Kostenloser Trigonometrie Lernzettel für Klasse 10

Grundlagen der Trigonometrie

Winkelsätze sind dein Startpunkt: In jedem Dreieck ergeben alle Winkel zusammen 180°, in Vierecken sind es 360°. Diese Grundregel brauchst du ständig.

Der Satz des Pythagoras funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken: a² + b² = c². Die Hypotenuse c ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Die Verhältnisgleichungen sin, cos und tan sind deine wichtigsten Werkzeuge für rechtwinklige Dreiecke. Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete.

Merke: Sin, cos und tan funktionieren nur in rechtwinkligen Dreiecken!

Für beliebige Dreiecke brauchst du den Sinussatz (bei 2 Seiten + 1 Winkel oder 2 Winkeln + 1 Seite) oder den Kosinussatz (bei 2 Seiten + 1 Winkel oder 3 Seiten). Mit diesen Formeln löst du jedes Dreieck.

Praktische Anwendungen

Flächenberechnung wird mit der Sinusformel super einfach: A = ½ × a × b × sin(γ). Du kannst jede beliebige Seitenkombination verwenden.

Die Dachschrägen-Aufgabe zeigt dir den typischen Lösungsweg: Erst eine Skizze zeichnen, dann schrittweise die fehlenden Werte berechnen. Hier wurde mit Tangens der Winkel gefunden und dann mit Pythagoras die Dachschräge.

Das Leuchtturm-Problem demonstriert perfekt den Sinussatz: Mit zwei Winkeln und einer Seite kannst du die Entfernungen zwischen den Leuchttürmen berechnen. Erst den dritten Winkel finden $180° - α - β$, dann den Sinussatz anwenden.

Tipp: Zeichne immer zuerst eine saubere Skizze und markiere alle gegebenen Werte!

Bei Trapez-Aufgaben zerlegst du die Figur geschickt in rechtwinklige Dreiecke. So kannst du mit den einfacheren Formeln arbeiten und am Ende alles zusammensetzen.

Flächenberechnung mit Sinussatz

Der Flächeninhalt lässt sich bei beliebigen Dreiecken elegant mit dem Sinus berechnen. Die Formel A = ½ × a × b × sin(γ) gibt dir das Ergebnis direkt.

Mit den gegebenen Werten von 84 cm, 168 cm und einem 60°-Winkel rechnest du: A = ½ × 84 × 168 × sin(60°). Das ergibt einen Flächeninhalt von etwa 6.115 cm².

Wichtig: Diese Methode funktioniert für alle Dreiecke, nicht nur rechtwinklige!