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Graphen- und Figurentransformationen

Transformationen

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24. Dez. 2025

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Transformationen von Graphen-Analyse leicht gemacht

M

mathematikandme

@mathematikandme_mpzi

Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Mathe-Themen für euer Abitur ab... Mehr anzeigen

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Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Transformation von Graphen

Parabeln $f(x) = -a(x-b)^2 + c$ könnt ihr ganz einfach transformieren! Das Minus vor dem aa spiegelt an der x-Achse, der Streckfaktor aa macht den Graphen schmaler oder breiter.

Die Verschiebungen sind super logisch: bb verschiebt nach rechts (wenn positiv), cc nach oben. Bei Sinusfunktionen $f(x) = -a \cdot sin(b(x-c)) + d$ funktioniert's ähnlich, nur dass hier die Amplitude ∣a∣|a| und die Periode 2πb\frac{2\pi}{b} wichtig sind.

Exponentialfunktionen verhalten sich genauso - die Parameter aa, bb, cc und dd steuern Spiegelung, Streckung und Verschiebung. Merkt euch: Transformationen folgen immer dem gleichen Muster!

Tipp: Zeichnet euch die Grundfunktion zuerst auf und wendet dann Schritt für Schritt die Transformationen an.

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Ganzrationale Funktionen skizzieren

Mit der Produktform wie f(x)=7(x+4)(x−2)2(x−1)3f(x)=7(x+4)(x-2)^2(x-1)^3 könnt ihr super schnell Graphen skizzieren! Zuerst bestimmt ihr den Grad der Funktion - hier ist's 1+2+3 = 6, also eine Funktion 6. Grades.

Die Nullstellen findet ihr direkt: x1=−4x_1 = -4 (einfach), x2=2x_2 = 2 (doppelt), x3=1x_3 = 1 (dreifach). Einfache Nullstellen schneiden die x-Achse, doppelte berühren sie nur, dreifache schneiden mit einem "Knick".

Das Verhalten für x→±∞x \to \pm\infty hängt vom Grad und Vorzeichen ab. Bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten geht's nach +∞+\infty für beide Richtungen.

Merksatz: Gerade Exponenten = berühren, ungerade = schneiden die x-Achse!

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Geraden und Parabeln - die Basics

Geraden sind euer Fundament! Die Hauptform y=mx+by = mx + b kennt ihr - mm ist die Steigung, bb der y-Achsenabschnitt. Für senkrechte Geraden gilt: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.

Parabeln höherer Ordnung wie y=ax4+bx3+cx2+dx+ey = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e haben coole Symmetrie-Eigenschaften. Nur gerade Exponenten = Symmetrie zur y-Achse. Nur ungerade = Punktsymmetrie zum Ursprung.

Nullstellen findet ihr durch Ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder die pq-Formel. Bei schwierigen Gleichungen hilft oft die Substitution u=x2u = x^2.

Praxis-Tipp: Schaut immer zuerst auf die Exponenten - das verrät euch sofort die Symmetrie!

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Exponentialfunktionen meistern

Exponentialgleichungen löst ihr mit drei Methoden: Logarithmieren, Ausklammern oder Substitution. Bei −0,25ex+2=0-0,25e^x + 2 = 0 logarithmiert ihr beide Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften: e0=1e^0 = 1, e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} und eu(x)>0e^{u(x)} > 0 (immer positiv!). Das macht Asymptoten möglich - wenn der Exponent gegen −∞-\infty geht, nähert sich die Funktion der x-Achse.

Nullstellen-Vielfachheit bestimmt das Verhalten: einfache schneiden mit Vorzeichenwechsel, doppelte berühren ohne VZW, dreifache schneiden mit "Knick".

Eselsbrücke: Exponentialfunktionen sind nie negativ - das hilft beim Skizzieren!

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Transformationen verstehen

Verschiebungen sind easy: f(x)+df(x) + d verschiebt vertikal, f(x−c)f(x-c) horizontal. Achtung bei xx-Verschiebungen: c>0c > 0 bedeutet nach rechts (das verwirrt oft)!

Spiegelungen erkennt ihr am Vorzeichen: −f(x)-f(x) spiegelt an der x-Achse, f(−x)f(-x) an der y-Achse. Bei Streckungen in y-Richtung multipliziert ihr mit aa, in x-Richtung ersetzt xx durch xa\frac{x}{a}.

Trigonometrische Funktionen haben Periode 2π2\pi und Wertebereich [−1;1][-1;1]. Die wichtigsten Nullstellen: sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 bei x=kπx = k\pi, cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 bei x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi.

Regel: Bei Transformationen immer von innen nach außen arbeiten!

