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8. Feb. 2026
•
Sophia
@sophiad._xhjt
Stochastik ist dein Werkzeug, um den Zufall zu verstehen und... Mehr anzeigen
Jedes Zufallsexperiment hat verschiedene Ergebnisse - das sind alle möglichen Ausgänge mit Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%.
Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen, während das Gegenereignis eintritt, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht passiert. Bei absoluter Häufigkeit zählst du konkret, wie oft etwas auftritt - die relative Häufigkeit gibt dir den Anteil an.
Beim Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel lautet: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse.
Baumdiagramme helfen dir bei mehrstufigen Experimenten. Merke dir die Pfadregeln: Für einen Pfad multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel), für mehrere Pfade addierst du sie (Summenregel).
Tipp: Die Summe aller Äste von einem Verzweigungspunkt ist immer 1!
Die Vierfeldertafel organisiert Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse A und B übersichtlich. In den Feldern stehen die Kombinationen, am Rand die Summen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?" Die Formel lautet: P_A(B) = P(A∩B) / P(A).
Zufallsvariablen ordnen jedem Ergebnis eine Zahl zu (wie beim Würfel: 1 bis 6). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, welche Wahrscheinlichkeit jeder Wert hat.
Der Erwartungswert ist dein Mittelwert auf lange Sicht: E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... Ein Spiel ist fair, wenn E(X) = 0. Varianz und Standardabweichung messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.
Merksatz: Der Erwartungswert sagt dir, was du langfristig erwarten kannst!
In der Kombinatorik zählst du Möglichkeiten systematisch. Wichtig ist: Mit oder ohne Zurücklegen? Mit oder ohne Reihenfolge? Die Fakultät n! = n··...·2·1 hilft beim Rechnen.
Die hypergeometrische Verteilung verwendest du beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer begrenzten Grundgesamtheit. Beispiel: Defekte Teile aus einer Lieferung ziehen.
Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt konstant. Eine Bernoulli-Kette wiederholt dieses Experiment n-mal.
Bei der Binomialverteilung gilt: P = (n über k) · p^k · ^. Erwartungswert: μ = n·p, Varianz: σ² = n·p·.
Praxistipp: Binomialverteilung passt perfekt zu "Erfolg oder Misserfolg"-Situationen!
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten addieren mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten. "Höchstens k" bedeutet alle Werte von 0 bis k, "mindestens k" alle Werte ab k.
Die Parameter n und p beeinflussen das Histogramm: Größeres p verschiebt das Maximum nach rechts, größeres n macht die Verteilung flacher und breiter.
Sigma-Umgebungen zeigen dir, wie wahrscheinlich Abweichungen vom Erwartungswert sind. Die Sigma-Regeln: 68,3% liegen in 1σ-Umgebung, 95,5% in 2σ-Umgebung, 99,7% in 3σ-Umgebung.
Die Laplace-Bedingung σ > 3 prüft, ob die Normalverteilung als Näherung brauchbar ist. Für feste Wahrscheinlichkeiten gibt es spezielle Faktoren: 1,64σ für 90%, 1,96σ für 95%, 2,58σ für 99%.
Faustregel: Je größer n und je näher p bei 0,5, desto besser wird die Normalverteilung-Näherung!
Die Normalverteilung approximiert Binomialverteilungen bei großen n durch die berühmte Glockenkurve. Sie wird durch die Gauß'sche Dichtefunktion beschrieben.
Stetige Zufallsgrößen können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Mit der Integralfunktion berechnest du Flächeninhalte unter der Kurve - das entspricht den Wahrscheinlichkeiten.
Der Hypothesentest prüft Vermutungen systematisch. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und testest sie mit einer Stichprobe. Dabei können zwei Fehlerarten auftreten: Fehler 1. Art (H₀ fälschlicherweise ablehnen) und Fehler 2. Art (H₀ fälschlicherweise annehmen).
