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29. Nov. 2025

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Grundlagen der Integralrechnung

Nele @nele_scfk

Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug, um Flächen unter Kurven zu berechnen - und das ist viel praktischer, als... Mehr anzeigen

Funktion f(x)
X
42
+3
6x
5x
2x3
x 4
2x4
Stammfunktionen
Funktion für den Flächeninhalt im Intervall [0; x]
1x²
x4
3x²
4
3x5
1
na max"
Eine F

Stammfunktionen - Die Umkehrung der Ableitung

Stammfunktionen sind das Gegenteil von Ableitungen - wenn du eine Funktion f(x) hast, suchst du eine Funktion F(x), deren Ableitung wieder f(x) ergibt. Das ist wie Rückwärtsrechnen in der Mathematik!

Die wichtigsten Regeln sind eigentlich ziemlich logisch. Bei der Potenzregel erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch diese neue Zahl aus $x^2$ wird $\frac{1}{3}x^3$ .

Die Faktorregel besagt, dass Konstanten einfach stehen bleiben, und bei der Summenregel bildest du von jedem Term einzeln die Stammfunktion. So wird aus $2x^3 + 5x$ ganz einfach $\frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{2}x^2$ .

Merktipp Der Exponent wird immer um 1 größer, und du teilst durch diese neue Zahl!

Bestimmte und unbestimmte Integrale

Unbestimmte Integrale schreibst du als $\int f(x) dx = F(x) + C$ - das C ist wichtig, weil es unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Bestimmte Integrale sind viel praktischer Mit $\int_a^b f(x) dx$ berechnest du den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. "Orientiert" bedeutet Flächen über der x-Achse sind positiv, darunter negativ.

Der Hauptsatz der Integralrechnung macht die Berechnung super einfach $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ . Du setzt einfach die Grenzen in die Stammfunktion ein und subtrahierst!

Beispiel $\int_1^2 (x^2 + 4) dx = [\frac{1}{3}x^3 + 4x]_1^2 = \frac{19}{3}$

Flächenberechnung durch Rechteckstreifen

Bevor es Integrale gab, haben Mathematiker Flächen durch Rechteckstreifen angenähert - und diese Methode zeigt dir, warum Integrale funktionieren!

Du teilst die Fläche unter einer Kurve in schmale Rechtecke auf. Mit der Untersumme nimmst du immer den kleineren Wert, mit der Obersumme den größeren. Dadurch erhältst du eine untere und obere Grenze für die wahre Fläche.

Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Näherung. Bei der Funktion $f(x) = x^2$ im Intervall $0,1$ kommst du mit 4 Streifen schon ziemlich nah an den exakten Wert $\frac{1}{3}$ heran.

Faszinierend Diese "primitive" Methode führt mathematisch exakt zu den Integralen, die wir heute verwenden!

Mathematische Verallgemeinerung der Streifenmethode

Hier wird's richtig interessant Wenn du die Streifenmethode auf $n$ Rechtecke erweiterst und $n$ gegen unendlich gehen lässt, erhältst du das exakte Integral!

Die Untersumme $U_n$ und Obersumme $O_n$ haben komplizierte Formeln, aber das Prinzip ist einfach Je mehr Streifen, desto genauer. Für $f(x) = x^2$ im Intervall $0,x$ ergibt sich $\lim_{n \to \infty} O_n = \frac{x^3}{3}$ .

Das ist genau die Stammfunktion von $x^2$ ! Diese Verbindung zwischen Grenzwerten von Summen und Stammfunktionen ist der Kern der Integralrechnung.

Du musst diese komplizierten Formeln nicht auswendig lernen - wichtig ist das Verständnis, dass Integrale aus diesem Grenzprozess entstehen.

Aha-Moment Integrale sind nichts anderes als unendlich viele, unendlich schmale Rechteckstreifen!

Flächenberechnung mit Vorzeichenwechsel

In der Praxis musst du aufpassen Wenn eine Funktion die x-Achse kreuzt, können sich positive und negative Flächeninhalte aufheben! Deshalb brauchst du ein systematisches Vorgehen.

Schritt 1 Bestimme alle Nullstellen im gewünschten Intervall. Schritt 2 Integriere jeden Abschnitt zwischen den Nullstellen separat. Schritt 3 Bilde die Summe aller Beträge.

Bei $f(x) = x^3 + 2x^2$ im Intervall $-3,1$ findest du Nullstellen bei x = -2 und x = 0. Du musst also drei separate Integrale berechnen und deren Beträge addieren.

Wichtig Vergiss nie die Betragsstriche - sonst können sich Flächen "wegkürzen"!

Flächen zwischen zwei Graphen

Wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven suchst, ist das Prinzip elegant einfach Du bildest die Differenzfunktion und integrierst diese!

Schritt 1 Bestimme die Schnittpunkte als Integrationsgrenzen. Schritt 2 Integriere die Differenz $(f(x) - g(x))$ zwischen diesen Grenzen. Schritt 3 Nimm den Betrag des Ergebnisses.

Alternativ kannst du auch beide Funktionen separat integrieren und dann die Differenz der Integrale bilden - das Ergebnis ist dasselbe.

Ein cooler Bonus Aus dem Graphen einer Funktion f(x) kannst du sofort Eigenschaften der Stammfunktion F(x) ablesen. Nullstellen von f werden zu Extremstellen von F!

Praxis-Tipp Die Differenzfunktion zu bilden ist meist einfacher als separate Integration!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug, um Flächen unter Kurven zu berechnen - und das ist viel praktischer, als es zunächst klingt! Du wirst lernen, wie du aus jeder Funktion eine Stammfunktion bildest und damit exakte Flächeninhalte bestimmst.

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Flächen zwischen zwei Graphen

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