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

Sinus und Kosinus im Detail

Für modifizierte Sinus-/Kosinusfunktionen f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d sind vier Parameter wichtig: Amplitude ∣a∣|a|, Periode 2πb\frac{2\pi}{b}, Phasenverschiebung cc und vertikale Verschiebung dd.

Die besonderen Werte müsst ihr auswendig können: sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, etc. Mit der Merkregel geht's leichter!

Differentialrechnung startet mit der momentanen Änderungsrate: f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Das ist die Steigung der Tangente im Punkt x0x_0.

Praxis: Zeichnet euch die Einheitskreis-Werte auf - das spart Zeit in der Klausur!

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Ableitungsregeln und Kurvendiskussion

Die Ableitungsregeln sind euer Werkzeugkasten: Potenzregel f(x)=axn⇒f′(x)=n⋅axn−1f(x) = ax^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot ax^{n-1}, Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen, Produktregel für Produkte.

Für die Kurvendiskussion braucht ihr: Extrema $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$, Wendepunkte $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$. Monotonie erkennt ihr am Vorzeichen von f′(x)f'(x).

Tangente und Normale berechnet ihr mit: t:y=f′(u)(x−u)+f(u)t: y = f'(u)(x-u) + f(u) bzw. n:y=−1f′(u)(x−u)+f(u)n: y = -\frac{1}{f'(u)}(x-u) + f(u). Die Normale steht senkrecht zur Tangente.

Kurvendiskussion: Systematisch vorgehen - Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Monotonie!

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Integration - Flächen und Volumina

Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung: F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die wichtigsten: ∫xndx=xn+1n+1+c\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, ∫exdx=ex+c\int e^x dx = e^x + c, ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+c\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c.

Bestimmte Integrale ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) berechnen Flächeninhalte. Für Flächen zwischen Kurven: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxA = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx. Rotationsvolumina: V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx.

Der Zusammenhang zwischen ff, f′f' und FF ist genial: Extremstellen von ff sind Wendestellen von FF. Ist f′(x)>0f'(x) > 0, dann ist FF linksgekrümmt.

Integration: Denkt an die Betragsstriche bei Flächenberechnungen - negative Bereiche zählen nicht!

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Stochastik Grundlagen

Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=gu¨nstigemo¨glicheP(A) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}.

Baumdiagramme löst ihr mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade zum gleichen Ereignis addieren).

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ist wichtig für abhängige Ereignisse. Bei unabhängigen Ereignissen gilt: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

Baumdiagramm: Alle Äste von einem Knoten müssen zusammen 1 ergeben!

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Urnenmodelle und Binomialverteilung

Urnenmodelle unterscheiden sich durch Zurücklegen und Reihenfolge. Mit Zurücklegen: nkn^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}. Ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge: (nk)\binom{n}{k}.

Die Vierfeldertafel hilft bei komplexeren Wahrscheinlichkeiten. Alle Felder ergeben zusammen 1.

Binomialverteilung für nn Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit pp: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Erwartungswert μ=np\mu = np, Standardabweichung σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}.

Taschenrechner: Nutzt die Binomial-Funktionen eures GTR - spart viel Rechenzeit!



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Stefan S

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Hans T

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Transformation von Graphen

Parabeln $f(x) = -a(x-b)^2 + c$ könnt ihr ganz einfach transformieren! Das Minus vor dem aa spiegelt an der x-Achse, der Streckfaktor aa macht den Graphen schmaler oder breiter.

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Exponentialfunktionen verhalten sich genauso - die Parameter aa, bb, cc und dd steuern Spiegelung, Streckung und Verschiebung. Merkt euch: Transformationen folgen immer dem gleichen Muster!

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Merksatz: Gerade Exponenten = berühren, ungerade = schneiden die x-Achse!

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Geraden und Parabeln - die Basics

Geraden sind euer Fundament! Die Hauptform y=mx+by = mx + b kennt ihr - mm ist die Steigung, bb der y-Achsenabschnitt. Für senkrechte Geraden gilt: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.

Parabeln höherer Ordnung wie y=ax4+bx3+cx2+dx+ey = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e haben coole Symmetrie-Eigenschaften. Nur gerade Exponenten = Symmetrie zur y-Achse. Nur ungerade = Punktsymmetrie zum Ursprung.

Nullstellen findet ihr durch Ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder die pq-Formel. Bei schwierigen Gleichungen hilft oft die Substitution u=x2u = x^2.

Praxis-Tipp: Schaut immer zuerst auf die Exponenten - das verrät euch sofort die Symmetrie!

