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2. Dez. 2025
•
Emmi
@emmi.ndt
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung und hilft dir... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve berechnen - genau dafür brauchst du die Integralrechnung. Sie ist ein mächtiges Werkzeug, das in vielen praktischen Anwendungen zum Einsatz kommt.
Das Wichtigste vorab: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives Vorzeichen, Flächen unterhalb ein negatives. Das musst du dir unbedingt merken!
Zur näherungsweisen Berechnung nutzt du Säulen (Approximation). Du teilst das Intervall zwischen der linken Grenze a und der rechten Grenze b in n gleiche Teile auf. Die Säulenbreite ist dabei h = /n.
Es gibt drei verschiedene Ansätze: Untersumme (linke Funktionswerte), Obersumme (rechte Funktionswerte) und Mittelsumme (mittlere Funktionswerte). Die Mittelsumme ist meist am genauesten, weil sich abgeschnittene und überstehende Teile größtenteils ausgleichen.
Merktipp: Je mehr Säulen du verwendest, desto genauer wird deine Flächenberechnung!
Für die exakte Flächenberechnung lässt du die Anzahl der Säulen gegen unendlich gehen. Das ist der Schlüssel zum Verständnis des Integrals!
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet beide Bereiche genial: F'(x) = f(x) bedeutet, dass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Umgekehrt gilt: ∫f(x)dx = ᵇₐ.
Das bestimmte Integral ∫ᵇₐf(x)dx ist der Grenzwert der Zerlegungssumme, wenn n gegen unendlich geht. Praktisch berechnest du es, indem du die Stammfunktion F an den Grenzen auswertest: F(b) - F(a).
Die Stammfunktion F(x) = ∫ᵡₐf(t)dt hat die Eigenschaft F'(x) = f(x). Das bedeutet: Integrieren und Differenzieren sind Umkehroperationen!
Wichtig: Das unbestimmte Integral (ohne Grenzen) ist die Stammfunktion plus Konstante C. Das bestimmte Integral (mit Grenzen) gibt dir eine konkrete Zahl.
Eine Stammfunktion F ist jede differenzierbare Funktion, für die F'(x) = f(x) gilt. Sie ist das unbestimmte Integral deiner ursprünglichen Funktion.
Der grafische Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion ist super hilfreich: Verläuft f oberhalb der x-Achse, steigt F. Verläuft f unterhalb der x-Achse, fällt F. Das kannst du dir bildlich vorstellen!
Besonders wichtige Verbindungen: Hat f eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat F dort einen Extrempunkt. Hat f eine Extremstelle, hat F dort einen Wendepunkt.
Die geometrische Begründung zeigt: F(x) repräsentiert die Fläche unter dem Graphen von f bis zur Stelle x. Deshalb ist F'(x) = f(x) - die momentane Änderung der Fläche entspricht dem aktuellen Funktionswert.
Visualisierungstipp: Zeichne beide Graphen untereinander und erkenne die Zusammenhänge zwischen Steigung und Funktionswerten!
Die Potenzregel ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C. Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.
Mit der Faktorregel ziehst du Konstanten vor das Integral: ∫c·f(x)dx = c·∫f(x)dx. Die Summenregel erlaubt es, Integrale zu zerlegen: ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
Für Exponentialfunktionen gilt: ∫eˣdx = eˣ + C. Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion - genial einfach!
Trigonometrische Funktionen haben spezielle Regeln: Für f(x) = a·sin + d ist die Stammfunktion -·cos + dx + C. Bei Kosinus wird es zu ·sin + dx + C.
Praxistipp: Übe diese Regeln mit einfachen Beispielen, bis sie automatisch sitzen. Sie sind die Grundlage für alle komplexeren Aufgaben!
Flächeninhaltsberechnungen zwischen zwei Funktionen f und g berechnest du mit A = ∫ᵇₐdx, wobei g die obere Funktion ist. Die Schnittpunkte findest du durch f(x) = g(x).
