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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

1.026

•

17. Feb. 2026

•

9 Seiten

Einfach erklärt: Algebra-Themen und Lösungswege

P

Paul

@paul_thzx

Diese Probeklausur deckt die wichtigsten Mathe-Themen der Mittelstufe ab: Termumformung,... Mehr anzeigen

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# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Probeklausur Übersicht

Du stehst vor einer typischen Mittelstufenklausur, die deine mathematischen Grundfertigkeiten testet. Die Aufgaben sind bewusst ohne Taschenrechner konzipiert - das schult dein Zahlenverständnis enorm.

Termumformung und Berechnungen stehen am Anfang: Bruchrechnung, binomische Formeln und Potenzregeln. Diese Basics brauchst du für alles Weitere, also nimm dir hier genug Zeit.

Bei den linearen Funktionen arbeitest du mit Punkten, Steigungen und Schnittpunkten. Das Aufstellen von Geradengleichungen aus zwei Punkten ist ein Klassiker in jeder Prüfung.

Tipp: Schreibe immer deinen Lösungsweg auf - auch bei "einfachen" Aufgaben. Das bringt dir wertvolle Teilpunkte!

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Grundlagen: Brüche und Terme

Bruchrechnung ohne Taschenrechner ist machbar, wenn du die Regeln kennst. Bei Addition und Subtraktion brauchst du einen gemeinsamen Nenner - bei Division kehrst du den zweiten Bruch um und multiplizierst.

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 und (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Diese Muster erkennst du nach etwas Übung sofort.

Potenzregeln vereinfachen kompliziert aussehende Terme: xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b} und (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}. Bei negativen Exponenten wird's zu einem Bruch: x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}.

Merkregel: Bei Wurzeln denkst du an Bruchexponenten: xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Lösungen: Termumformung

Die Bruchrechnungen funktionieren über gemeinsame Nenner. Bei 24+17\frac{2}{4} + \frac{1}{7} erweiterst du beide Brüche auf 28 und erhältst 1428+428=1828=914\frac{14}{28} + \frac{4}{28} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}.

Binomische Formeln anwenden: (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 und (x+9)(x−9)=x2−81(x+9)(x-9) = x^2 - 81. Bei (2−x)2(\sqrt{2}-x)^2 wird's zu x2−22x+2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2.

Die Potenzregeln zeigen sich bei x2⋅x4=x6x^2 \cdot x^4 = x^6 und x2⋅x−3=x−1=1xx^2 \cdot x^{-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}. Bei x63\sqrt[3]{x^6} denkst du: (x6)13=x2(x^6)^{\frac{1}{3}} = x^2.

Kontrolltipp: Setze einfache Zahlen für x ein und prüfe, ob dein Ergebnis stimmt!

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Lineare Funktionen meistern

Geradengleichungen aus zwei Punkten aufstellen ist Routine: Steigung m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Mit P(3/5) und Q(6/7) wird's zu f(x)=23x+3f(x) = \frac{2}{3}x + 3.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: 23x+3=0\frac{2}{3}x + 3 = 0 führt zu x=−92x = -\frac{9}{2}. Das ist der x-Wert, wo die Gerade die x-Achse schneidet.

Schnittpunkte zweier Geraden berechnest du durch Gleichsetzen: f(x)=g(x)f(x) = g(x). Nach dem Umformen erhältst du die x-Koordinate, die y-Koordinate folgt durch Einsetzen.

Probe: Setze deine Schnittpunkt-Koordinaten in beide Funktionen ein - sie müssen den gleichen y-Wert liefern!

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Quadratische Funktionen verstehen

Nullstellen quadratischer Funktionen findest du mit der pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}. Bei x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 wird's zu x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}.

Scheitelpunkte berechnest du durch quadratische Ergänzung: Aus $3x^2 - 12x + 6wird wird 3x−2x-2^2 - 6.DerScheitelpunktliegtbei. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2|-6)$.

Schnittpunkte mit anderen Funktionen findest du wieder durch Gleichsetzen. Wenn beide Funktionen quadratisch sind, kann es null, einen oder zwei Schnittpunkte geben.

Diskriminante beachten: Ist der Term unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen!

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Weitere quadratische Beispiele

Bei f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 wird die pq-Formel komplizierter: Nach Division durch 3 erhältst du x2+73x−13=0x^2 + \frac{7}{3}x - \frac{1}{3} = 0. Die Nullstellen sind x1,2=−7±616x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{6}.