Transformation eines Graphen f(x)= a(x-b)² +c Der Graph von f wird. 1. 2. 3. an der x-Achse gespiegelt bzgl. y-Achse gestreckt mit faktor a

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Exponentialfunktionen meistern

Exponentialgleichungen löst ihr mit drei Methoden: Logarithmieren, Ausklammern oder Substitution. Bei −0,25ex+2=0-0,25e^x + 2 = 0 logarithmiert ihr beide Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften: e0=1e^0 = 1, e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} und eu(x)>0e^{u(x)} > 0 (immer positiv!). Das macht Asymptoten möglich - wenn der Exponent gegen −∞-\infty geht, nähert sich die Funktion der x-Achse.

Nullstellen-Vielfachheit bestimmt das Verhalten: einfache schneiden mit Vorzeichenwechsel, doppelte berühren ohne VZW, dreifache schneiden mit "Knick".

Eselsbrücke: Exponentialfunktionen sind nie negativ - das hilft beim Skizzieren!

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Transformationen verstehen

Verschiebungen sind easy: f(x)+df(x) + d verschiebt vertikal, f(x−c)f(x-c) horizontal. Achtung bei xx-Verschiebungen: c>0c > 0 bedeutet nach rechts (das verwirrt oft)!

Spiegelungen erkennt ihr am Vorzeichen: −f(x)-f(x) spiegelt an der x-Achse, f(−x)f(-x) an der y-Achse. Bei Streckungen in y-Richtung multipliziert ihr mit aa, in x-Richtung ersetzt xx durch xa\frac{x}{a}.

Trigonometrische Funktionen haben Periode 2π2\pi und Wertebereich [−1;1][-1;1]. Die wichtigsten Nullstellen: sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 bei x=kπx = k\pi, cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 bei x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi.

Regel: Bei Transformationen immer von innen nach außen arbeiten!

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Sinus und Kosinus im Detail

Für modifizierte Sinus-/Kosinusfunktionen f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d sind vier Parameter wichtig: Amplitude ∣a∣|a|, Periode 2πb\frac{2\pi}{b}, Phasenverschiebung cc und vertikale Verschiebung dd.

Die besonderen Werte müsst ihr auswendig können: sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, etc. Mit der Merkregel geht's leichter!

Differentialrechnung startet mit der momentanen Änderungsrate: f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Das ist die Steigung der Tangente im Punkt x0x_0.

Praxis: Zeichnet euch die Einheitskreis-Werte auf - das spart Zeit in der Klausur!

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Ableitungsregeln und Kurvendiskussion

Die Ableitungsregeln sind euer Werkzeugkasten: Potenzregel f(x)=axn⇒f′(x)=n⋅axn−1f(x) = ax^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot ax^{n-1}, Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen, Produktregel für Produkte.

Für die Kurvendiskussion braucht ihr: Extrema $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$, Wendepunkte $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$. Monotonie erkennt ihr am Vorzeichen von f′(x)f'(x).

Tangente und Normale berechnet ihr mit: t:y=f′(u)(x−u)+f(u)t: y = f'(u)(x-u) + f(u) bzw. n:y=−1f′(u)(x−u)+f(u)n: y = -\frac{1}{f'(u)}(x-u) + f(u). Die Normale steht senkrecht zur Tangente.

Kurvendiskussion: Systematisch vorgehen - Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Monotonie!

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Integration - Flächen und Volumina

Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung: F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die wichtigsten: ∫xndx=xn+1n+1+c\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, ∫exdx=ex+c\int e^x dx = e^x + c, ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+c\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c.

Bestimmte Integrale ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) berechnen Flächeninhalte. Für Flächen zwischen Kurven: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxA = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx. Rotationsvolumina: V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx.

Der Zusammenhang zwischen ff, f′f' und FF ist genial: Extremstellen von ff sind Wendestellen von FF. Ist f′(x)>0f'(x) > 0, dann ist FF linksgekrümmt.

Integration: Denkt an die Betragsstriche bei Flächenberechnungen - negative Bereiche zählen nicht!

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Stochastik Grundlagen

Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=gu¨nstigemo¨glicheP(A) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}.

Baumdiagramme löst ihr mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade zum gleichen Ereignis addieren).

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ist wichtig für abhängige Ereignisse. Bei unabhängigen Ereignissen gilt: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

Baumdiagramm: Alle Äste von einem Knoten müssen zusammen 1 ergeben!

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Urnenmodelle und Binomialverteilung

Urnenmodelle unterscheiden sich durch Zurücklegen und Reihenfolge. Mit Zurücklegen: nkn^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}. Ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge: (nk)\binom{n}{k}.

Die Vierfeldertafel hilft bei komplexeren Wahrscheinlichkeiten. Alle Felder ergeben zusammen 1.

Binomialverteilung für nn Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit pp: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Erwartungswert μ=np\mu = np, Standardabweichung σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}.

Taschenrechner: Nutzt die Binomial-Funktionen eures GTR - spart viel Rechenzeit!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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