Symmetrie von Funktionen

Funktionen können zwei Hauptarten von Symmetrie aufweisen: Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Bei der Achsensymmetrie zur y-Achse gilt die Bedingung $f(-x) = f(x)$ für alle x aus dem Definitionsbereich. Das bedeutet, dass der Funktionsgraph an der y-Achse gespiegelt werden kann und dabei unverändert bleibt.

Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt hingegen $f(-x) = -f(x)$. Hier kannst du dir vorstellen, dass der Graph um den Ursprung (0,0) um 180° gedreht werden kann und dabei unverändert bleibt.

Um die Symmetrie einer Funktion rechnerisch zu überprüfen, setzt du -x anstelle von x ein und vereinfachst den Term. Beispielsweise ist $f(x) = x^2$ achsensymmetrisch, da $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Die Funktion $g(x) = x^3$ ist dagegen punktsymmetrisch, weil $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$.

💡 Merkhilfe: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten wie $x^2$, $x^4$ sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten wie $x^1$, $x^3$ sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Mischformen haben meist keine Standardsymmetrie.

Nicht alle Funktionen weisen eine der beiden Standardsymmetrien auf. Beispielsweise hat $h(x) = 0,5x^3 + 1,5x^2$ keine Symmetrie, da bei der Überprüfung weder $h(-x) = h(x)$ noch $h(-x) = -h(x)$ erfüllt ist.