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Schlauistwow
12.12.2025
Mathe
Stochastik Abitur
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12. Dez. 2025
•
Schlauistwow
@schlauistwow
Stochastik ist überall um dich herum - vom Würfelspiel bis... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist unvorhersagbar, aber nicht zufällig. Zufallsexperimente sind Versuche mit mehreren möglichen Ergebnissen, deren Ausgang du nicht vorhersagen kannst. Alle möglichen Ergebnisse bilden den Ergebnisraum Ω.
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses findest du durch das Gesetz der großen Zahlen heraus. Je öfter du das Experiment wiederholst, desto stabiler wird die relative Häufigkeit - und die nähert sich der echten Wahrscheinlichkeit an.
Das Gegenereignis Ē tritt ein, wenn E nicht eintritt. Merke dir: P(E) + P(Ē) = 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich - wie beim fairen Würfel. Hier gilt die simple Formel: P(E) = |E| / |Ω|.
Tipp: Bei Laplace-Experimenten zählst du einfach günstige durch mögliche Ergebnisse!
Vereinigungsmenge A∪B bedeutet "mindestens eins von beiden" (ODER), Schnittmenge A∩B bedeutet "beide gleichzeitig" (UND). Für Wahrscheinlichkeiten gilt: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Mehrstufige Zufallsexperimente führst du mehrmals hintereinander aus - wie zweimal würfeln. Baumdiagramme machen das übersichtlich und helfen beim Rechnen.
Die 1. Pfadregel (Produktregel): Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Die 2. Pfadregel (Summenregel): Addiere alle Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu deinem Ereignis gehören.
Kombinatorik hilft dir bei komplexeren Experimenten. Du fragst dich: Wie viele Objekte? Wie oft ziehen? Mit oder ohne Zurücklegen? Reihenfolge wichtig? Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen: N = n^k. Ohne Zurücklegen: N = n!/!.
Merkhilfe: Baumdiagramme sind dein bester Freund bei mehrstufigen Experimenten!
Geordnete Vollerhebung bedeutet alle Objekte ziehen : N = n!. Das sind die berühmten Permutationen. Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen kennst du vom Lotto: N = (n über k) = n!/.
Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist. Die Formel: P_B(A) = P(A∩B)/P(B). Wenn P_B(A) = P(A), dann sind A und B unabhängig.
Die Vierfeldertafel organisiert übersichtlich alle Wahrscheinlichkeiten bei zwei Merkmalen mit je zwei Ausprägungen. Fehlende Werte berechnest du durch Addition oder Subtraktion in Zeilen und Spalten.
Unabhängigkeit erkennst du in der Vierfeldertafel durch: P(A)·P(B) = P(A∩B). Im Baumdiagramm sind die Äste zu gleichem Ereignis gleich wahrscheinlich.
Praxistipp: Die Vierfeldertafel ist perfekt für Aufgaben mit zwei ja/nein-Eigenschaften!
Bernoulli-Experimente kennen nur "Treffer" oder "Niete" - wie Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal unabhängig. Die Bernoulli-Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an: P = (n über k)·p^k·^.
Die Binomialverteilung beschreibt die Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten. Du schreibst B(n;p;k) für die Parameter n (Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit).
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) summieren alle Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k auf. Das brauchst du für "höchstens"- und "mindestens"-Aufgaben.
Für "mindestens k": P(X ≥ k) = 1 - P. Für "zwischen a und b": P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P.
Tabellen-Trick: Lerne das Ablesen der Binomialverteilungstabellen - das spart Zeit in der Klausur!
Binomialverteilungstabellen ersparen dir mühsame Rechnungen. Wähle die Tabelle für dein n, dann den Schnittpunkt von k-Zeile und p-Spalte. Für kumulierte Werte nimmst du die entsprechende kumulierte Tabelle.
Die Eigenschaften der Binomialverteilung: Größeres p verschiebt das Maximum nach rechts. Bei p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch. Mit wachsendem n wird sie flacher und symmetrischer.