Das Signifikanzniveau α begrenzt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. Je nach Hypothese führst du linksseitige, rechtsseitige oder zweiseitige Tests durch.
Vorgehen: Hypothesen aufstellen → Testtyp bestimmen → Kritische Werte finden → Entscheidung treffen!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Sophia
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Jedes Zufallsexperiment hat verschiedene Ergebnisse - das sind alle möglichen Ausgänge mit Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%.
Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen, während das Gegenereignis eintritt, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht passiert. Bei absoluter Häufigkeit zählst du konkret, wie oft etwas auftritt - die relative Häufigkeit gibt dir den Anteil an.
Beim Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel lautet: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse.
Baumdiagramme helfen dir bei mehrstufigen Experimenten. Merke dir die Pfadregeln: Für einen Pfad multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten (Produktregel), für mehrere Pfade addierst du sie (Summenregel).
Tipp: Die Summe aller Äste von einem Verzweigungspunkt ist immer 1!
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Zufallsvariablen ordnen jedem Ergebnis eine Zahl zu (wie beim Würfel: 1 bis 6). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, welche Wahrscheinlichkeit jeder Wert hat.
Der Erwartungswert ist dein Mittelwert auf lange Sicht: E(X) = x₁ · P + x₂ · P + ... Ein Spiel ist fair, wenn E(X) = 0. Varianz und Standardabweichung messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.
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Sigma-Umgebungen zeigen dir, wie wahrscheinlich Abweichungen vom Erwartungswert sind. Die Sigma-Regeln: 68,3% liegen in 1σ-Umgebung, 95,5% in 2σ-Umgebung, 99,7% in 3σ-Umgebung.
Die Laplace-Bedingung σ > 3 prüft, ob die Normalverteilung als Näherung brauchbar ist. Für feste Wahrscheinlichkeiten gibt es spezielle Faktoren: 1,64σ für 90%, 1,96σ für 95%, 2,58σ für 99%.
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Die Normalverteilung approximiert Binomialverteilungen bei großen n durch die berühmte Glockenkurve. Sie wird durch die Gauß'sche Dichtefunktion beschrieben.
Stetige Zufallsgrößen können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Mit der Integralfunktion berechnest du Flächeninhalte unter der Kurve - das entspricht den Wahrscheinlichkeiten.
Der Hypothesentest prüft Vermutungen systematisch. Du stellst eine Nullhypothese H₀ auf und testest sie mit einer Stichprobe. Dabei können zwei Fehlerarten auftreten: Fehler 1. Art (H₀ fälschlicherweise ablehnen) und Fehler 2. Art (H₀ fälschlicherweise annehmen).
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Vertiefte Einblicke in die Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsexperimente, Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Binomialverteilung und Normalverteilung. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Statistik verstehen und anwenden möchten. Enthält wichtige Formeln und Beispiele zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich stochastischer Unabhängigkeit, Binomialverteilung und bedingter Wahrscheinlichkeit. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ideal für Studierende der Mathematik und Statistik.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht zur Binomialverteilung und den Bernoulli-Versuchen. Er behandelt die Grundlagen, die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, den Erwartungswert sowie die Standardabweichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten. Themen: Binomialverteilung, Bernoulli-Versuch, Wahrscheinlichkeitsberechnung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Integralrechnung, die in der Klausur GK Q1 behandelt werden. Themen umfassen die Berechnung bestimmter Integrale, die Anwendung der Substitution, das Volumen von Rotationskörpern und die Flächenberechnung zwischen Graphen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis grundlegender Integrationsmethoden.
MatheEntdecke die wesentlichen Konzepte der Binomialverteilung, einschließlich der Parameter n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit). Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Eigenschaften der Verteilung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Binomialverteilung mit praktischen Übungsaufgaben. Diese Zusammenstellung behandelt die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Erfolgen und Misserfolgen in verschiedenen Szenarien, einschließlich Münzwürfen und Testfragen. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.
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Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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Rohan U
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