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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

Mathe

17. Dez. 2025

1.026

9 Seiten

Einfach erklärt: Algebra-Themen und Lösungswege

P

Paul @paul_thzx

Diese Probeklausur deckt die wichtigsten Mathe-Themen der Mittelstufe ab: Termumformung, lineare und quadratische Funktionen sowie lineare Gleichungssysteme. Alles... Mehr anzeigen

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Probeklausur Übersicht

Du stehst vor einer typischen Mittelstufenklausur, die deine mathematischen Grundfertigkeiten testet. Die Aufgaben sind bewusst ohne Taschenrechner konzipiert - das schult dein Zahlenverständnis enorm.

Termumformung und Berechnungen stehen am Anfang Bruchrechnung, binomische Formeln und Potenzregeln. Diese Basics brauchst du für alles Weitere, also nimm dir hier genug Zeit.

Bei den linearen Funktionen arbeitest du mit Punkten, Steigungen und Schnittpunkten. Das Aufstellen von Geradengleichungen aus zwei Punkten ist ein Klassiker in jeder Prüfung.

Tipp Schreibe immer deinen Lösungsweg auf - auch bei "einfachen" Aufgaben. Das bringt dir wertvolle Teilpunkte!

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Grundlagen Brüche und Terme

Bruchrechnung ohne Taschenrechner ist machbar, wenn du die Regeln kennst. Bei Addition und Subtraktion brauchst du einen gemeinsamen Nenner - bei Division kehrst du den zweiten Bruch um und multiplizierst.

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 und (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Diese Muster erkennst du nach etwas Übung sofort.

Potenzregeln vereinfachen kompliziert aussehende Terme xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} und (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}. Bei negativen Exponenten wird's zu einem Bruch x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}.

Merkregel Bei Wurzeln denkst du an Bruchexponenten xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}

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Lösungen Termumformung

Die Bruchrechnungen funktionieren über gemeinsame Nenner. Bei 24+17\frac{2}{4} + \frac{1}{7} erweiterst du beide Brüche auf 28 und erhältst 1428+428=1828=914\frac{14}{28} + \frac{4}{28} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}.

Binomische Formeln anwenden (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 und (x+9)(x−9)=x2−81(x+9)(x-9) = x^2 - 81. Bei (2−x)2(\sqrt{2}-x)^2 wird's zu x2−22x+2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2.

Die Potenzregeln zeigen sich bei x2⋅x4=x6x^2 \cdot x^4 = x^6 und x2⋅x−3=x−1=1xx^2 \cdot x^{-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}. Bei x63\sqrt[3]{x^6} denkst du (x6)13=x2(x^6)^{\frac{1}{3}} = x^2.

Kontrolltipp Setze einfache Zahlen für x ein und prüfe, ob dein Ergebnis stimmt!

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Lineare Funktionen meistern

Geradengleichungen aus zwei Punkten aufstellen ist Routine Steigung m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Mit P(3/5) und Q(6/7) wird's zu f(x)=23x+3f(x) = \frac{2}{3}x + 3.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt 23x+3=0\frac{2}{3}x + 3 = 0 führt zu x=−92x = -\frac{9}{2}. Das ist der x-Wert, wo die Gerade die x-Achse schneidet.

Schnittpunkte zweier Geraden berechnest du durch Gleichsetzen f(x)=g(x)f(x) = g(x). Nach dem Umformen erhältst du die x-Koordinate, die y-Koordinate folgt durch Einsetzen.

Probe Setze deine Schnittpunkt-Koordinaten in beide Funktionen ein - sie müssen den gleichen y-Wert liefern!

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Quadratische Funktionen verstehen

Nullstellen quadratischer Funktionen findest du mit der pq-Formel x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}. Bei x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 wird's zu x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}.

Scheitelpunkte berechnest du durch quadratische Ergänzung Aus 3x2−12x+63x^2 - 12x + 6 wird 3(x−2)2−63(x-2)^2 - 6. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2∣−6)S(2|-6).

Schnittpunkte mit anderen Funktionen findest du wieder durch Gleichsetzen. Wenn beide Funktionen quadratisch sind, kann es null, einen oder zwei Schnittpunkte geben.

Diskriminante beachten Ist der Term unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen!

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Weitere quadratische Beispiele

Bei f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 wird die pq-Formel komplizierter Nach Division durch 3 erhältst du x2+73x−13=0x^2 + \frac{7}{3}x - \frac{1}{3} = 0. Die Nullstellen sind x1,2=−7±616x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{6}.

