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Mathe
11. Dez. 2025
1.044
15 Seiten
Helene @helene17
Umkehrfunktionen sind das Gegenstück zu normalen Funktionen - sie drehen quasi alles um! Während du bei einer normalen... Mehr anzeigen
Das lernst du über Umkehrfunktionen Was sie sind, wann Funktionen überhaupt umkehrbar sind und wozu du sie brauchst. Außerdem schauen wir uns die mathematische Seite an und üben gemeinsam.
Eine Umkehrfunktion (auch inverse Funktion genannt) vertauscht einfach die Rollen von x und y. Stell dir vor, du drehst eine normale Funktion komplett um - das ist eine Umkehrfunktion!
Erkennst du sie an der Schreibweise f⁻¹(x). Das kleine "-1" oben bedeutet nicht "hoch minus eins", sondern zeigt dir Das ist die Umkehrung von f(x).
Der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion - und umgekehrt. Alles dreht sich quasi um!
💡 Merktipp Bei der Umkehrfunktion gibst du das Ergebnis ein und bekommst den ursprünglichen Wert zurück.
Normale Funktionen funktionieren so Du gibst einen x-Wert ein und bekommst einen Funktionswert y raus. Bei Umkehrfunktionen ist es genau andersrum - du gibst den Funktionswert ein und bekommst den ursprünglichen x-Wert zurück.
Eine Umkehrfunktion entsteht, indem du bei allen Wertepaaren (x;y) einer Funktion einfach x und y vertauschst. Aus (2;5) wird dann (5;2).
Das funktioniert aber nur, wenn die ursprüngliche Funktion eindeutig ist - mehr dazu auf der nächsten Seite!
Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden! Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. Das bedeutet Jedem x-Wert wird höchstens ein y-Wert zugeordnet und umgekehrt.
Die Funktion muss streng monoton sein - entweder durchgehend steigend oder durchgehend fallend. Keine Wendepunkte, keine Umkehrungen der Richtung!
Lineare Funktionen sind immer umkehrbar, weil sie immer geradeaus laufen. Quadratische Funktionen wie f(x) = x² sind nur zur Hälfte umkehrbar.
💡 Faustregel Wenn eine waagerechte Linie die Funktion mehrmals schneidet, ist sie nicht umkehrbar!
Bei quadratischen Funktionen wie f(x) = x² hast du das Problem Zu einem y-Wert gehören oft zwei verschiedene x-Werte. Beispiel f(2) = 4 und f(-2) = 4.
Wenn du die Umkehrfunktion bildest und 4 eingibst - welchen Wert soll sie zurückgeben? 2 oder -2? Das geht nicht eindeutig!
Deshalb schränkt man den Definitionsbereich ein. Bei f(x) = x² nimmt man oft nur die positive Hälfte, dann ist sie umkehrbar.
Umkehrfunktionen helfen dir beim Lösen von komplizierten Gleichungen, besonders bei Exponentialgleichungen und trigonometrischen Problemen.
Praktische Beispiele kennst du schon Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Arcussinus macht das Gegenteil vom normalen Sinus - er gibt dir zu einem Verhältnis den passenden Winkel.
Auch im Alltag begegnest du ihnen Beim Geldwechseln von Euro in Pfund und zurück nutzt du quasi Umkehrfunktionen!
💡 Alltagsbezug Wenn du weißt, dass 10€ = 8,50£ sind, kannst du auch rückwärts rechnen 8,50£ = 10€.
Um eine Umkehrfunktion zu finden, gehst du so vor Löse y = f(x) nach x auf, dann vertausche x und y.
Beispiel mit f(x) = 2x + 2
So einfach ist das! Die Umkehrfunktion macht genau das Gegenteil von dem, was die ursprüngliche Funktion gemacht hat.
Lineare Funktionen wie y = 2x + 1 sind immer umkehrbar. Jeder x-Wert hat genau einen y-Wert und umgekehrt - perfekt für eine Umkehrfunktion!
Quadratische Funktionen wie y = x² sind problematisch. Zu fast jedem y-Wert (außer 0) gehören zwei verschiedene x-Werte. Das macht eine eindeutige Umkehrung unmöglich.
Die Graphiken zeigen dir den Unterschied deutlich Eine gerade Linie ist umkehrbar, eine Parabel nicht.
💡 Visualisierung hilft Zeichne eine waagerechte Linie durch den Graph - schneidet sie ihn mehrmals, ist er nicht umkehrbar!
Die Graphen von f(x) und f⁻¹(x) sind achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden . Das ist eine coole Eigenschaft aller Umkehrfunktionen!
Wenn du den Graph einer Funktion an der Linie y = x spiegelst, erhältst du automatisch den Graph ihrer Umkehrfunktion. Das siehst du besonders schön bei eˣ und ln(x).
