Physik

Mechanische Schwingungssysteme

Oszillator

3.413

•

21. Jan. 2026

•

13 Seiten

Grundlagen der Schwingungen und Wellen sowie Elektromagnetische Phänomene

Viktoria P.

@viktoriap_ahhu

Schwingungen sind überall um dich herum - vom schwingenden Pendel... Mehr anzeigen

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Grundlagen von Schwingungen

Schwingungen begegnen dir täglich, und die wichtigsten Größen sind eigentlich ganz logisch. Die Schwingungsdauer T gibt an, wie lange eine vollständige Schwingung dauert, während die Frequenz f zeigt, wie oft pro Sekunde geschwungen wird - deshalb gilt f = 1/T.

Die Auslenkung y(t) beschreibt, wo sich der schwingende Körper gerade befindet, und die Amplitude ŷ ist die maximale Auslenkung. Diese Werte lassen sich elegant mit der Sinusfunktion beschreiben: y(t) = ŷ·sin(ωt), wobei ω die Kreisfrequenz ist.

Das Hookesche Gesetz F = D·s ist der Schlüssel für harmonische Schwingungen. Hier bedeutet D die Federkonstante - je steifer die Feder, desto größer D. Die gespeicherte Energie in der Feder beträgt Esp = ½Ds², was dir später bei Energiebetrachtungen hilft.

Merktipp: Je größer die Masse, desto langsamer die Schwingung. Je steifer die Feder (größeres D), desto schneller die Schwingung.

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Mathematische Beschreibung harmonischer Schwingungen

Mit dem Ansatz y(t) = ŷ·sin(ωt) kannst du jede harmonische Schwingung beschreiben. Leitest du diese Funktion ab, erhältst du die Geschwindigkeit ẏ(t) = ŷ·ω·cos(ωt) und die Beschleunigung ÿ(t) = -ŷ·ω²·sin(ωt).

Das Geniale: Setzt du diese Ausdrücke in die Differentialgleichung ein, erhältst du ω² = D/m für das Federpendel. Daraus folgt direkt die Schwingungsdauer T = 2π√ $m/D$ - eine der wichtigsten Formeln der Schwingungslehre!

Beim Fadenpendel funktioniert es ähnlich. Für kleine Winkel gilt die Näherung sin(α) ≈ α, wodurch sich dieselbe mathematische Struktur ergibt. Die Schwingungsdauer wird zu T = 2π√ $l/g$ - sie hängt nur von der Länge l ab, nicht von der Masse.

Prüfungstipp: Harmonische Schwingungen erkennst du daran, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist (F ∝ s).

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Spezielle Schwingungsarten

Beim Schwingungen im U-Rohr wirkt die Schwerkraft als rücktreibende Kraft. Die Flüssigkeitssäule schwingt mit T = 2π√ $l/2g$ , wobei l die Gesamtlänge der Flüssigkeit ist. Der Faktor 2 kommt daher, dass sich die Flüssigkeit auf beiden Seiten bewegt.

Gedämpfte Schwingungen sind realistischer als ideale Schwingungen. Die Amplitude nimmt exponentiell ab: y(t) = ŷ·e^ $-αt$ ·sin(ωt). Der Dämpfungskoeffizient α bestimmt, wie schnell die Schwingung abklingt - bei starker Dämpfung verschwindet die Schwingung schnell.

Bei erzwungenen Schwingungen zwingt eine äußere Kraft das System zum Schwingen. Jeder Oszillator hat eine Eigenfrequenz f₀, mit der er natürlich schwingt. Stimmt die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz überein $fer = f₀$ , tritt Resonanz auf - die Amplitude wird maximal.

Alltagsbezug: Resonanz kann gefährlich werden - deshalb dürfen Soldaten nicht im Gleichschritt über Brücken marschieren.

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Resonanz und Phasenverschiebung

Die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Pendel verrät dir viel über das System. Bei niedriger Erregerfrequenz (fer << f₀) schwingen beide fast synchron. Bei hoher Frequenz (fer >> f₀) schwingen sie gegenphasig mit Δφ ≈ π.

Das Spannende passiert bei der Resonanz: Hier beträgt die Phasenverschiebung exakt Δφ = π/2. Bei dieser "magischen" Phasenverschiebung ist die Energieübertragung optimal - deshalb wird die Amplitude maximal.

Der Vergleich zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen zeigt faszinierende Parallelen. Die Geschwindigkeit v entspricht der Stromstärke I, die Auslenkung y der Spannung U. Die Federkonstante D entspricht 1/C (Kehrwert der Kapazität), während die träge Masse m der Induktivität L entspricht.

Verstehen statt Auswendiglernen: Diese Analogien helfen dir, Formeln von mechanischen auf elektrische Schwingungen zu übertragen.

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Elektromagnetische Schwingkreise

Im erzwungenen elektromagnetischen Schwingkreis zwingst du mit einem Frequenzgenerator den Schwingkreis zum Schwingen. Die Eigenfrequenz berechnet sich zu f₀ = 1/(2π√(LC)) - sie hängt nur von der Induktivität L und Kapazität C ab.

Bei der Resonanzfrequenz wird die Spannung am Kondensator maximal. Das kannst du experimentell beobachten: Drehst du die Frequenz hoch, steigt die Spannung bis zum Maximum und fällt dann wieder ab.