Bei bestimmten Integralen als rekonstruierter Bestand geht es um Anwendungsaufgaben: Wenn du die Änderungsrate kennst, kannst du den ursprünglichen Bestand zurückrechnen.
Rotationskörper entstehen, wenn du eine Funktion um die x-Achse rotieren lässt. Das Volumen berechnest du mit V = π∫ᵇₐ²dx. Die Herleitung erfolgt über Zylinder mit Radius r = g(x) und Grundfläche π·r².
Die Formel kommt daher, dass du das Intervall in schmale Scheiben unterteilst, jede Scheibe als Zylinder betrachtest und dann den Grenzübergang machst.
Anwendungsbezug: Rotationskörper findest du überall - von Vasen über Raketen bis zu technischen Bauteilen!
Uneigentliche Integrale behandeln Flächen, die unendlich ausgedehnt sind - entweder durch unbeschränkte Intervalle oder unbeschränkte Funktionen.
Du berechnest sie durch Grenzwertbildung: Für ∫₂^∞dx bildest du erst A(k) = ∫₂ᵏdx = ln(k) - ln(2), dann den Grenzwert für k→∞. Ist der Grenzwert endlich, konvergiert das Integral.
Die Produktregel für Ableitungen lautet: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Die Kettenregel: f'(x) = f'(g(x))·g'(x) - "äußere mal innere Ableitung".
Für trigonometrische Funktionen f(x) = a·sin + d kennzeichnen die Parameter: a = Amplitude, b beeinflusst die Periode, c = Verschiebung nach rechts, d = Verschiebung nach oben.
Strukturtipp: Bei verketteten Funktionen arbeitest du von außen nach innen - erst die äußere, dann die innere Ableitung!
Die Ableitung von Exponentialfunktionen folgt der Regel: f'(x) = bˣ·ln(b). Bei der natürlichen Exponentialfunktion eˣ ist die Ableitung besonders elegant: f'(x) = eˣ.
Lineare Substitution ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Integrieren. Für f(x) = g(h(x)) mit linearer innerer Funktion h(x) = mx + b gilt: ∫g(h(x))dx = ·G(h(x)) + C.
Der Formansatz mit Koeffizientenvergleich hilft bei komplexeren Integralen. Du stellst eine vermutete Form auf und bestimmst die Koeffizienten durch Ableiten und Vergleichen.
Beispiel: Für g(x) = 2x·e³ˣ setzt du G(x) = ·e³ˣ an, leitest ab und vergleichst Koeffizienten: a = 2/3, b = -2/9.
Strategietipp: Bei Produkten aus Polynom und e-Funktion probiere immer den Formansatz - er funktioniert fast immer!
Unbegrenztes Wachstum modellierst du mit f(t) = ce^(kt) für k > 0 (Wachstum) oder f(t) = ce^ für Zerfall. Die Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit ist T = ln(2)/k.
Begrenztes Wachstum hat die Form N(t) = a + be^ und nähert sich asymptotisch dem Grenzwert a. Typische Beispiele: Pflanzenwachstum, Abkühlungsprozesse, Medikamentenkonzentration.
Logistisches Wachstum N(t) = a/ startet langsam, wächst dann schnell und verlangsamt sich zum Grenzwert hin. Der Wendepunkt liegt bei halbem Grenzbestand.
Jeder Prozesstyp hat charakteristische Eigenschaften: Exponentiell wächst unbegrenzt, begrenzt nähert sich einer Grenze, logistisch zeigt S-förmiges Verhalten.
Realitätsbezug: Bakterienwachstum ist oft logistisch - erst wenig Ressourcenkonkurrenz, dann starkes Wachstum, schließlich Ressourcenknappheit!
Die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) ist die Umkehrfunktion von eˣ und zugleich Stammfunktion von 1/x. Das macht sie besonders wichtig!
