Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme (LGS) kannst du mit dem Gauß-Verfahren systematisch lösen. Nehmen wir folgendes Beispiel:
I: 3x₁ + 6x₂ - 2x₃ = -4
II: 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
III: 45x₁ + 5x₂ + 5x₃ = -9
In Matrixschreibweise sieht das so aus:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠
Mit dem Gauß-Verfahren formst du die Matrix schrittweise in eine Stufenform um:
⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞ ⎛ 3 6 -2 | -4 ⎞
⎜ 3 2 1 | 0 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟ → ⎜ 0 -4 3 | 4 ⎟
⎝ 45 5 5 | -9 ⎠ ⎝ 0 -4 8 | 14 ⎠ ⎝ 0 0 5 | 10 ⎠
💡 Tipp: Mit dem Taschenrechner geht's noch schneller! Nutze die Funktionen "ref()" für die Stufenform und "rref()" für die reduzierte Stufenform, um direkt die Lösung zu erhalten.
Die Lösung deines LGS kann verschiedene Formen annehmen:
- Eine Lösung: Das System hat genau einen Schnittpunkt
- Keine Lösung: Die Gleichungen sind widersprüchlich (parallele Geraden)
- Unendlich viele Lösungen: Mindestens zwei Gleichungen sind linear abhängig
Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens darfst du Zeilen vertauschen oder addieren. Achte aber darauf, dass du dabei keine Fehler machst. Am Ende kannst du an der Stufenform ablesen, ob dein System eindeutig lösbar ist oder nicht.