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29. Dez. 2025
•
kristina
@kristina05
Die analytische Geometrie bringt Vektoren und Koordinaten zusammen, um räumliche... Mehr anzeigen
Was dich erwartet: Von Vektoren über Geraden bis zu Ebenen - hier ist alles drin, was du für Klausuren brauchst. Die analytische Geometrie ist wie ein Baukasten: Einmal verstanden, kannst du immer komplexere Aufgaben lösen.
Du startest mit den Grundlagen der Vektoren und arbeitest dich dann zu Abstandsberechnungen und Schnittwinkeln vor. Das Gauß-Verfahren rundet alles ab und hilft dir bei Gleichungssystemen.
💡 Tipp: Diese Übersicht zeigt dir den roten Faden - so behältst du den Überblick, auch wenn's mal kompliziert wird!
Ein Vektor ist nichts anderes als eine Verschiebung im Raum - super praktisch! Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibst du jeden Punkt mit drei Koordinaten an: P(x|y|z).
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, der Verbindungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte. Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel ||v|| = √. Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt nur die Richtung an.
Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - einer ist immer ein Vielfaches des anderen. Mit dem Skalarprodukt checkst du, ob zwei Vektoren senkrecht stehen: Wenn a⃗ · b⃗ = 0, dann haben sie einen 90°-Winkel.
💡 Merke dir: Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Winkelberechnungen und Orthogonalitätsprüfungen!
Eine Gerade besteht aus einem Stützvektor (Startpunkt) und einem Richtungsvektor, der mit Parameter t beliebig verändert wird: g⃗ = o⃗ + t·p⃗. Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten ein.
Ebenen kannst du in drei Formen darstellen: Parameterform (mit zwei Spannvektoren), Normalenform (mit Normalenvektor) und Koordinatenform (wie eine lineare Gleichung). Jede Form hat ihre Vorteile je nach Aufgabenstellung.
Bei Lagebeziehungen zwischen Geraden prüfst du erst auf kollineare Richtungsvektoren (parallel?), dann ob sie sich schneiden. Bei Gerade und Ebene setzt du die Gerade in die Ebene ein - eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung heißt parallel.
💡 Strategietipp: Wähle die Ebenenform, die zur Aufgabe passt - das spart dir viel Rechenzeit!
Für den Abstand Punkt/Ebene hast du zwei starke Methoden: Das Lotfußpunktverfahren (Lot fällen und Schnittpunkt berechnen) oder die Hesse-Normalenform als direkte Formel.
Beim Abstand Punkt/Gerade führen drei Wege zum Ziel: Hilfsebene (orthogonal zur Geraden), Orthogonalitätsbedingung oder die Extremwertmethode (Abstandsfunktion minimieren).
Alle drei Methoden liefern dasselbe Ergebnis - wähle die, die dir am logischsten erscheint. Die Orthogonalitätsmethode ist oft am schnellsten, während die Hilfsebene sehr anschaulich ist.
💡 Praxistipp: Übe alle drei Methoden - in Klausuren kannst du dann die nehmen, die dir gerade am besten liegt!
Windschiefe Geraden (parallel aber nicht in derselben Ebene) haben einen kürzesten Abstand, den du wieder mit drei Methoden findest: Hilfsebene, Orthogonalität oder Extremwert. Bei der Extremwertmethode müssen beide Geraden die gleiche "Geschwindigkeit" haben.
Schnittwinkel berechnest du je nach Situation unterschiedlich: Gerade/Gerade und Ebene/Ebene mit dem Cosinus, bei Gerade/Ebene mit dem Sinus (weil du den Winkel zur Ebene, nicht zur Normalen willst).
Das Gauß-Verfahren bringt Gleichungssysteme in Stufenform. Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Variablen, unterbestimmte haben mehr Variablen als Gleichungen - dann arbeitest du mit Parametern.
💡 Finale Weisheit: Mit diesen Techniken knackst du jede analytische Geometrie-Aufgabe - Übung macht den Meister!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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kristina
@kristina05
Die analytische Geometrie bringt Vektoren und Koordinaten zusammen, um räumliche Probleme elegant zu lösen. Du lernst hier alles von der Grundausstattung der Vektoren bis hin zu komplexen Abstandsberechnungen im 3D-Raum.
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Was dich erwartet: Von Vektoren über Geraden bis zu Ebenen - hier ist alles drin, was du für Klausuren brauchst. Die analytische Geometrie ist wie ein Baukasten: Einmal verstanden, kannst du immer komplexere Aufgaben lösen.
Du startest mit den Grundlagen der Vektoren und arbeitest dich dann zu Abstandsberechnungen und Schnittwinkeln vor. Das Gauß-Verfahren rundet alles ab und hilft dir bei Gleichungssystemen.
💡 Tipp: Diese Übersicht zeigt dir den roten Faden - so behältst du den Überblick, auch wenn's mal kompliziert wird!
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Ein Vektor ist nichts anderes als eine Verschiebung im Raum - super praktisch! Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibst du jeden Punkt mit drei Koordinaten an: P(x|y|z).
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, der Verbindungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte. Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel ||v|| = √. Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt nur die Richtung an.
Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - einer ist immer ein Vielfaches des anderen. Mit dem Skalarprodukt checkst du, ob zwei Vektoren senkrecht stehen: Wenn a⃗ · b⃗ = 0, dann haben sie einen 90°-Winkel.
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Windschiefe Geraden (parallel aber nicht in derselben Ebene) haben einen kürzesten Abstand, den du wieder mit drei Methoden findest: Hilfsebene, Orthogonalität oder Extremwert. Bei der Extremwertmethode müssen beide Geraden die gleiche "Geschwindigkeit" haben.
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70
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie alles über die Berechnung von Tangenten und Asymptoten in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung von Tangentengleichungen, Symmetrien, Ableitungen und die Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der mathematischen Analyse vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Ebenen im Raum und die Anwendung von linearen Gleichungssystemen. Wichtige Themen sind die Orthogonalität von Vektoren, der Abstand von Punkten zu Ebenen, sowie die Berechnung von Winkeln und Volumina in einem prismatischen Kontext. Ideal für Studierende der Multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie Aufgaben zur analytischen Geometrie, die sich mit der Lage von Linien und Ebenen, dem Abstand zwischen Punkten und der Aufstellung von Gleichungen befassen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren, inklusive Lösungen und Erklärungen zu den Hesse-Normalform, Koordinatengleichungen und mehr.
MatheDiese Zusammenfassung bietet eine klare und strukturierte Anleitung zur Berechnung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Sie umfasst wichtige Konzepte wie Parallelität, Identität und Schnittpunkte, unterstützt durch anschauliche Beispiele und Schritt-für-Schritt-Lösungen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Ebenen in der Vektorgeometrie, einschließlich der Parameterform, Normalenform und der Berechnung von Spannvektoren. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie den Abstand von Punkten zu Ebenen, orthogonale Linien und die Umwandlung von Ebenengleichungen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die Lagebeziehungen zwischen Ebenen, einschließlich der Berechnung von Winkeln, der Bestimmung von Parallelität und Identität sowie der Schnittgeraden. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Parameter- und Koordinatenform. Ideal für Studierende der Geometrie und analytischen Geometrie.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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