Ihre Eigenschaften: Definitionsmenge ℝ⁺, Wertemenge ℝ, streng monoton steigend. Der charakteristische Punkt ist P(e|1). Das Grenzverhalten: lim(x→0) ln(x) = -∞ und lim(x→∞) ln(x) = ∞.
Die Ableitung ln'(x) = 1/x beweist du mit der Umkehrformel. Der Logarithmus ist eine der am schwächsten steigenden Funktionen - er wächst sehr langsam.
Bei der Ableitung logistischer Terme wendest du Ketten- und Quotientenregel an. Das Ergebnis hat oft die charakteristische Form mit e-Funktionen im Zähler und Nenner.
Merkregel: e^(ln(x)) = x und ln = x - diese Beziehungen sind fundamental und helfen bei vielen Umformungen!
Eine Funktionsschar ist eine Menge von Funktionen, die sich durch mindestens einen Parameter unterscheiden, wie f_a(x) = ax³ + 4x·e^.
Sonderfälle sind Büschel (alle Funktionen gehen durch einen gemeinsamen Punkt) und Bündel (parallele Verschiebungen). Der Parameter kann verschiedene Effekte haben: Verschiebung, Streckung, Stauchung.
Ortskurven zeigen alle charakteristischen Punkte einer Funktionsschar an - beispielsweise alle Hochpunkte oder Wendepunkte. Sie sind wie die "Spur", die diese Punkte bei Parameteränderung hinterlassen.
Zur Berechnung von Ortskurven bestimmst du erst die charakteristischen Punkte in Abhängigkeit vom Parameter, stellst die x-Koordinate nach dem Parameter um und setzt in die y-Koordinate ein.
Visualisierungshilfe: Stelle dir vor, wie sich der Graph verändert, wenn du den Parameter kontinuierlich veränderst - die Extrempunkte "wandern" auf der Ortskurve!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Emmi
@emmi.ndt
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung und hilft dir dabei, Flächen unter Graphen zu berechnen. Du lernst verschiedene Wege kennen, vom näherungsweisen Berechnen mit Säulen bis zu exakten Methoden mit Stammfunktionen.
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve berechnen - genau dafür brauchst du die Integralrechnung. Sie ist ein mächtiges Werkzeug, das in vielen praktischen Anwendungen zum Einsatz kommt.
Das Wichtigste vorab: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives Vorzeichen, Flächen unterhalb ein negatives. Das musst du dir unbedingt merken!
Zur näherungsweisen Berechnung nutzt du Säulen (Approximation). Du teilst das Intervall zwischen der linken Grenze a und der rechten Grenze b in n gleiche Teile auf. Die Säulenbreite ist dabei h = /n.
Es gibt drei verschiedene Ansätze: Untersumme (linke Funktionswerte), Obersumme (rechte Funktionswerte) und Mittelsumme (mittlere Funktionswerte). Die Mittelsumme ist meist am genauesten, weil sich abgeschnittene und überstehende Teile größtenteils ausgleichen.
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Für die exakte Flächenberechnung lässt du die Anzahl der Säulen gegen unendlich gehen. Das ist der Schlüssel zum Verständnis des Integrals!
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet beide Bereiche genial: F'(x) = f(x) bedeutet, dass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Umgekehrt gilt: ∫f(x)dx = ᵇₐ.
Das bestimmte Integral ∫ᵇₐf(x)dx ist der Grenzwert der Zerlegungssumme, wenn n gegen unendlich geht. Praktisch berechnest du es, indem du die Stammfunktion F an den Grenzen auswertest: F(b) - F(a).
Die Stammfunktion F(x) = ∫ᵡₐf(t)dt hat die Eigenschaft F'(x) = f(x). Das bedeutet: Integrieren und Differenzieren sind Umkehroperationen!
Wichtig: Das unbestimmte Integral (ohne Grenzen) ist die Stammfunktion plus Konstante C. Das bestimmte Integral (mit Grenzen) gibt dir eine konkrete Zahl.
