Kurvendiskussion und Extremwertprobleme

Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren, um alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Am Beispiel von f(x)=x³-3x² sieht das so aus:

1. Bestimme die erste und zweite Ableitung: f'(x)=3x²-6x und f''(x)=6x-6
2. Setze f'(x)=0, um potenzielle Extrempunkte zu finden: x=0 und x=2
3. Wende das Vorzeichenwechselkriterium an: f''(0)=-6<0 → Hochpunkt, f''(2)=6>0 → Tiefpunkt
4. Berechne die y-Werte: HP(0|0) und TP(2|-4)

⚠️ Merke dir: Bei Extremstellen gilt immer f'(x)=0. Das allein reicht aber nicht aus - du musst noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt!

Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen geht's darum, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion unter bestimmten Einschränkungen zu finden. Die Lösungsstrategie ist:

1. Stelle eine Formel für die Zielgröße auf (auch mit mehreren Variablen)
2. Formuliere die Nebenbedingungen und stelle Abhängigkeiten zwischen Variablen her
3. Drücke die Zielfunktion mit nur einer Variablen aus und gib den Definitionsbereich an
4. Bestimme Extremwerte und beachte Randwerte

Im Beispiel mit dem Draht der Länge 50 cm für ein Rechteck maximaler Fläche: Die Zielfunktion ist A=a·b mit der Nebenbedingung 2a+2b=50. Nach Umformung erhältst du A(b)=25b-b². Die Extremstelle liegt bei b=12,5, was zum maximalen Flächeninhalt von 156,25 cm² führt. Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit 12,5 cm Seitenlänge.

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:

I:   3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II:  3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9

In Matrixschreibweise sieht das so aus:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠

Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠    ⎝ 0 -4   8 | 14 ⎠    ⎝ 0  0   5 | 10 ⎠

💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.

Die Lösung deines LGS kann verschiedene Formen annehmen:

• Eine Lösung: Das System hat genau einen Schnittpunkt
• Keine Lösung: Die Gleichungen sind widersprüchlich (parallele Geraden)
• Unendlich viele Lösungen: Mindestens zwei Gleichungen sind linear abhängig

Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens darfst du Zeilen vertauschen oder addieren. Achte aber darauf, dass du dabei keine Fehler machst. Am Ende kannst du an der Stufenform ablesen, ob dein System eindeutig lösbar ist oder nicht.