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Mathematik

Graphen- und Figurentransformationen

Transformationen

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3. Feb. 2026

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Transformationen von Graphen-Analyse leicht gemacht

M

mathematikandme

@mathematikandme_mpzi

Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Mathe-Themen für euer Abitur ab... Mehr anzeigen

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# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Transformation von Graphen

Parabeln $f(x) = -a(x-b)^2 + c$ könnt ihr ganz einfach transformieren! Das Minus vor dem aa spiegelt an der x-Achse, der Streckfaktor aa macht den Graphen schmaler oder breiter.

Die Verschiebungen sind super logisch: bb verschiebt nach rechts (wenn positiv), cc nach oben. Bei Sinusfunktionen $f(x) = -a \cdot sin(b(x-c)) + d$ funktioniert's ähnlich, nur dass hier die Amplitude ∣a∣|a| und die Periode 2πb\frac{2\pi}{b} wichtig sind.

Exponentialfunktionen verhalten sich genauso - die Parameter aa, bb, cc und dd steuern Spiegelung, Streckung und Verschiebung. Merkt euch: Transformationen folgen immer dem gleichen Muster!

Tipp: Zeichnet euch die Grundfunktion zuerst auf und wendet dann Schritt für Schritt die Transformationen an.

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Ganzrationale Funktionen skizzieren

Mit der Produktform wie f(x)=7(x+4)(x−2)2(x−1)3f(x)=7(x+4)(x-2)^2(x-1)^3 könnt ihr super schnell Graphen skizzieren! Zuerst bestimmt ihr den Grad der Funktion - hier ist's 1+2+3 = 6, also eine Funktion 6. Grades.

Die Nullstellen findet ihr direkt: x1=−4x_1 = -4 (einfach), x2=2x_2 = 2 (doppelt), x3=1x_3 = 1 (dreifach). Einfache Nullstellen schneiden die x-Achse, doppelte berühren sie nur, dreifache schneiden mit einem "Knick".

Das Verhalten für x→±∞x \to \pm\infty hängt vom Grad und Vorzeichen ab. Bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten geht's nach +∞+\infty für beide Richtungen.

Merksatz: Gerade Exponenten = berühren, ungerade = schneiden die x-Achse!

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Geraden und Parabeln - die Basics

Geraden sind euer Fundament! Die Hauptform y=mx+by = mx + b kennt ihr - mm ist die Steigung, bb der y-Achsenabschnitt. Für senkrechte Geraden gilt: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.

Parabeln höherer Ordnung wie y=ax4+bx3+cx2+dx+ey = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e haben coole Symmetrie-Eigenschaften. Nur gerade Exponenten = Symmetrie zur y-Achse. Nur ungerade = Punktsymmetrie zum Ursprung.

Nullstellen findet ihr durch Ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder die pq-Formel. Bei schwierigen Gleichungen hilft oft die Substitution u=x2u = x^2.

Praxis-Tipp: Schaut immer zuerst auf die Exponenten - das verrät euch sofort die Symmetrie!

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Exponentialfunktionen meistern

Exponentialgleichungen löst ihr mit drei Methoden: Logarithmieren, Ausklammern oder Substitution. Bei −0,25ex+2=0-0,25e^x + 2 = 0 logarithmiert ihr beide Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften: e0=1e^0 = 1, e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} und eu(x)>0e^{u(x)} > 0 (immer positiv!). Das macht Asymptoten möglich - wenn der Exponent gegen −∞-\infty geht, nähert sich die Funktion der x-Achse.

Nullstellen-Vielfachheit bestimmt das Verhalten: einfache schneiden mit Vorzeichenwechsel, doppelte berühren ohne VZW, dreifache schneiden mit "Knick".

Eselsbrücke: Exponentialfunktionen sind nie negativ - das hilft beim Skizzieren!

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Transformationen verstehen

Verschiebungen sind easy: f(x)+df(x) + d verschiebt vertikal, f(x−c)f(x-c) horizontal. Achtung bei xx-Verschiebungen: c>0c > 0 bedeutet nach rechts (das verwirrt oft)!

Spiegelungen erkennt ihr am Vorzeichen: −f(x)-f(x) spiegelt an der x-Achse, f(−x)f(-x) an der y-Achse. Bei Streckungen in y-Richtung multipliziert ihr mit aa, in x-Richtung ersetzt xx durch xa\frac{x}{a}.

Trigonometrische Funktionen haben Periode $2\pi$ und Wertebereich [−1;1][-1;1]. Die wichtigsten Nullstellen: sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 bei x=kπx = k\pi, cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 bei x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi.

Regel: Bei Transformationen immer von innen nach außen arbeiten!