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Eine Stammfunktion F ist jede differenzierbare Funktion, für die F'(x) = f(x) gilt. Sie ist das unbestimmte Integral deiner ursprünglichen Funktion.
Der grafische Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion ist super hilfreich: Verläuft f oberhalb der x-Achse, steigt F. Verläuft f unterhalb der x-Achse, fällt F. Das kannst du dir bildlich vorstellen!
Besonders wichtige Verbindungen: Hat f eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat F dort einen Extrempunkt. Hat f eine Extremstelle, hat F dort einen Wendepunkt.
Die geometrische Begründung zeigt: F(x) repräsentiert die Fläche unter dem Graphen von f bis zur Stelle x. Deshalb ist F'(x) = f(x) - die momentane Änderung der Fläche entspricht dem aktuellen Funktionswert.
Visualisierungstipp: Zeichne beide Graphen untereinander und erkenne die Zusammenhänge zwischen Steigung und Funktionswerten!
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Die Potenzregel ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C. Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.
Mit der Faktorregel ziehst du Konstanten vor das Integral: ∫c·f(x)dx = c·∫f(x)dx. Die Summenregel erlaubt es, Integrale zu zerlegen: ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
Für Exponentialfunktionen gilt: ∫eˣdx = eˣ + C. Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion - genial einfach!
Trigonometrische Funktionen haben spezielle Regeln: Für f(x) = a·sin + d ist die Stammfunktion -·cos + dx + C. Bei Kosinus wird es zu ·sin + dx + C.
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Flächeninhaltsberechnungen zwischen zwei Funktionen f und g berechnest du mit A = ∫ᵇₐdx, wobei g die obere Funktion ist. Die Schnittpunkte findest du durch f(x) = g(x).
Bei bestimmten Integralen als rekonstruierter Bestand geht es um Anwendungsaufgaben: Wenn du die Änderungsrate kennst, kannst du den ursprünglichen Bestand zurückrechnen.
Rotationskörper entstehen, wenn du eine Funktion um die x-Achse rotieren lässt. Das Volumen berechnest du mit V = π∫ᵇₐ²dx. Die Herleitung erfolgt über Zylinder mit Radius r = g(x) und Grundfläche π·r².
Die Formel kommt daher, dass du das Intervall in schmale Scheiben unterteilst, jede Scheibe als Zylinder betrachtest und dann den Grenzübergang machst.
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Uneigentliche Integrale behandeln Flächen, die unendlich ausgedehnt sind - entweder durch unbeschränkte Intervalle oder unbeschränkte Funktionen.
Du berechnest sie durch Grenzwertbildung: Für ∫₂^∞dx bildest du erst A(k) = ∫₂ᵏdx = ln(k) - ln(2), dann den Grenzwert für k→∞. Ist der Grenzwert endlich, konvergiert das Integral.
Die Produktregel für Ableitungen lautet: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Die Kettenregel: f'(x) = f'(g(x))·g'(x) - "äußere mal innere Ableitung".
Für trigonometrische Funktionen f(x) = a·sin + d kennzeichnen die Parameter: a = Amplitude, b beeinflusst die Periode, c = Verschiebung nach rechts, d = Verschiebung nach oben.
Strukturtipp: Bei verketteten Funktionen arbeitest du von außen nach innen - erst die äußere, dann die innere Ableitung!
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Die Ableitung von Exponentialfunktionen folgt der Regel: f'(x) = bˣ·ln(b). Bei der natürlichen Exponentialfunktion eˣ ist die Ableitung besonders elegant: f'(x) = eˣ.
Lineare Substitution ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Integrieren. Für f(x) = g(h(x)) mit linearer innerer Funktion h(x) = mx + b gilt: ∫g(h(x))dx = ·G(h(x)) + C.
Der Formansatz mit Koeffizientenvergleich hilft bei komplexeren Integralen. Du stellst eine vermutete Form auf und bestimmst die Koeffizienten durch Ableiten und Vergleichen.