Kondensatoren im Gleichstromkreis haben unendlichen Widerstand $Rc = ∞$ , da nach dem Aufladen kein Strom mehr fließt. Spulen besitzen nur ihren ohmschen Widerstand RL aufgrund des Drahtmaterials.

Experimenteller Tipp: Mit L = 24 mH und C = 4 μF erhältst du eine Resonanzfrequenz von etwa 513 Hz - perfekt für Schulexperimente.

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Wechselstromwiderstände

Bei Wechselspannung ändern sich die Verhältnisse dramatisch. Kondensatoren werden ständig auf- und entladen, wodurch ein Strom fließt. Der Wechselstromwiderstand eines Kondensators beträgt RC = 1/(ωC) - je höher die Frequenz, desto geringer der Widerstand.

Spulen verhalten sich umgekehrt: Die sich ändernde Stromstärke induziert eine Gegenspannung, die den Stromfluss hemmt. Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist RL = ωL - je höher die Frequenz, desto größer der Widerstand.

Experimentell kannst du das leicht überprüfen: Bei U = 2V und I = 3mA erhältst du RC ≈ 667Ω für C = 1μF. Verdoppelst du die Kapazität auf 2μF, halbiert sich der Strom auf 1,5mA und der Widerstand verdoppelt sich.

Merkregel: Kondensatoren mögen hohe Frequenzen (kleiner Widerstand), Spulen mögen niedrige Frequenzen (kleiner Widerstand).

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Eigenschaften harmonischer Schwingungen

Harmonische Schwingungen erkennst du an drei Kriterien: Das Hookesche Gesetz muss gelten $F = -D·s$ , alle Größen schwingen sinusförmig um null, und die Gesamtenergie bleibt erhalten. Experimentell überprüfst du das durch Messung der Rückstellkraft oder durch ein Zeit-Auslenkungsdiagramm.

Die Periodendauer kannst du gezielt beeinflussen: T = 2π√ $m/D$ zeigt, dass mehr Masse oder eine weichere Feder (kleineres D) zu längerer Schwingungsdauer führen. Beim Fadenpendel gilt T = 2π√ $l/g$ - nur die Länge zählt!

Für Rechnungen brauchst du die Kreisfrequenz ω = 2πf. Die maximale Geschwindigkeit vmax = ωs₀ erreichst du im Nulldurchgang, die maximale Beschleunigung amax = ω²s₀ in den Umkehrpunkten. Die Bewegungsgleichung hängt vom Startpunkt ab: s(t) = s₀cos(ωt) bei Start im Umkehrpunkt, s(t) = s₀sin(ωt) bei Start in der Ruhelage.

Prüfungsstrategie: Zeichne immer zuerst ein Diagramm - das zeigt dir sofort, ob du sin(x) oder cos(x) brauchst.

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Differentialgleichungen und Energiebetrachtungen

Die Differentialgleichung des Federpendels leitest du aus dem 2. Newtonschen Gesetz her: ma = -Ds führt zu s̈(t) = - $D/m$ ·s(t). Der Lösungsansatz s(t) = s₀cos(ωt) gibt dir nach zweimaligem Ableiten die Schwingungsdauer T = 2π√ $m/D$ .

Bei gedämpften Schwingungen wird mechanische Energie in Wärme umgewandelt. Die maximale Entropie Δs = ΔW/T hängt quadratisch von der Anfangsauslenkung ab: Δs ∝ s₀². Das liegt daran, dass die Spannenergie Wspann = ½Ds₀² ebenfalls quadratisch von der Auslenkung abhängt.

Die Energie schwingt zwischen potentieller und kinetischer Form hin und her - beim Federpendel zwischen Spannenergie und Bewegungsenergie, beim Fadenpendel zwischen Lageenergie und Bewegungsenergie. Die Frequenz dieses Energieaustausches ist doppelt so hoch wie die Schwingungsfrequenz.

Physikalisches Verständnis: Die Differentialgleichung zeigt dir, warum harmonische Schwingungen so universal sind - sie folgen alle demselben mathematischen Muster.

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Elektromagnetische Schwingkreise - Theorie

Die Differentialgleichung des Schwingkreises entsteht aus der Spannungsbilanz: Die Kondensatorspannung UC = Q/C muss gleich der induzierten Spannung UL = -LQ̈ sein. Das führt zur DGL Q̈(t) = - $1/LC$ ·Q(t).

Mit dem Lösungsansatz Q(t) = Q̂cos(ωt) erhältst du durch zweimaliges Ableiten die Schwingungsdauer T = 2π√(LC). Diese berühmte Thomson-Formel zeigt: Größere Induktivität oder Kapazität bedeuten langsamere Schwingungen.

Die Analogie zur mechanischen Schwingung ist perfekt: Die Ladung Q entspricht der Auslenkung s, der Strom I = Q̇ der Geschwindigkeit v. Die mathematischen Strukturen sind identisch - nur die physikalischen Größen unterscheiden sich.

Lernstrategie: Wenn du mechanische Schwingungen verstanden hast, kennst du auch elektromagnetische Schwingungen - nutze die Analogien!

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