Quadratische Ergänzung funktioniert auch mit Brüchen: $3x^2 + 7x - 1wirdzu wird zu 3x+76x + \frac{7}{6}^2 - \frac{61}{12}.DerScheitelpunktliegtbei. Der Scheitelpunkt liegt bei S−76∣−6112-\frac{7}{6}|-\frac{61}{12}$.

Die Rechnungen werden aufwendiger, aber das Prinzip bleibt gleich. Arbeite sorgfältig mit Brüchen und kontrolliere deine Zwischenschritte.

Zeitmanagement: Bei komplizierten Brüchen lieber langsam und sicher rechnen als schnell und fehlerhaft!

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Schnittpunkte und Diskriminante

Beim Gleichsetzen von f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 und g(x)=x2−12g(x) = x^2 - 12 erhältst du $2x^2 + 7x + 11 = 0$. Die Diskriminante (74)2−112(\frac{7}{4})^2 - \frac{11}{2} ist negativ.

Negative Diskriminante bedeutet: Die Parabeln schneiden sich nicht! Das erkennst du daran, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Diese Situationen kommen in Prüfungen oft vor - du sollst zeigen, dass du das erkennst und mathematisch begründen kannst.

Antwort formulieren: Schreibe klar hin: "Die Funktionen schneiden sich nicht, da die Diskriminante negativ ist."

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Lineare Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme löst du am besten mit dem Additionsverfahren. Multipliziere eine Gleichung so, dass sich eine Variable beim Addieren weghebt.

Bei 23a−12b=1312\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b = \frac{13}{12} und $2a - 4b = 7multiplizierstdudieersteGleichungmit3: multiplizierst du die erste Gleichung mit 3: 2a - \frac{3}{2}b = \frac{13}{4}.NachgeschicktemAddierenerha¨ltstdu. Nach geschicktem Addieren erhältst du b = -\frac{5}{4}$.

Rückwärts einsetzen: Den gefundenen b-Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest a. Ergebnis: a=1a = 1, b=−54b = -\frac{5}{4}.

Probe machen: Setze deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen stimmen!

# Probeklausur Nr.1 von Paul 24. September 2021 ## Vorworte - Dies ist die Version 1.0. - Die Themen dieses Test sind Termumformung und

Komplexere Gleichungssysteme

Das System a+3b=7a + 3b = 7 und $5b = -7abringstduerstinStandardform: bringst du erst in Standardform: a + 3b = 7und und 7a + 5b = 0$.

Systematisches Vorgehen: Multipliziere die erste Gleichung mit -7 und addiere zur zweiten: −7a−21b+7a+5b=−49-7a - 21b + 7a + 5b = -49. Das ergibt −16b=−49-16b = -49, also b=4916b = \frac{49}{16}.

Einsetzen liefert a=7−3⋅4916=−3516a = 7 - 3 \cdot \frac{49}{16} = -\frac{35}{16}. Die Lösung ist (−3516∣4916)(-\frac{35}{16}|\frac{49}{16}).

Ordnung halten: Nummeriere deine Gleichungen durch (I), (II), (I'), etc. - so behältst du den Überblick!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Sudenaz Ocak

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Rohan U

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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

 

Mathe

•

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Paul

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Lösungen: Termumformung

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Die Potenzregeln zeigen sich bei x2⋅x4=x6x^2 \cdot x^4 = x^6 und x2⋅x−3=x−1=1xx^2 \cdot x^{-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}. Bei x63\sqrt[3]{x^6} denkst du: (x6)13=x2(x^6)^{\frac{1}{3}} = x^2.

Kontrolltipp: Setze einfache Zahlen für x ein und prüfe, ob dein Ergebnis stimmt!

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Lineare Funktionen meistern

Geradengleichungen aus zwei Punkten aufstellen ist Routine: Steigung m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden. Mit P(3/5) und Q(6/7) wird's zu f(x)=23x+3f(x) = \frac{2}{3}x + 3.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: 23x+3=0\frac{2}{3}x + 3 = 0 führt zu x=−92x = -\frac{9}{2}. Das ist der x-Wert, wo die Gerade die x-Achse schneidet.

