Grundlagen der Vektorrechnung: Geraden und Ebenen

Geraden im Raum

Geraden im 3D-Raum sind wie unsichtbare Linien, die sich unendlich weit in beide Richtungen erstrecken. Um sie zu beschreiben, braucht ihr die Parameterform: $\vec{x} = \vec{A} + \lambda \vec{u}$. Dabei ist $\vec{A}$ euer Stützvektor (ein fester Punkt auf der Gerade) und $\vec{u}$ der Richtungsvektor (zeigt, in welche Richtung die Gerade läuft).

Eine Geradengleichung durch zwei Punkte erstellt ihr in drei Schritten: Zuerst wählt ihr einen der Punkte als Stützvektor. Dann berechnet ihr den Verbindungsvektor zwischen beiden Punkten als Richtungsvektor. Schließlich stellt ihr die komplette Gleichung auf.

Mit der Punktprobe könnt ihr testen, ob ein bestimmter Punkt auf eurer Geraden liegt. Setzt einfach den Punkt in die Geradengleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem. Wenn alle drei Gleichungen denselben λ-Wert ergeben, liegt der Punkt auf der Gerade.

Tipp: Spurpunkte sind die Schnittpunkte eurer Gerade mit den drei Koordinatenebenen - super nützlich zum Zeichnen!

Die gegenseitige Lage von Geraden könnt ihr systematisch bestimmen: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, dann sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nicht, können sie sich schneiden oder windschief zueinander verlaufen.

Ebenengleichungen

Ebenen sind wie unendlich große, flache Flächen im Raum. Ihr könnt sie auf zwei Arten beschreiben: Mit der Parameterform $\vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ oder der Koordinatenform $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 - c = 0$.

Eine Ebene lässt sich durch drei Punkte festlegen, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Alternativ reicht auch eine Gerade plus ein Punkt außerhalb dieser Gerade. Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht immer senkrecht auf der Ebene - das ist euer Schlüssel zum Umrechnen zwischen den Formen.

Von der Parameterform zur Koordinatenform kommt ihr über das Kreuzprodukt: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$. In die andere Richtung müsst ihr einen Stützpunkt finden (setzt zwei Koordinaten gleich null) und zwei Vektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen.

Merke dir: Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass Vektoren parallel sind oder einer eine Kombination der anderen ist.

Die Lage von Gerade und Ebene hängt davon ab, ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht. Falls ja, ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt komplett in ihr.

Lage von Ebenen und Abstände

Zwei Ebenen können sich auf drei Arten verhalten: Sie sind echt parallel, identisch oder schneiden sich in einer Geraden. Das findet ihr heraus, indem ihr ihre Normalenvektoren vergleicht. Sind die Normalenvektoren parallel, dann sind auch die Ebenen parallel.

Abstände berechnen ist oft einfacher als gedacht. Für den Punkt-Gerade-Abstand braucht ihr den Verbindungsvektor vom Punkt zu einem beliebigen Geradenpunkt. Der kürzeste Abstand entsteht, wenn dieser Vektor senkrecht zur Gerade steht.

Der Punkt-Ebene-Abstand ist noch direkter: Nutzt die Formel $d(P;E) = \frac{|n_1p_1 + n_2p_2 + n_3p_3 - a|}{|\vec{n}|}$. Setzt die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein, teilt durch die Länge des Normalenvektors.

Praktisch: Beim Spiegeln geht ihr immer über den Fußpunkt des Lotes - erst Lot fällen, dann vom Fußpunkt aus weitergehen.

Schattenpunkte berechnet ihr je nach Lichtquelle unterschiedlich. Bei einer punktförmigen Lichtquelle geht die Lichtgerade von der Quelle durch den Punkt. Bei Sonnenlicht (parallele Strahlen) startet die Lichtgerade am zu spiegelnden Punkt mit der gegebenen Lichtrichtung.

Kugelprobleme

Kugeln sind alle Punkte, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben. Die Kugelgleichung $(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 + (z-z_M)^2 = r^2$ ist euer Werkzeug für alle Berechnungen.

Die Lagebeziehung zwischen Kugel und Gerade findet ihr durch Abstandsberechnung. Ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden größer als der Radius, gibt's keine Berührung. Bei gleichem Abstand und Radius entsteht ein Tangentialpunkt, bei kleinerem Abstand zwei Durchstoßpunkte.

Für Kugel und Ebene funktioniert's genauso: Abstand zwischen Mittelpunkt und Ebene bestimmen, mit dem Radius vergleichen. Das Ergebnis zeigt euch, ob es keine Berührung, einen Tangentialpunkt oder einen Schnittkreis gibt.

Clever: Bei der allgemeinen Lagenbestimmung setzt ihr die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein - die Anzahl der Lösungen verrät die Lagebeziehung.

Zwei Kugeln zueinander verhalten sich nach dem Abstand ihrer Mittelpunkte. Vergleicht diesen Abstand mit der Summe der Radien: größer bedeutet getrennt, gleich bedeutet Berührung, kleiner bedeutet Schnittkreis.

Den Schnittkreis-Mittelpunkt findet ihr über die Lotgerade durch den Kugelmittelpunkt zur Ebene. Der Radius ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.

Besondere Lagen im Koordinatensystem

Geraden in besonderen Lagen erkennt ihr an ihren Richtungsvektoren. Wenn eine Komponente des Richtungsvektors null ist, verläuft die Gerade parallel zu einer Koordinatenebene. Sind sogar zwei Komponenten null, ist sie parallel zu einer Koordinatenachse.

Der Stützvektor entscheidet dann, ob die Gerade echt parallel ist oder in der entsprechenden Ebene/Achse liegt. Eine Gerade mit Richtungsvektor $(1, 0, 3)$ und Stützvektor $(2, 5, 1)$ ist echt parallel zur $x_1x_3$-Ebene, weil die $x_2$-Komponente des Stützpunkts nicht null ist.

Bei Ebenen müsst ihr beide Richtungsvektoren betrachten. Eine Ebene ist nur dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn beide Richtungsvektoren in dieser Ebene liegen. Ein einzelner paralleler Vektor reicht nicht aus.

Wichtig: Bei Ebenen können auch unterschiedliche Achsenparallelitäten zur Parallelität zu einer Koordinatenebene führen.

Koordinatenebenen-Parallelität erkennt ihr daran, dass beide Richtungsvektoren dieselbe Komponente als null haben. Ist etwa bei beiden die $z$-Komponente null, verläuft die Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene.

Die Unterscheidung zwischen "echt parallel" und "identisch" macht immer der Stützvektor: Liegt er in der entsprechenden Ebene oder Achse, ist das Objekt identisch mit ihr, sonst echt parallel.