Beispiel: Für g(x) = 2x·e³ˣ setzt du G(x) = ·e³ˣ an, leitest ab und vergleichst Koeffizienten: a = 2/3, b = -2/9.
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Unbegrenztes Wachstum modellierst du mit f(t) = ce^(kt) für k > 0 (Wachstum) oder f(t) = ce^ für Zerfall. Die Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit ist T = ln(2)/k.
Begrenztes Wachstum hat die Form N(t) = a + be^ und nähert sich asymptotisch dem Grenzwert a. Typische Beispiele: Pflanzenwachstum, Abkühlungsprozesse, Medikamentenkonzentration.
Logistisches Wachstum N(t) = a/ startet langsam, wächst dann schnell und verlangsamt sich zum Grenzwert hin. Der Wendepunkt liegt bei halbem Grenzbestand.
Jeder Prozesstyp hat charakteristische Eigenschaften: Exponentiell wächst unbegrenzt, begrenzt nähert sich einer Grenze, logistisch zeigt S-förmiges Verhalten.
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Die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) ist die Umkehrfunktion von eˣ und zugleich Stammfunktion von 1/x. Das macht sie besonders wichtig!
Ihre Eigenschaften: Definitionsmenge ℝ⁺, Wertemenge ℝ, streng monoton steigend. Der charakteristische Punkt ist P(e|1). Das Grenzverhalten: lim(x→0) ln(x) = -∞ und lim(x→∞) ln(x) = ∞.
Die Ableitung ln'(x) = 1/x beweist du mit der Umkehrformel. Der Logarithmus ist eine der am schwächsten steigenden Funktionen - er wächst sehr langsam.
Bei der Ableitung logistischer Terme wendest du Ketten- und Quotientenregel an. Das Ergebnis hat oft die charakteristische Form mit e-Funktionen im Zähler und Nenner.
Merkregel: e^(ln(x)) = x und ln = x - diese Beziehungen sind fundamental und helfen bei vielen Umformungen!
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Eine Funktionsschar ist eine Menge von Funktionen, die sich durch mindestens einen Parameter unterscheiden, wie f_a(x) = ax³ + 4x·e^.
Sonderfälle sind Büschel (alle Funktionen gehen durch einen gemeinsamen Punkt) und Bündel (parallele Verschiebungen). Der Parameter kann verschiedene Effekte haben: Verschiebung, Streckung, Stauchung.
Ortskurven zeigen alle charakteristischen Punkte einer Funktionsschar an - beispielsweise alle Hochpunkte oder Wendepunkte. Sie sind wie die "Spur", die diese Punkte bei Parameteränderung hinterlassen.
Zur Berechnung von Ortskurven bestimmst du erst die charakteristischen Punkte in Abhängigkeit vom Parameter, stellst die x-Koordinate nach dem Parameter um und setzt in die y-Koordinate ein.
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Detaillierte Analyse und Kurvendiskussion von e-Funktionen mit Beispielen zu Ableitungen, Nullstellen, Wendepunkten und Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit den Eigenschaften und Anwendungen der Exponentialfunktion beschäftigen.
MatheDiese Klausur behandelt zentrale Themen der Analysis, einschließlich Exponentialfunktionen, Ableitungen, Kettenregel, Produktregel und die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und der Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Wachstumsfaktoren und graphische Darstellungen. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Klassenarbeiten vorbereiten oder ihr Wissen über exponentielles Wachstum vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich der Aufstellung von Funktionsgleichungen, der Rolle der Eulerschen Zahl, Ableitungsregeln und der Anwendung von Logarithmen. Er bietet auch Einblicke in verschiedene Wachstumsarten und die Erstellung von Funktionen aus Tabellen. Ideal für Studierende, die ein tiefes Verständnis für exponentielles Wachstum und logarithmische Beziehungen entwickeln möchten.
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