Diese Spiegelsymmetrie ist ein super Trick zum Überprüfen Wenn zwei Funktionen zueinander invers sind, müssen ihre Graphen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden sein.
💡 Kontrolltrick Spiegle den Graph an y = x - wenn das Ergebnis sinnvoll aussieht, hast du die Umkehrfunktion richtig!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Erfahren Sie alles über Umkehrfunktionen: Definition, Bestimmung und Ableitung. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Umkehrfunktionen, einschließlich der Ableitungsformel und praktischer Beispiele. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Schritte zur Berechnung der Umkehrfunktion f(x) = 2x - 1. Diese Zusammenfassung behandelt die Umkehrfunktion, ihre Schreibweise und die rechnerische Bestimmung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Eigenschaften von Wurzelfunktionen und Umkehrfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Schreibweisen, Definitionsbereiche, Nullstellen und den Horizontale-Test für die Eindeutigkeit von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Umkehrfunktionen, einschließlich ihrer Definition, Berechnung und der Bedeutung von Monotonie. Diese Übersicht bietet Beispiele und erklärt, wie man Umkehrfunktionen für monotone Funktionen bildet. Ideal für Studierende, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheVertiefte Erklärungen zu Wurzel- und Umkehrfunktionen für die Oberstufe. Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften, Ableitungen und Berechnungen von Umkehrfunktionen sowie deren Graphen und Symmetrien. Ideal für Schüler in Bayern, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheErfahren Sie alles über die Kriterien für die Umkehrbarkeit von Funktionen, die Aufstellung von Umkehrfunktionen und deren Verkettung. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Monotonie und die mathematische Herleitung der Umkehrfunktion. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Helene
@helene17
Umkehrfunktionen sind das Gegenstück zu normalen Funktionen - sie drehen quasi alles um! Während du bei einer normalen Funktion einen x-Wert eingibst und einen y-Wert rausbekommst, machst du bei der Umkehrfunktion genau das Gegenteil. Das klingt erstmal verwirrend, ist aber... Mehr anzeigen
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Eine Umkehrfunktion (auch inverse Funktion genannt) vertauscht einfach die Rollen von x und y. Stell dir vor, du drehst eine normale Funktion komplett um - das ist eine Umkehrfunktion!
Erkennst du sie an der Schreibweise f⁻¹(x). Das kleine "-1" oben bedeutet nicht "hoch minus eins", sondern zeigt dir: Das ist die Umkehrung von f(x).
Der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion - und umgekehrt. Alles dreht sich quasi um!
💡 Merktipp: Bei der Umkehrfunktion gibst du das Ergebnis ein und bekommst den ursprünglichen Wert zurück.
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Das funktioniert aber nur, wenn die ursprüngliche Funktion eindeutig ist - mehr dazu auf der nächsten Seite!
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Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden! Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. Das bedeutet: Jedem x-Wert wird höchstens ein y-Wert zugeordnet und umgekehrt.
Die Funktion muss streng monoton sein - entweder durchgehend steigend oder durchgehend fallend. Keine Wendepunkte, keine Umkehrungen der Richtung!
Lineare Funktionen sind immer umkehrbar, weil sie immer geradeaus laufen. Quadratische Funktionen wie f(x) = x² sind nur zur Hälfte umkehrbar.
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Um eine Umkehrfunktion zu finden, gehst du so vor: Löse y = f(x) nach x auf, dann vertausche x und y.
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Lineare Funktionen wie y = 2x + 1 sind immer umkehrbar. Jeder x-Wert hat genau einen y-Wert und umgekehrt - perfekt für eine Umkehrfunktion!
Quadratische Funktionen wie y = x² sind problematisch. Zu fast jedem y-Wert (außer 0) gehören zwei verschiedene x-Werte. Das macht eine eindeutige Umkehrung unmöglich.
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Die Graphen von f(x) und f⁻¹(x) sind achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden . Das ist eine coole Eigenschaft aller Umkehrfunktionen!
Wenn du den Graph einer Funktion an der Linie y = x spiegelst, erhältst du automatisch den Graph ihrer Umkehrfunktion. Das siehst du besonders schön bei eˣ und ln(x).
Diese Spiegelsymmetrie ist ein super Trick zum Überprüfen: Wenn zwei Funktionen zueinander invers sind, müssen ihre Graphen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden sein.
💡 Kontrolltrick: Spiegle den Graph an y = x - wenn das Ergebnis sinnvoll aussieht, hast du die Umkehrfunktion richtig!
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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Erfahren Sie alles über Umkehrfunktionen: Definition, Bestimmung und Ableitung. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Umkehrfunktionen, einschließlich der Ableitungsformel und praktischer Beispiele. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Schritte zur Berechnung der Umkehrfunktion f(x) = 2x - 1. Diese Zusammenfassung behandelt die Umkehrfunktion, ihre Schreibweise und die rechnerische Bestimmung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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