Erweiterte Ableitungsregeln

Bei der Zusammensetzung von Funktionen wie f$x$ = x³ und g$x$ = 4x² + 3 entstehen komplexere Funktionen. Um diese abzuleiten, brauchst du spezielle Regeln.

1. Die Produktregel

Die Produktregel hilft dir, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Für f$x$ = u$x$ · v$x$ gilt: f'$x$ = u'$x$ · v$x$ + u$x$ · v'$x$

Als Merkhilfe: "Erste mal zweite unabgeleitet plus erste unabgeleitet mal zweite abgeleitet" oder kurz: f'$x$ = u'v + uv'

Beispiel: Bei f$x$ = x² · x³ ist u$x$ = x² und v$x$ = x³. Die Ableitung ist: f'$x$ = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴

💡 Tipp: Markiere immer klar, welches deine u$x$ und v$x$ Funktionen sind, bevor du mit dem Ableiten beginnst!

2. Die Kettenregel

Die Kettenregel verwendest du für verschachtelte Funktionen f$x$ = g(h$x$). Hier gilt: f'$x$ = h'$x$ · g'(h$x$)

Merke dir: "Innere abgeleitet mal äußere abgeleitet"

Beispiel: Bei f$x$ = $2x³ + 3x$⁴ ist h$x$ = 2x³ + 3x die innere Funktion und g$x$ = (□)⁴ die äußere Funktion. Die Ableitung ist: f'$x$ = $6x² + 3$ · 4$2x³ + 3x$³