Der Erwartungswert ist der "Durchschnitt auf lange Sicht": E(X) = Σ. Bei Binomialverteilung: E(X) = n·p. Ein fairer Spiel hat Erwartungswert null.
Varianz Var(X) und Standardabweichung σ = √Var(X) messen die Streuung um den Erwartungswert. Sie zeigen, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert abweichen.
Realitätsbezug: Der Erwartungswert ist wie dein Notendurchschnitt - nur für zukünftige Ereignisse!
Hypothesentests prüfen Behauptungen mit Stichprobendaten. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und versuchst sie zu widerlegen. Die Alternativhypothese H₁ ist das Gegenteil.
Das Signifikanzniveau α (meist 1%, 5% oder 10%) gibt deine Fehlertoleranz an. Je nach Alternativhypothese wählst du: Linksseitiger Test (p < p₀), rechtsseitiger Test (p > p₀) oder beidseitiger Test (p ≠ p₀).
Du erstellst eine Entscheidungsregel mit Annahmebereich A (H₀ wird beibehalten) und Verwerfungsbereich V (H₀ wird verworfen). Die Grenzen findest du über die Binomialverteilungstabellen.
Beim linksseitigen Test suchst du das größte k mit P(X ≤ k) < α. Beim rechtsseitigen Test das kleinste k mit P(X ≥ k) < α. Der beidseitige Test kombiniert beide mit α/2.
Eselsbrücke: Linksseitiger Test = kleine Werte sprechen gegen H₀, rechtsseitiger Test = große Werte sprechen gegen H₀!
Bei Hypothesentests können zwei Fehlerarten auftreten: Der α-Fehler (Fehler 1. Art) verwirft eine wahre Nullhypothese - seine Wahrscheinlichkeit entspricht dem Signifikanzniveau α.
Der β-Fehler (Fehler 2. Art) nimmt eine falsche Nullhypothese an. Seine Wahrscheinlichkeit kannst du nur berechnen, wenn die wahre Wahrscheinlichkeit p der Alternativhypothese bekannt ist.
Alternativtests sind spezielle Hypothesentests, bei denen die Wahrscheinlichkeit p₁ der Alternativhypothese gegeben ist. Hier kannst du beide Fehlerwahrscheinlichkeiten bestimmen.
Die praktische Durchführung: Beim linksseitigen Test ist V = {0, 1, ..., k} und A = {k+1, ..., n}. Beim rechtsseitigen Test umgekehrt: V = {k, k+1, ..., n} und A = {0, 1, ..., k-1}.
Prüfungstipp: Zeichne dir eine Skizze der Verteilung - so erkennst du schnell, welcher Test gebraucht wird!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Schlauistwow
@schlauistwow
Stochastik ist überall um dich herum - vom Würfelspiel bis hin zu Meinungsumfragen. Diese Zusammenfassung zeigt dir alle wichtigen Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die du für dein Abitur brauchst.
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Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist unvorhersagbar, aber nicht zufällig. Zufallsexperimente sind Versuche mit mehreren möglichen Ergebnissen, deren Ausgang du nicht vorhersagen kannst. Alle möglichen Ergebnisse bilden den Ergebnisraum Ω.
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses findest du durch das Gesetz der großen Zahlen heraus. Je öfter du das Experiment wiederholst, desto stabiler wird die relative Häufigkeit - und die nähert sich der echten Wahrscheinlichkeit an.
Das Gegenereignis Ē tritt ein, wenn E nicht eintritt. Merke dir: P(E) + P(Ē) = 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich - wie beim fairen Würfel. Hier gilt die simple Formel: P(E) = |E| / |Ω|.
Tipp: Bei Laplace-Experimenten zählst du einfach günstige durch mögliche Ergebnisse!
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Die 1. Pfadregel (Produktregel): Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Die 2. Pfadregel (Summenregel): Addiere alle Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu deinem Ereignis gehören.
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Die Vierfeldertafel organisiert übersichtlich alle Wahrscheinlichkeiten bei zwei Merkmalen mit je zwei Ausprägungen. Fehlende Werte berechnest du durch Addition oder Subtraktion in Zeilen und Spalten.
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Bernoulli-Experimente kennen nur "Treffer" oder "Niete" - wie Münzwurf. Eine Bernoulli-Kette wiederholt das n-mal unabhängig. Die Bernoulli-Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an: P = (n über k)·p^k·^.
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Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) summieren alle Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k auf. Das brauchst du für "höchstens"- und "mindestens"-Aufgaben.
Für "mindestens k": P(X ≥ k) = 1 - P. Für "zwischen a und b": P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P.
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Binomialverteilungstabellen ersparen dir mühsame Rechnungen. Wähle die Tabelle für dein n, dann den Schnittpunkt von k-Zeile und p-Spalte. Für kumulierte Werte nimmst du die entsprechende kumulierte Tabelle.
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Hypothesentests prüfen Behauptungen mit Stichprobendaten. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und versuchst sie zu widerlegen. Die Alternativhypothese H₁ ist das Gegenteil.
Das Signifikanzniveau α (meist 1%, 5% oder 10%) gibt deine Fehlertoleranz an. Je nach Alternativhypothese wählst du: Linksseitiger Test (p < p₀), rechtsseitiger Test (p > p₀) oder beidseitiger Test (p ≠ p₀).
Du erstellst eine Entscheidungsregel mit Annahmebereich A (H₀ wird beibehalten) und Verwerfungsbereich V (H₀ wird verworfen). Die Grenzen findest du über die Binomialverteilungstabellen.
Beim linksseitigen Test suchst du das größte k mit P(X ≤ k) < α. Beim rechtsseitigen Test das kleinste k mit P(X ≥ k) < α. Der beidseitige Test kombiniert beide mit α/2.
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Bei Hypothesentests können zwei Fehlerarten auftreten: Der α-Fehler (Fehler 1. Art) verwirft eine wahre Nullhypothese - seine Wahrscheinlichkeit entspricht dem Signifikanzniveau α.
Der β-Fehler (Fehler 2. Art) nimmt eine falsche Nullhypothese an. Seine Wahrscheinlichkeit kannst du nur berechnen, wenn die wahre Wahrscheinlichkeit p der Alternativhypothese bekannt ist.
Alternativtests sind spezielle Hypothesentests, bei denen die Wahrscheinlichkeit p₁ der Alternativhypothese gegeben ist. Hier kannst du beide Fehlerwahrscheinlichkeiten bestimmen.
Die praktische Durchführung: Beim linksseitigen Test ist V = {0, 1, ..., k} und A = {k+1, ..., n}. Beim rechtsseitigen Test umgekehrt: V = {k, k+1, ..., n} und A = {0, 1, ..., k-1}.
Prüfungstipp: Zeichne dir eine Skizze der Verteilung - so erkennst du schnell, welcher Test gebraucht wird!
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Stochastik Lernzettel für Mathe LK und auch GK geeignet. Es dient hauptsächlich für die Übersicht der Formeln. Diese Formelübersich habe ich für meine Abivorbereitung im Mathe LK verwendet.
MatheEntdecke die wesentlichen Konzepte der Binomialverteilung, einschließlich der Parameter n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit). Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Eigenschaften der Verteilung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Stochastik mit einem Fokus auf kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Binomialverteilungen, bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Lagemaßen, Streumaßen, Baumdiagrammen und Bernoulli-Versuchen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen in der Stochastik vertiefen möchten.
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MatheUmfassende Zusammenfassung für das Mathematik-Abitur 2023 in NRW. Behandelt Themen wie Analysis, analytische Geometrie, Stochastik, Ableitungsregeln, Integrationsmethoden und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sudenaz Ocak
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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