Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen besonders einfach zu verstehen:

• Sinus eines Winkels = Gegenkathete/Hypotenuse $G/H$
• Kosinus eines Winkels = Ankathete/Hypotenuse $A/H$
• Tangens eines Winkels = Gegenkathete/Ankathete $G/A$

Der Merksatz "GAGA - HÜNERHOF - AG" hilft dir, diese Verhältnisse zu merken:

• Sin = G/H
• Cos = A/H
• Tan = G/A
• Cotan = A/G

Rechenregel: Um vom Seitenverhältnis zum Winkel zu kommen, verwendest du die Umkehrfunktionen: sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹ (auch als arcsin, arccos, arctan bezeichnet).

Beispiel: Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten 6,6 cm und 11,2 cm berechnet man die Hypotenuse durch: √(6,6² + 11,2²) = √(43,56 + 125,44) = √169 = 13 cm

Sinus, Kosinus, Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

Bei rechtwinkligen Dreiecken können wir mit trigonometrischen Funktionen verschiedene Berechnungen durchführen.

Beispiel 1: In einem Dreieck mit den Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm und einem Winkel von 53,1° gelten:

• sin(53,1°) = 8/10 = 0,8
• tan(53,1°) = 8/6 = 1,33
• cos(53,1°) = 6/10 = 0,6

Beispiel 2: Wenn sin(α) = 2/3 gegeben ist, können wir den Winkel α bestimmen:

• α = sin⁻¹(2/3) = 41,81°

Zusammenhang: In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α gilt: sin²(α) + cos²(α) = 1. Diese fundamentale Beziehung folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Für Steigungsberechnungen gilt:

• Bei einem Neigungswinkel von 60° ist das Gefälle: tan(60°) · 100 = 173,2m → 173%
• Bei einem Neigungswinkel von 85° ist das Gefälle: tan(85°) · 100 = 1143m → 1143%

Umgekehrt kann man aus der Steigung den Winkel berechnen: Bei einem Gefälle von 20% ist der Winkel tan⁻¹(0,2) ≈ 11,3°.

Gleichschenklige Dreiecke und Sinussatz

Gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleich lange Seiten und zwei gleich große Winkel. Zum Beispiel ein Dreieck mit zwei Seiten zu je 6,5m und gleichen Winkeln von 25°.

Für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks gilt:

• A = ½ · a · b · sin(γ)

Der Sinussatz ist ein wichtiges Werkzeug für beliebige Dreiecke:

• a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Hilfreiches Wissen: In einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe zur Basis das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Höhe ist zugleich Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte und Symmetrieachse.

Dies lässt sich zusammenfassen als: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Beispiel: In einem Dreieck mit Seiten a = 19,3 und b = 27,1 und dem Winkel β = 123° kann der Winkel α berechnet werden:

• sin(α)/sin(123°) = 19,3/27,1
• sin(α) = sin(123°) · 19,3/27,1 = 0,6
• α = sin⁻¹(0,6) = 36,87°

Herleitung Sinussatz

Der Sinussatz drückt eine wichtige Beziehung zwischen Seiten und Winkeln in jedem Dreieck aus:

• sin(α)/sin(β) = a/b

Die Herleitung beginnt mit einem Dreieck ABC und einem Punkt D, der eine Höhe bildet:

Im Dreieck mit der Höhe hc gilt:

• sin(α) = hc/b
• sin(β) = hc/a

Anwendungsschritt: Um den Sinussatz anzuwenden, stellen wir ihn oft um nach der gesuchten Größe. Zum Beispiel, wenn wir a suchen: a = b · sin(α)/sin(β).

Durch Umformen erhalten wir:

• sin(α) · b = sin(β) · a
• sin(α)/sin(β) = a/b

Dies ist eine Grundform des Sinussatzes. Durch Wiederholung dieses Prozesses für alle Seiten und Winkel erhalten wir die vollständige Form:

• a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Der Sinussatz ist besonders nützlich für Berechnungen in Dreiecken, bei denen mindestens ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind.

