Grundlagen am rechtwinkligen Dreieck

Sinus, Cosinus, Tangens formeln

Diese Verhältnisse gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.

• Gegenkathete: Liegt dem gesuchten Winkel direkt gegenüber.
• Ankathete: Liegt am Winkel an (neben der Hypotenuse).
• Hypotenuse: Die längste Seite, liegt gegenüber dem rechten Winkel.

Die GAGA-Eselsbrücke

Mit der sinus, cosinus tangens eselsbrücke "GAGA-Hühnerhof-AG" merkst du dir die Formeln im Nu:

$\frac{\text{G}}{\text{H}} (\sin) \quad \frac{\text{A}}{\text{H}} (\cos) \quad \frac{\text{G}}{\text{A}} (\tan)$

💡 Tipp: Nutze den Satz des Pythagoras, um bei zwei bekannten Seiten die dritte zu berechnen: $a^2 + b^2 = c^2$.

Winkel und Steigungen berechnen

Sinus, Cosinus Tangens Winkel berechnen

Winkel bestimmen wir über die Umkehrfunktionen ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).

• Winkel berechnen: Ist $\sin(\alpha) = \frac{2}{3}$, rechne im Taschenrechner $\sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 41,8^\circ$.
• Steigung: Der Tangens des Steigungswinkels entspricht dem Gefälle.

Beispiel: Steigung bei $60^\circ$ Winkel auf $100\text{ m}$ Strecke:

• $\tan(60^\circ) \cdot 100\text{ m} \approx 173\text{ m}$
• Steigung $= 173\%$

💡 Tipp: Stelle deinen Taschenrechner für Winkelberechnungen immer auf "DEG" (Degree) ein.

Der Sinussatz für alle Dreiecke

Sinussatz anwenden

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck, auch ohne rechten Winkel.

• Verhältnis: Die Längen verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel.
• Formel: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Beispiel: 2 fehlende Seiten im Dreieck berechnen oder Winkel gesucht:

• $\frac{\sin(\beta)}{19,3} = \frac{\sin(123^\circ)}{27,1}$
• $\sin(\beta) \approx 0,6 \Rightarrow \beta \approx 36,9^\circ$

💡 Tipp: Nutze den Sinussatz immer dann, wenn du ein "pärchen" aus bekannter Seite und gegenüberliegendem Winkel hast.

Herleitung des Sinussatzes

Die Höhe als Brücke

Jedes schiefwinklige Dreieck lässt sich durch Einzeichnen einer Höhe $h_c$ in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen.

• Gleichung aufstellen: $h_c = b \cdot \sin(\alpha)$ und $h_c = a \cdot \sin(\beta)$
• Gleichsetzen: $b \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\beta)$
• Umformen: Durch Teilen entsteht die bekannte Formel $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a}{b}$

💡 Tipp: Merke dir, dass man komplizierte Dreiecke fast immer durch eine Hilfshöhe in einfache, rechtwinklige Dreiecke zerlegen kann.

Einheitskreis und Kosinussatz

Sinus und Kosinus am Einheitskreis veranschaulichen

Der Einheitskreis hat den Radius $r = 1$ und hilft uns, Winkel über $90^\circ$ zu verstehen.

• Beziehung: Es gilt immer $\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$.
• Kosinussatz: Erweitert den Satz des Pythagoras für alle Dreiecke.
• Formel: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

💡 Tipp: Der Kosinussatz ist perfekt, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gegeben hast (SWS).

Herleitung des Kosinussatzes

Schritt für Schritt zum Kosinussatz

Die Herleitung nutzt die Höhe $h_b$ und zerlegt die Seite $b$ in zwei Abschnitte.

• Hilfsgrößen: $h_b = a \cdot \sin(\gamma)$ und der Abschnitt $u = a \cdot \cos(\gamma)$.
• Pythagoras: Im linken Teildreieck gilt $c^2 = h_b^2 + (b - u)^2$.
• Einsetzen: Nach dem Ausmultiplizieren nutzt man $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ zur Vereinfachung.

💡 Tipp: Die Formel $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ sieht lang aus, ist aber nur der erweiterte Satz des Pythagoras.

Formeln richtig umstellen

Kosinussatz nach Winkel auflösen

Wenn alle drei Seiten gegeben sind, kannst du jeden Winkel bestimmen.

• Schritt 1: Werte einsetzen und Quadrate ausrechnen.
• Schritt 2: Terme ohne Cosinus auf die andere Seite bringen.
• Schritt 3: Durch den Vorfaktor teilen und $\cos^{-1}$ anwenden.

Beispiel: Winkel $\alpha$ berechnen:

• $9,4^2 = 6,9^2 + 8,08^2 - 2 \cdot 6,9 \cdot 8,08 \cdot \cos(\alpha)$
• $\cos(\alpha) \approx 0,22 \Rightarrow \alpha \approx 77,3^\circ$

💡 Tipp: Nutze den Kehrwert-Trick bei Brüchen, um eine gesuchte Variable schnell aus dem Nenner in den Zähler zu holen.