Schnittpunkte zweier Geraden berechnest du durch Gleichsetzen: f(x)=g(x)f(x) = g(x). Nach dem Umformen erhältst du die x-Koordinate, die y-Koordinate folgt durch Einsetzen.

Probe: Setze deine Schnittpunkt-Koordinaten in beide Funktionen ein - sie müssen den gleichen y-Wert liefern!

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Quadratische Funktionen verstehen

Nullstellen quadratischer Funktionen findest du mit der pq-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}. Bei x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 wird's zu x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}.

Scheitelpunkte berechnest du durch quadratische Ergänzung: Aus $3x^2 - 12x + 6wird wird 3x−2x-2^2 - 6.DerScheitelpunktliegtbei. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2|-6)$.

Schnittpunkte mit anderen Funktionen findest du wieder durch Gleichsetzen. Wenn beide Funktionen quadratisch sind, kann es null, einen oder zwei Schnittpunkte geben.

Diskriminante beachten: Ist der Term unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen!

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Weitere quadratische Beispiele

Bei f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 wird die pq-Formel komplizierter: Nach Division durch 3 erhältst du x2+73x−13=0x^2 + \frac{7}{3}x - \frac{1}{3} = 0. Die Nullstellen sind x1,2=−7±616x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{6}.

Quadratische Ergänzung funktioniert auch mit Brüchen: $3x^2 + 7x - 1wirdzu wird zu 3x+76x + \frac{7}{6}^2 - \frac{61}{12}.DerScheitelpunktliegtbei. Der Scheitelpunkt liegt bei S−76∣−6112-\frac{7}{6}|-\frac{61}{12}$.

Die Rechnungen werden aufwendiger, aber das Prinzip bleibt gleich. Arbeite sorgfältig mit Brüchen und kontrolliere deine Zwischenschritte.

Zeitmanagement: Bei komplizierten Brüchen lieber langsam und sicher rechnen als schnell und fehlerhaft!

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Schnittpunkte und Diskriminante

Beim Gleichsetzen von f(x)=3x2+7x−1f(x) = 3x^2 + 7x - 1 und g(x)=x2−12g(x) = x^2 - 12 erhältst du $2x^2 + 7x + 11 = 0$. Die Diskriminante (74)2−112(\frac{7}{4})^2 - \frac{11}{2} ist negativ.

Negative Diskriminante bedeutet: Die Parabeln schneiden sich nicht! Das erkennst du daran, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Diese Situationen kommen in Prüfungen oft vor - du sollst zeigen, dass du das erkennst und mathematisch begründen kannst.

Antwort formulieren: Schreibe klar hin: "Die Funktionen schneiden sich nicht, da die Diskriminante negativ ist."

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Lineare Gleichungssysteme lösen

Gleichungssysteme löst du am besten mit dem Additionsverfahren. Multipliziere eine Gleichung so, dass sich eine Variable beim Addieren weghebt.

Bei 23a−12b=1312\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b = \frac{13}{12} und $2a - 4b = 7multiplizierstdudieersteGleichungmit3: multiplizierst du die erste Gleichung mit 3: 2a - \frac{3}{2}b = \frac{13}{4}.NachgeschicktemAddierenerha¨ltstdu. Nach geschicktem Addieren erhältst du b = -\frac{5}{4}$.

Rückwärts einsetzen: Den gefundenen b-Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnest a. Ergebnis: a=1a = 1, b=−54b = -\frac{5}{4}.

Probe machen: Setze deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen stimmen!

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Komplexere Gleichungssysteme

Das System a+3b=7a + 3b = 7 und $5b = -7abringstduerstinStandardform: bringst du erst in Standardform: a + 3b = 7und und 7a + 5b = 0$.

Systematisches Vorgehen: Multipliziere die erste Gleichung mit -7 und addiere zur zweiten: −7a−21b+7a+5b=−49-7a - 21b + 7a + 5b = -49. Das ergibt −16b=−49-16b = -49, also b=4916b = \frac{49}{16}.

Einsetzen liefert a=7−3⋅4916=−3516a = 7 - 3 \cdot \frac{49}{16} = -\frac{35}{16}. Die Lösung ist (−3516∣4916)(-\frac{35}{16}|\frac{49}{16}).

Ordnung halten: Nummeriere deine Gleichungen durch (I), (II), (I'), etc. - so behältst du den Überblick!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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