Einheitskreis und Kosinussatz

Der Einheitskreis hilft uns, trigonometrische Funktionen zu verstehen. An jedem Punkt auf dem Kreis entspricht die x-Koordinate dem Kosinus und die y-Koordinate dem Sinus des Winkels α.

Wichtige Beziehungen:

• cos(α) = sin(90° - α)
• sin(α) = cos(90° - α)

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Dreiecke:

• a² = b² + c² - 2bc·cos(α)
• b² = c² + a² - 2ca·cos(β)
• c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Anwendungsbeispiel: Mit dem Kosinussatz können wir beispielsweise die Entfernung zwischen zwei Punkten berechnen, deren Positionen durch Polarkoordinaten (Entfernung vom Ursprung und Winkel) gegeben sind.

Die Beziehungen cos(α) = sin(90° - α) und sin(α) = cos(90° - α) zeigen die Komplementarität von Sinus und Kosinus. Dies ist im Einheitskreis leicht zu sehen: Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus des komplementären Winkels (90° - α).

Herleitung Kosinussatz

Der Kosinussatz ist eine wichtige Formel der Trigonometrie, die für beliebige Dreiecke gilt. Er lautet:

• c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Für die Herleitung betrachten wir ein Dreieck ABC mit einer Höhe hb:

1. Im Dreieck FBC berechnen wir:

   • hb = a · sin(γ)

2. Für die Strecke u gilt:

   • u = a · cos(γ)

3. Im Dreieck ABC gilt:

   • v = b - u = b - a · cos(γ)

Strategietipp: Um den Kosinussatz anzuwenden, identifiziere zuerst, welche Größen bekannt sind und welche gesucht werden. Dann wähle die passende Form des Kosinussatzes und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

4. Berechnung von c² im Dreieck ABF:

   • c² = hb² + v²
   • c² = a²·sin²(γ) + $b - a·cos(γ)$²
   • c² = a²·sin²(γ) + b² - 2ba·cos(γ) + a²·cos²(γ)
   • c² = a²·$sin²(γ) + cos²(γ)$ + b² - 2ab·cos(γ)

5. Da sin²(γ) + cos²(γ) = 1, folgt:

   • c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Mit dem Kosinussatz können wir Berechnungen in Dreiecken durchführen, die mit dem Sinussatz allein nicht möglich wären.

Kosinussatz umstellen

Der Kosinussatz lautet: a² = b² + c² - 2bc·cos(α)

Für ein Dreieck mit den Seiten a = 9,4, b = 6,9 und c = 8,08 können wir den Winkel α berechnen:

1. Einsetzen der bekannten Werte:

   • 9,4² = 6,9² + 8,08² - 2 · 6,9 · 8,08 · cos(α)
   • 88,36 = 47,61 + 65,2864 - 111,504 · cos(α)
   • 88,36 = 112,8964 - 111,504 · cos(α)

2. Umstellen nach cos(α):

   • 88,36 + 111,504 · cos(α) = 112,8964
   • 111,504 · cos(α) = 24,5364
   • cos(α) = 24,5364 / 111,504 = 0,22

3. Berechnung des Winkels:

   • α = cos⁻¹(0,22) = 77,29°

Prüfmethode: Nach der Berechnung eines Winkels mit dem Kosinussatz ist es ratsam, zu überprüfen, ob die Summe aller Winkel im Dreieck 180° ergibt. Dies dient als Kontrolle für die Richtigkeit der Berechnung.

Bei der Arbeit mit dem Sinussatz und Kosinussatz ist es wichtig, die jeweils geeignete Formel auszuwählen:

• Sinussatz: Nützlich, wenn ein Winkel und die gegenüberliegende Seite sowie ein weiterer Winkel oder eine weitere Seite bekannt sind.
• Kosinussatz: Nützlich, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind.