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Mathematik

Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen

Binomialverteilung

Mathe2.967Aktualisiert 20. Sept. 20265 Seiten

Stochastik Formelübersicht für Mathe Abitur - LK/GK

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Stochastik ist dein Werkzeug, um den Zufall zu verstehen und vorherzusagen! Hier lernst du, wie du mit Wahrscheinlichkeiten rechnest, Zufallsexperimente analysierst und sogar Hypothesen testest.
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Grundlagen der Stochastik

Jedes Zufallsexperiment hat verschiedene Ergebnisse - das sind alle möglichen Ausgänge mit Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen, während das Gegenereignis eintritt, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht passiert. Bei absoluter Häufigkeit zählst du konkret, wie oft etwas auftritt - die relative Häufigkeit gibt dir den Anteil an.

Beim Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel lautet: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse.

Baumdiagramme helfen dir bei mehrstufigen Experimenten. Merke dir die Pfadregeln: Für einen Pfad multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel), für mehrere Pfade addierst du sie (Summenregel).

Tipp: Die Summe aller Äste von einem Verzweigungspunkt ist immer 1!

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Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Vierfeldertafel organisiert Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse A und B übersichtlich. In den Feldern stehen die Kombinationen, am Rand die Summen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?" Die Formel lautet: P_A(B) = P(A∩B) / P(A).

Zufallsvariablen ordnen jedem Ergebnis eine Zahl zu (wie beim Würfel: 1 bis 6). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, welche Wahrscheinlichkeit jeder Wert hat.

Der Erwartungswert ist dein Mittelwert auf lange Sicht: E(X) = x₁ · PX=x1X=x₁ + x₂ · PX=x2X=x₂ + ... Ein Spiel ist fair, wenn E(X) = 0. Varianz und Standardabweichung messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.

Merksatz: Der Erwartungswert sagt dir, was du langfristig erwarten kannst!

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Kombinatorik und Verteilungen

In der Kombinatorik zählst du Möglichkeiten systematisch. Wichtig ist: Mit oder ohne Zurücklegen? Mit oder ohne Reihenfolge? Die Fakultät n! = n·n−1n-1·n−2n-2...·2·1 hilft beim Rechnen.

Die hypergeometrische Verteilung verwendest du beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer begrenzten Grundgesamtheit. Beispiel: Defekte Teile aus einer Lieferung ziehen.

Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt konstant. Eine Bernoulli-Kette wiederholt dieses Experiment n-mal.

Bei der Binomialverteilung gilt: PX=kX=k = (n über k) · p^k · 1−p1-p^n−kn-k. Erwartungswert: μ = n·p, Varianz: σ² = n·p·1−p1-p.

Praxistipp: Binomialverteilung passt perfekt zu "Erfolg oder Misserfolg"-Situationen!

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Kumulierte Wahrscheinlichkeiten und Sigma-Regeln

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten addieren mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten. "Höchstens k" bedeutet alle Werte von 0 bis k, "mindestens k" alle Werte ab k.

Die Parameter n und p beeinflussen das Histogramm: Größeres p verschiebt das Maximum nach rechts, größeres n macht die Verteilung flacher und breiter.

Sigma-Umgebungen zeigen dir, wie wahrscheinlich Abweichungen vom Erwartungswert sind. Die Sigma-Regeln: 68,3% liegen in 1σ-Umgebung, 95,5% in 2σ-Umgebung, 99,7% in 3σ-Umgebung.

Die Laplace-Bedingung σ > 3 prüft, ob die Normalverteilung als Näherung brauchbar ist. Für feste Wahrscheinlichkeiten gibt es spezielle Faktoren: 1,64σ für 90%, 1,96σ für 95%, 2,58σ für 99%.

Faustregel: Je größer n und je näher p bei 0,5, desto besser wird die Normalverteilung-Näherung!

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Normalverteilung und Hypothesentest

Die Normalverteilung approximiert Binomialverteilungen bei großen n durch die berühmte Glockenkurve. Sie wird durch die Gauß'sche Dichtefunktion beschrieben.

Stetige Zufallsgrößen können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Mit der Integralfunktion berechnest du Flächeninhalte unter der Kurve - das entspricht den Wahrscheinlichkeiten.

Der Hypothesentest prüft Vermutungen systematisch. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und testest sie mit einer Stichprobe. Dabei können zwei Fehlerarten auftreten: Fehler 1. Art (H₀ fälschlicherweise ablehnen) und Fehler 2. Art (H₀ fälschlicherweise annehmen).

Das Signifikanzniveau α begrenzt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. Je nach Hypothese führst du linksseitige, rechtsseitige oder zweiseitige Tests durch.

Vorgehen: Hypothesen aufstellen → Testtyp bestimmen → Kritische Werte finden → Entscheidung treffen!

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