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2. Feb. 2026
•
sophie
@sophie.clp
Mathe kann knifflig sein, aber mit den richtigen Methoden wird... Mehr anzeigen
Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren, um alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Am Beispiel von f(x)=x³-3x² sieht das so aus:
⚠️ Merke dir: Bei Extremstellen gilt immer f'(x)=0. Das allein reicht aber nicht aus - du musst noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt!
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen geht's darum, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion unter bestimmten Einschränkungen zu finden. Die Lösungsstrategie ist:
Im Beispiel mit dem Draht der Länge 50 cm für ein Rechteck maximaler Fläche: Die Zielfunktion ist A=a·b mit der Nebenbedingung 2a+2b=50. Nach Umformung erhältst du A(b)=25b-b². Die Extremstelle liegt bei b=12,5, was zum maximalen Flächeninhalt von 156,25 cm² führt. Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit 12,5 cm Seitenlänge.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:
I: 3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II: 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9
In Matrixschreibweise sieht das so aus:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠
Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠ ⎝ 0 -4 8 | 14 ⎠ ⎝ 0 0 5 | 10 ⎠
💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.
Die Lösung deines LGS kann verschiedene Formen annehmen:
Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens darfst du Zeilen vertauschen oder addieren. Achte aber darauf, dass du dabei keine Fehler machst. Am Ende kannst du an der Stufenform ablesen, ob dein System eindeutig lösbar ist oder nicht.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
sophie
@sophie.clp
Mathe kann knifflig sein, aber mit den richtigen Methoden wird es viel einfacher! Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte der Analysis und linearen Algebra: Kurvendiskussion, Extremwertprobleme und lineare Gleichungssysteme - alles, was du für deine nächste Klausur brauchst.
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Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren, um alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen. Am Beispiel von f(x)=x³-3x² sieht das so aus:
⚠️ Merke dir: Bei Extremstellen gilt immer f'(x)=0. Das allein reicht aber nicht aus - du musst noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, um welche Art von Extrempunkt es sich handelt!
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen geht's darum, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion unter bestimmten Einschränkungen zu finden. Die Lösungsstrategie ist:
Im Beispiel mit dem Draht der Länge 50 cm für ein Rechteck maximaler Fläche: Die Zielfunktion ist A=a·b mit der Nebenbedingung 2a+2b=50. Nach Umformung erhältst du A(b)=25b-b². Die Extremstelle liegt bei b=12,5, was zum maximalen Flächeninhalt von 156,25 cm² führt. Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit 12,5 cm Seitenlänge.
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Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:
DeutschI: 3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II: 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9
In Matrixschreibweise sieht das so aus:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠
Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠ ⎝ 0 -4 8 | 14 ⎠ ⎝ 0 0 5 | 10 ⎠
💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, einschließlich der Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, der Zielfunktion und der Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Erklärung zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, einschließlich praktischer Beispiele zur Maximierung von Flächen und Gewinnen. Erfahren Sie, wie Sie Zielfunktionen aufstellen und Extremwerte bestimmen können. Ideal für Studierende der Mathematik.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich der Funktionsgleichung f(x) = c · a^x, sowie die Berechnung von Ableitungen, Extremstellen und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man Monotonieintervalle bestimmt und Wendetangenten aufstellt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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