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2. Dez. 2025

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LK Klausur Q1: Mathematische Konzepte und Anwendungen

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sophie

@sophie.clp

Mathe kann knifflig sein, aber mit den richtigen Methoden wird... Mehr anzeigen

THEMEN
7
•Kurvendisskusion
• Extremwert probleme
• lineare Gleichungssysteme
graphisches Ableiten
AV
Extremstellen f→ Nullstellen fl
vendepu

Kurvendiskussion und Extremwertprobleme

Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren, um alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Am Beispiel von f(x)=x³-3x² sieht das so aus:

  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung: f'(x)=3x²-6x und f''(x)=6x-6
  2. Setze f'(x)=0, um potenzielle Extrempunkte zu finden: x=0 und x=2
  3. Wende das Vorzeichenwechselkriterium an: f''(0)=-6<0 → Hochpunkt, f''(2)=6>0 → Tiefpunkt
  4. Berechne die y-Werte: HP(0|0) und TP(2|-4)

⚠️ Merke dir: Bei Extremstellen gilt immer f'(x)=0. Das allein reicht aber nicht aus - du musst noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt!

Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen geht's darum, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion unter bestimmten Einschränkungen zu finden. Die Lösungsstrategie ist:

  1. Stelle eine Formel für die Zielgröße auf (auch mit mehreren Variablen)
  2. Formuliere die Nebenbedingungen und stelle Abhängigkeiten zwischen Variablen her
  3. Drücke die Zielfunktion mit nur einer Variablen aus und gib den Definitionsbereich an
  4. Bestimme Extremwerte und beachte Randwerte

Im Beispiel mit dem Draht der Länge 50 cm für ein Rechteck maximaler Fläche: Die Zielfunktion ist A=a·b mit der Nebenbedingung 2a+2b=50. Nach Umformung erhältst du A(b)=25b-b². Die Extremstelle liegt bei b=12,5, was zum maximalen Flächeninhalt von 156,25 cm² führt. Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit 12,5 cm Seitenlänge.

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Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:

I:   3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II:  3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9

In Matrixschreibweise sieht das so aus:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠

Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠    ⎝ 0 -4   8 | 14 ⎠    ⎝ 0  0   5 | 10 ⎠

💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.

Die Lösung deines LGS kann verschiedene Formen annehmen:

  • Eine Lösung: Das System hat genau einen Schnittpunkt
  • Keine Lösung: Die Gleichungen sind widersprüchlich (parallele Geraden)
  • Unendlich viele Lösungen: Mindestens zwei Gleichungen sind linear abhängig

Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens darfst du Zeilen vertauschen oder addieren. Achte aber darauf, dass du dabei keine Fehler machst. Am Ende kannst du an der Stufenform ablesen, ob dein System eindeutig lösbar ist oder nicht.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Mathe

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LK Klausur Q1: Mathematische Konzepte und Anwendungen

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Mathe kann knifflig sein, aber mit den richtigen Methoden wird es viel einfacher! Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte der Analysis und linearen Algebra: Kurvendiskussion, Extremwertprobleme und lineare Gleichungssysteme - alles, was du für deine nächste Klausur brauchst.

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•Kurvendisskusion
• Extremwert probleme
• lineare Gleichungssysteme
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Kurvendiskussion und Extremwertprobleme

Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren, um alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Am Beispiel von f(x)=x³-3x² sieht das so aus:

  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung: f'(x)=3x²-6x und f''(x)=6x-6
  2. Setze f'(x)=0, um potenzielle Extrempunkte zu finden: x=0 und x=2
  3. Wende das Vorzeichenwechselkriterium an: f''(0)=-6<0 → Hochpunkt, f''(2)=6>0 → Tiefpunkt
  4. Berechne die y-Werte: HP(0|0) und TP(2|-4)

⚠️ Merke dir: Bei Extremstellen gilt immer f'(x)=0. Das allein reicht aber nicht aus - du musst noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt!

Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen geht's darum, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion unter bestimmten Einschränkungen zu finden. Die Lösungsstrategie ist:

  1. Stelle eine Formel für die Zielgröße auf (auch mit mehreren Variablen)
  2. Formuliere die Nebenbedingungen und stelle Abhängigkeiten zwischen Variablen her
  3. Drücke die Zielfunktion mit nur einer Variablen aus und gib den Definitionsbereich an
  4. Bestimme Extremwerte und beachte Randwerte

Im Beispiel mit dem Draht der Länge 50 cm für ein Rechteck maximaler Fläche: Die Zielfunktion ist A=a·b mit der Nebenbedingung 2a+2b=50. Nach Umformung erhältst du A(b)=25b-b². Die Extremstelle liegt bei b=12,5, was zum maximalen Flächeninhalt von 156,25 cm² führt. Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit 12,5 cm Seitenlänge.

THEMEN
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•Kurvendisskusion
• Extremwert probleme
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Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:

I:   3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II:  3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9

In Matrixschreibweise sieht das so aus:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠

Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:

⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞    ⎛ 3  6  -2 | -4 ⎞
⎜ 3  2   1 |  0 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟ → ⎜ 0 -4   3 |  4 ⎟
⎝ 45 5   5 | -9 ⎠    ⎝ 0 -4   8 | 14 ⎠    ⎝ 0  0   5 | 10 ⎠

💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.

Die Lösung deines LGS kann verschiedene Formen annehmen:

  • Eine Lösung: Das System hat genau einen Schnittpunkt
  • Keine Lösung: Die Gleichungen sind widersprüchlich (parallele Geraden)
  • Unendlich viele Lösungen: Mindestens zwei Gleichungen sind linear abhängig

Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens darfst du Zeilen vertauschen oder addieren. Achte aber darauf, dass du dabei keine Fehler machst. Am Ende kannst du an der Stufenform ablesen, ob dein System eindeutig lösbar ist oder nicht.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Beliebteste Inhalte: Optimierungsprobleme

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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