 1⋅(−3)+7⋅(−4)+4⋅7=−3−28+28=01 \cdot (-3) + 7 \cdot (-4) + 4 \cdot 7 = -3 - 28 + 28 = 0.

Da das Ergebnis 0 ist, sind die Vektoren orthogonal! Bei den Übungsaufgaben funktioniert das genauso - einfach die entsprechenden Komponenten multiplizieren und addieren.

Merktipp: Wenn beim Skalarprodukt 0 rauskommt, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander - das ist immer so!

Skalarprodukt – Seite 2

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Orthogonale Geraden und fehlende Koordinaten bestimmen

Zwei Geraden sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Das ist praktisch, weil du dann einfach die Richtungsvektoren nimmst und das Skalarprodukt berechnest.

Bei dem Beispiel mit g1g_1 und g2g_2 rechnest du: (13−24)⋅(−2−16)=−26+2+24=0\begin{pmatrix} 13 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} = -26 + 2 + 24 = 0. Also sind die Geraden orthogonal!

Richtig cool wird's, wenn du fehlende Koordinaten bestimmen sollst. Du setzt das Skalarprodukt gleich 0 und löst nach der unbekannten Variable auf. Bei a⃗=(230)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} und b⃗=(x−43)\vec{b} = \begin{pmatrix} x \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} ergibt sich: 2x−12=02x - 12 = 0, also x=6x = 6.

Prüftipp: Setze dein Ergebnis immer zurück in die ursprüngliche Gleichung ein - dann siehst du sofort, ob alles stimmt!

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