Erweiterte Ableitungsregeln

Bei der Zusammensetzung von Funktionen wie f(x) = x³ und g(x) = 4x² + 3 entstehen komplexere Funktionen. Um diese abzuleiten, brauchst du spezielle Regeln.

1. Die Produktregel

Die Produktregel hilft dir, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Für f(x) = u(x) · v(x) gilt: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

Als Merkhilfe: "Erste mal zweite unabgeleitet plus erste unabgeleitet mal zweite abgeleitet" oder kurz: f'(x) = u'v + uv'

Beispiel: Bei f(x) = x² · x³ ist u(x) = x² und v(x) = x³. Die Ableitung ist: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴

💡 Tipp: Markiere immer klar, welches deine u(x) und v(x) Funktionen sind, bevor du mit dem Ableiten beginnst!

2. Die Kettenregel

Die Kettenregel verwendest du für verschachtelte Funktionen f(x) = g(h(x)). Hier gilt: f'(x) = h'(x) · g'(h(x))

Merke dir: "Innere abgeleitet mal äußere abgeleitet"

Beispiel: Bei f(x) = $2x³ + 3x$⁴ ist h(x) = 2x³ + 3x die innere Funktion und g(x) = (□)⁴ die äußere Funktion. Die Ableitung ist: f'(x) = $6x² + 3$ · 4$2x³ + 3x$³