Quadratische Ergänzung funktioniert auch mit Brüchen 3x2+7x−13x^2 + 7x - 1 wird zu 3(x+76)2−61123(x + \frac{7}{6})^2 - \frac{61}{12}. Der Scheitelpunkt liegt bei S(−76∣−6112)S(-\frac{7}{6}|-\frac{61}{12}).

Die Rechnungen werden aufwendiger, aber das Prinzip bleibt gleich. Arbeite sorgfältig mit Brüchen und kontrolliere deine Zwischenschritte.

Zeitmanagement Bei komplizierten Brüchen lieber langsam und sicher rechnen als schnell und fehlerhaft!

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Schnittpunkte und Diskriminante

Beim Gleichsetzen von f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 und g(x)=x2−12g(x) = x^2 - 12 erhältst du 2x2+7x+11=02x^2 + 7x + 11 = 0. Die Diskriminante (74)2−112(\frac{7}{4})^2 - \frac{11}{2} ist negativ.

Negative Diskriminante bedeutet Die Parabeln schneiden sich nicht! Das erkennst du daran, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Diese Situationen kommen in Prüfungen oft vor - du sollst zeigen, dass du das erkennst und mathematisch begründen kannst.

Antwort formulieren Schreibe klar hin "Die Funktionen schneiden sich nicht, da die Diskriminante negativ ist."

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Lineare Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme löst du am besten mit dem Additionsverfahren. Multipliziere eine Gleichung so, dass sich eine Variable beim Addieren weghebt.

Bei 23a−12b=1312\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b = \frac{13}{12} und 2a−4b=72a - 4b = 7 multiplizierst du die erste Gleichung mit 3 2a−32b=1342a - \frac{3}{2}b = \frac{13}{4}. Nach geschicktem Addieren erhältst du b=−54b = -\frac{5}{4}.

Rückwärts einsetzen Den gefundenen b-Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest a. Ergebnis a=1a = 1, b=−54b = -\frac{5}{4}.

Probe machen Setze deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen stimmen!

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Komplexere Gleichungssysteme

Das System a+3b=7a + 3b = 7 und 5b=−7a5b = -7a bringst du erst in Standardform a+3b=7a + 3b = 7 und 7a+5b=07a + 5b = 0.

Systematisches Vorgehen Multipliziere die erste Gleichung mit -7 und addiere zur zweiten −7a−21b+7a+5b=−49-7a - 21b + 7a + 5b = -49. Das ergibt −16b=−49-16b = -49, also b=4916b = \frac{49}{16}.

Einsetzen liefert a=7−3⋅4916=−3516a = 7 - 3 \cdot \frac{49}{16} = -\frac{35}{16}. Die Lösung ist (−3516∣4916)(-\frac{35}{16}|\frac{49}{16}).

Ordnung halten Nummeriere deine Gleichungen durch (I), (II), (I'), etc. - so behältst du den Überblick!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Bruchrechnung ohne Taschenrechner ist machbar, wenn du die Regeln kennst. Bei Addition und Subtraktion brauchst du einen gemeinsamen Nenner - bei Division kehrst du den zweiten Bruch um und multiplizierst.

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 und (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Diese Muster erkennst du nach etwas Übung sofort.

Potenzregeln vereinfachen kompliziert aussehende Terme: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} und (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}. Bei negativen Exponenten wird's zu einem Bruch: x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}.

Merkregel: Bei Wurzeln denkst du an Bruchexponenten: xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}

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Lösungen: Termumformung

Die Bruchrechnungen funktionieren über gemeinsame Nenner. Bei 24+17\frac{2}{4} + \frac{1}{7} erweiterst du beide Brüche auf 28 und erhältst 1428+428=1828=914\frac{14}{28} + \frac{4}{28} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}.

Binomische Formeln anwenden: (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 und (x+9)(x−9)=x2−81(x+9)(x-9) = x^2 - 81. Bei (2−x)2(\sqrt{2}-x)^2 wird's zu x2−22x+2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2.

Die Potenzregeln zeigen sich bei x2⋅x4=x6x^2 \cdot x^4 = x^6 und x2⋅x−3=x−1=1xx^2 \cdot x^{-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}. Bei x63\sqrt[3]{x^6} denkst du: (x6)13=x2(x^6)^{\frac{1}{3}} = x^2.

Kontrolltipp: Setze einfache Zahlen für x ein und prüfe, ob dein Ergebnis stimmt!