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

Sinus und Kosinus im Detail

Für modifizierte Sinus-/Kosinusfunktionen f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d sind vier Parameter wichtig: Amplitude ∣a∣|a|, Periode 2πb\frac{2\pi}{b}, Phasenverschiebung cc und vertikale Verschiebung dd.

Die besonderen Werte müsst ihr auswendig können: sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, etc. Mit der Merkregel geht's leichter!

Differentialrechnung startet mit der momentanen Änderungsrate: f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Das ist die Steigung der Tangente im Punkt x0x_0.

Praxis: Zeichnet euch die Einheitskreis-Werte auf - das spart Zeit in der Klausur!

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Ableitungsregeln und Kurvendiskussion

Die Ableitungsregeln sind euer Werkzeugkasten: Potenzregel f(x)=axn⇒f′(x)=n⋅axn−1f(x) = ax^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot ax^{n-1}, Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen, Produktregel für Produkte.

Für die Kurvendiskussion braucht ihr: Extrema $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$, Wendepunkte $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$. Monotonie erkennt ihr am Vorzeichen von f′(x)f'(x).

Tangente und Normale berechnet ihr mit: t:y=f′(u)(x−u)+f(u)t: y = f'(u)(x-u) + f(u) bzw. n:y=−1f′(u)(x−u)+f(u)n: y = -\frac{1}{f'(u)}(x-u) + f(u). Die Normale steht senkrecht zur Tangente.

Kurvendiskussion: Systematisch vorgehen - Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Monotonie!

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Integration - Flächen und Volumina

Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung: F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die wichtigsten: ∫xndx=xn+1n+1+c\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, ∫exdx=ex+c\int e^x dx = e^x + c, ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+c\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c.

Bestimmte Integrale ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) berechnen Flächeninhalte. Für Flächen zwischen Kurven: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxA = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx. Rotationsvolumina: V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx.

Der Zusammenhang zwischen ff, f′f' und FF ist genial: Extremstellen von ff sind Wendestellen von FF. Ist f′(x)>0f'(x) > 0, dann ist FF linksgekrümmt.

Integration: Denkt an die Betragsstriche bei Flächenberechnungen - negative Bereiche zählen nicht!

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Stochastik Grundlagen

Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=gu¨nstigemo¨glicheP(A) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}.

Baumdiagramme löst ihr mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade zum gleichen Ereignis addieren).

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ist wichtig für abhängige Ereignisse. Bei unabhängigen Ereignissen gilt: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

Baumdiagramm: Alle Äste von einem Knoten müssen zusammen 1 ergeben!

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Urnenmodelle und Binomialverteilung

Urnenmodelle unterscheiden sich durch Zurücklegen und Reihenfolge. Mit Zurücklegen: nkn^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}. Ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge: (nk)\binom{n}{k}.

Die Vierfeldertafel hilft bei komplexeren Wahrscheinlichkeiten. Alle Felder ergeben zusammen 1.

Binomialverteilung für nn Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit pp: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Erwartungswert μ=np\mu = np, Standardabweichung σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}.

Taschenrechner: Nutzt die Binomial-Funktionen eures GTR - spart viel Rechenzeit!



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Stefan S

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Anna

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Thomas R

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David K

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Xander S

iOS-Nutzer

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Paul T

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Parabeln $f(x) = -a(x-b)^2 + c$ könnt ihr ganz einfach transformieren! Das Minus vor dem aa spiegelt an der x-Achse, der Streckfaktor aa macht den Graphen schmaler oder breiter.

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Geraden und Parabeln - die Basics

Geraden sind euer Fundament! Die Hauptform y=mx+by = mx + b kennt ihr - mm ist die Steigung, bb der y-Achsenabschnitt. Für senkrechte Geraden gilt: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.

Parabeln höherer Ordnung wie y=ax4+bx3+cx2+dx+ey = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e haben coole Symmetrie-Eigenschaften. Nur gerade Exponenten = Symmetrie zur y-Achse. Nur ungerade = Punktsymmetrie zum Ursprung.

Nullstellen findet ihr durch Ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder die pq-Formel. Bei schwierigen Gleichungen hilft oft die Substitution u=x2u = x^2.

Praxis-Tipp: Schaut immer zuerst auf die Exponenten - das verrät euch sofort die Symmetrie!

# Transformation eines Graphen 1. $f(x)=-a(x-b)^2+c$ Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt bagl. y-Achse gestreckt mit

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Exponentialfunktionen meistern

Exponentialgleichungen löst ihr mit drei Methoden: Logarithmieren, Ausklammern oder Substitution. Bei −0,25ex+2=0-0,25e^x + 2 = 0 logarithmiert ihr beide Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften: e0=1e^0 = 1, e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} und eu(x)>0e^{u(x)} > 0 (immer positiv!). Das macht Asymptoten möglich - wenn der Exponent gegen −∞-\infty geht, nähert sich die Funktion der x-Achse.

