Grundlagen zu Terme und Gleichungen

Grundlagen von Termen

Jeder Term hat eine Hauptrechenoperation, die bestimmt, wie er heißt. Bei 3x + 5 ist das Plus die letzte Operation, also ist es eine Summe. Das ist wichtig für spätere Rechnungen!

Terme vereinfachen ist eigentlich ganz logisch: Du kannst nur gleiche Sachen zusammenfassen. 7b und 3b kannst du addieren, aber 7b und 3a nicht - die haben verschiedene Variablen. Bei 5x - 7b + 3 + 2b sammelst du erst alle x-Terme, dann alle b-Terme und zum Schluss die Zahlen ohne Variablen.

Beim Multiplizieren und Dividieren von Variablen addierst du die Exponenten $3a · 5a = 15a²$ oder subtrahierst sie $10z : 2z = 5$. Das funktioniert wie bei Potenzen - x ist ja eigentlich x¹.

Merktipp: Nur gleiche Variablen lassen sich bei Addition und Subtraktion zusammenfassen!

Klammern und Binomische Formeln

Klammern ausmultiplizieren bedeutet: Jeder Term vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert. Bei 5$x+y$ rechnest du 5·x + 5·y = 5x + 5y. Das Distributivgesetz macht's möglich!

Bei Minusklammern drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um. Aus -$3x-5y$ wird -3x+5y. Die Klammer verschwindet dabei komplett. Das ist oft ein Stolperstein - pass gut auf die Vorzeichen auf!

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde für schnelleres Rechnen. $a+b$² = a²+2ab+b², $a-b$² = a²-2ab+b² und a+b$$a-b = a²-b². Diese Muster erkennst du mit der Zeit automatisch.

Faktorisieren ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren. Du suchst gemeinsame Faktoren und klammerst sie aus: 12a²-8a = 4a$3a-2$.

Profi-Tipp: Erkenne binomische Formeln rückwärts - das spart Zeit beim Faktorisieren!

Bruchterme meistern

Bruchterme kürzen geht nur bei Produkten! Der wichtigste Merksatz: "In Summen kürzen nur die Dummen!" Du musst zuerst ausklammern oder binomische Formeln anwenden, um Summen in Produkte zu verwandeln.

Bei Addition und Subtraktion von Brüchen brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Bei verschiedenen Nennern multiplizierst du jeden Bruch mit dem Nenner des anderen: a/b + c/d = (ad + bc)/(bd).

Multiplikation und Division funktioniert wie bei normalen Brüchen. Bei Division drehst du den zweiten Bruch um und multiplizierst. Kürzen kannst du immer dann, wenn dieselbe Variable in Zähler und Nenner steht.

Bruchgleichungen löst du, indem du beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner multiplizierst. Wichtig: Bestimme zuerst den Definitionsbereich - die Nenner dürfen nie null werden!

Achtung: Vergiss nie den Definitionsbereich bei Bruchgleichungen - Werte, die den Nenner null machen, sind verboten!