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Lineare Funktionen meistern

Geradengleichungen aus zwei Punkten aufstellen ist Routine: Steigung m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Mit P(3/5) und Q(6/7) wird's zu f(x)=23x+3f(x) = \frac{2}{3}x + 3.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: 23x+3=0\frac{2}{3}x + 3 = 0 führt zu x=−92x = -\frac{9}{2}. Das ist der x-Wert, wo die Gerade die x-Achse schneidet.

Schnittpunkte zweier Geraden berechnest du durch Gleichsetzen: f(x)=g(x)f(x) = g(x). Nach dem Umformen erhältst du die x-Koordinate, die y-Koordinate folgt durch Einsetzen.

Probe: Setze deine Schnittpunkt-Koordinaten in beide Funktionen ein - sie müssen den gleichen y-Wert liefern!

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Quadratische Funktionen verstehen

Nullstellen quadratischer Funktionen findest du mit der pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}. Bei x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 wird's zu x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}.

Scheitelpunkte berechnest du durch quadratische Ergänzung: Aus 3x2−12x+63x^2 - 12x + 6 wird 3(x−2)2−63(x-2)^2 - 6. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2∣−6)S(2|-6).

Schnittpunkte mit anderen Funktionen findest du wieder durch Gleichsetzen. Wenn beide Funktionen quadratisch sind, kann es null, einen oder zwei Schnittpunkte geben.

Diskriminante beachten: Ist der Term unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen!

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Weitere quadratische Beispiele

Bei f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 wird die pq-Formel komplizierter: Nach Division durch 3 erhältst du x2+73x−13=0x^2 + \frac{7}{3}x - \frac{1}{3} = 0. Die Nullstellen sind x1,2=−7±616x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{6}.

Quadratische Ergänzung funktioniert auch mit Brüchen: 3x2+7x−13x^2 + 7x - 1 wird zu 3(x+76)2−61123(x + \frac{7}{6})^2 - \frac{61}{12}. Der Scheitelpunkt liegt bei S(−76∣−6112)S(-\frac{7}{6}|-\frac{61}{12}).

Die Rechnungen werden aufwendiger, aber das Prinzip bleibt gleich. Arbeite sorgfältig mit Brüchen und kontrolliere deine Zwischenschritte.

Zeitmanagement: Bei komplizierten Brüchen lieber langsam und sicher rechnen als schnell und fehlerhaft!

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Schnittpunkte und Diskriminante

Beim Gleichsetzen von f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 und g(x)=x2−12g(x) = x^2 - 12 erhältst du 2x2+7x+11=02x^2 + 7x + 11 = 0. Die Diskriminante (74)2−112(\frac{7}{4})^2 - \frac{11}{2} ist negativ.

Negative Diskriminante bedeutet: Die Parabeln schneiden sich nicht! Das erkennst du daran, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Diese Situationen kommen in Prüfungen oft vor - du sollst zeigen, dass du das erkennst und mathematisch begründen kannst.

Antwort formulieren: Schreibe klar hin: "Die Funktionen schneiden sich nicht, da die Diskriminante negativ ist."

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Lineare Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme löst du am besten mit dem Additionsverfahren. Multipliziere eine Gleichung so, dass sich eine Variable beim Addieren weghebt.

Bei 23a−12b=1312\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b = \frac{13}{12} und 2a−4b=72a - 4b = 7 multiplizierst du die erste Gleichung mit 3: 2a−32b=1342a - \frac{3}{2}b = \frac{13}{4}. Nach geschicktem Addieren erhältst du b=−54b = -\frac{5}{4}.

Rückwärts einsetzen: Den gefundenen b-Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest a. Ergebnis: a=1a = 1, b=−54b = -\frac{5}{4}.

Probe machen: Setze deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen stimmen!

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Komplexere Gleichungssysteme

Das System a+3b=7a + 3b = 7 und 5b=−7a5b = -7a bringst du erst in Standardform: a+3b=7a + 3b = 7 und 7a+5b=07a + 5b = 0.

Systematisches Vorgehen: Multipliziere die erste Gleichung mit -7 und addiere zur zweiten: −7a−21b+7a+5b=−49-7a - 21b + 7a + 5b = -49. Das ergibt −16b=−49-16b = -49, also b=4916b = \frac{49}{16}.

Einsetzen liefert a=7−3⋅4916=−3516a = 7 - 3 \cdot \frac{49}{16} = -\frac{35}{16}. Die Lösung ist (−3516∣4916)(-\frac{35}{16}|\frac{49}{16}).

Ordnung halten: Nummeriere deine Gleichungen durch (I), (II), (I'), etc. - so behältst du den Überblick!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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