Nullstellen-Vielfachheit bestimmt das Verhalten: einfache schneiden mit Vorzeichenwechsel, doppelte berühren ohne VZW, dreifache schneiden mit "Knick".

Eselsbrücke: Exponentialfunktionen sind nie negativ - das hilft beim Skizzieren!

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Transformationen verstehen

Verschiebungen sind easy: f(x)+df(x) + d verschiebt vertikal, f(x−c)f(x-c) horizontal. Achtung bei xx-Verschiebungen: c>0c > 0 bedeutet nach rechts (das verwirrt oft)!

Spiegelungen erkennt ihr am Vorzeichen: −f(x)-f(x) spiegelt an der x-Achse, f(−x)f(-x) an der y-Achse. Bei Streckungen in y-Richtung multipliziert ihr mit aa, in x-Richtung ersetzt xx durch xa\frac{x}{a}.

Trigonometrische Funktionen haben Periode $2\pi$ und Wertebereich [−1;1][-1;1]. Die wichtigsten Nullstellen: sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 bei x=kπx = k\pi, cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 bei x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi.

Regel: Bei Transformationen immer von innen nach außen arbeiten!

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Sinus und Kosinus im Detail

Für modifizierte Sinus-/Kosinusfunktionen f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d sind vier Parameter wichtig: Amplitude ∣a∣|a|, Periode 2πb\frac{2\pi}{b}, Phasenverschiebung cc und vertikale Verschiebung dd.

Die besonderen Werte müsst ihr auswendig können: sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, etc. Mit der Merkregel geht's leichter!

Differentialrechnung startet mit der momentanen Änderungsrate: f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Das ist die Steigung der Tangente im Punkt x0x_0.

Praxis: Zeichnet euch die Einheitskreis-Werte auf - das spart Zeit in der Klausur!

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Ableitungsregeln und Kurvendiskussion

Die Ableitungsregeln sind euer Werkzeugkasten: Potenzregel f(x)=axn⇒f′(x)=n⋅axn−1f(x) = ax^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot ax^{n-1}, Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen, Produktregel für Produkte.

Für die Kurvendiskussion braucht ihr: Extrema $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$, Wendepunkte $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$. Monotonie erkennt ihr am Vorzeichen von f′(x)f'(x).

Tangente und Normale berechnet ihr mit: t:y=f′(u)(x−u)+f(u)t: y = f'(u)(x-u) + f(u) bzw. n:y=−1f′(u)(x−u)+f(u)n: y = -\frac{1}{f'(u)}(x-u) + f(u). Die Normale steht senkrecht zur Tangente.

Kurvendiskussion: Systematisch vorgehen - Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Monotonie!

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Integration - Flächen und Volumina

Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung: F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die wichtigsten: ∫xndx=xn+1n+1+c\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, ∫exdx=ex+c\int e^x dx = e^x + c, ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+c\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c.

Bestimmte Integrale ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) berechnen Flächeninhalte. Für Flächen zwischen Kurven: A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxA = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx. Rotationsvolumina: V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx.

Der Zusammenhang zwischen ff, f′f' und FF ist genial: Extremstellen von ff sind Wendestellen von FF. Ist f′(x)>0f'(x) > 0, dann ist FF linksgekrümmt.

Integration: Denkt an die Betragsstriche bei Flächenberechnungen - negative Bereiche zählen nicht!

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Stochastik Grundlagen

Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=gu¨nstigemo¨glicheP(A) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}.

Baumdiagramme löst ihr mit zwei Regeln: Pfadmultiplikation (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) und Pfadaddition (verschiedene Pfade zum gleichen Ereignis addieren).

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ist wichtig für abhängige Ereignisse. Bei unabhängigen Ereignissen gilt: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

Baumdiagramm: Alle Äste von einem Knoten müssen zusammen 1 ergeben!

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Urnenmodelle und Binomialverteilung

Urnenmodelle unterscheiden sich durch Zurücklegen und Reihenfolge. Mit Zurücklegen: nkn^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}. Ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge: (nk)\binom{n}{k}.

Die Vierfeldertafel hilft bei komplexeren Wahrscheinlichkeiten. Alle Felder ergeben zusammen 1.

Binomialverteilung für nn Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit pp: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Erwartungswert μ=np\mu = np, Standardabweichung σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}.

Taschenrechner: Nutzt die Binomial-Funktionen eures GTR - spart viel Rechenzeit!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Xander S

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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