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1.819
•
29. Dez. 2025
•
Mara
@maraaa
Die Ableitung ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Analysis... Mehr anzeigen
Die Ableitung einer Funktion ist mathematisch gesehen der Grenzwert des Differenzquotienten: f'(a) = lim(h→0) /h. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich nur die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt.
Die wichtigsten Ableitungsregeln helfen dir dabei, fast jede Funktion zu differenzieren. Die Potenzregel ist dabei dein bester Freund. Die Faktorregel und Summenregel machen das Ableiten noch einfacher.
Für komplexere Funktionen brauchst du die Kettenregel und die Produktregel . Diese Regeln sind dein Handwerkszeug für schwierigere Aufgaben.
Merktipp: Das Vorzeichen der Ableitung verrät dir sofort das Verhalten der ursprünglichen Funktion – positiv bedeutet steigend, negativ bedeutet fallend!
Verkettung bedeutet, dass du eine Funktion in eine andere einsetzt: (u∘v)(x) = u(v(x)). Das sieht kompliziert aus, ist aber nur wie russische Puppen – eine Funktion steckt in der anderen.
Bei der Kettenregel gehst du in drei Schritten vor: Erst identifizierst du die äußere Funktion u(x) und die innere Funktion v(x). Dann leitest du beide getrennt ab. Schließlich multiplizierst du u'(v(x)) mit v'(x).
Ein Beispiel macht's klar: Bei f(x) = ⁴ ist die äußere Funktion u(x) = x⁴ und die innere v(x) = 3x+4. Die Ableitung wird f'(x) = 4³ · 3 = 12³.
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Die Formel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) wendest du Schritt für Schritt an.
Praxistipp: Markiere dir bei verketteten Funktionen immer zuerst die äußere und innere Funktion – das verhindert Fehler beim Ableiten!
Das Verhalten von Funktionen erkennst du sofort an ihren Ableitungen. Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn f'(x) > 0 für alle x im Intervall gilt – die Funktion steigt also kontinuierlich an.
Umgekehrt ist sie streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 ist. Der Monotoniesatz gibt dir damit ein super praktisches Werkzeug: Schaue einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung f''(x). Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Bei f''(x) < 0 ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht).
Diese Zusammenhänge helfen dir dabei, Funktionen auch ohne Taschenrechner zu verstehen. Du siehst sofort, wo eine Funktion steigt, fällt oder ihre Krümmung ändert.
Visualisierungshilfe: Stelle dir vor, du fährst mit dem Auto auf dem Funktionsgraph – die erste Ableitung zeigt, ob es bergauf oder bergab geht, die zweite, ob du nach links oder rechts lenkst!
Wendepunkte sind die Stellen, wo eine Funktion ihre Krümmung ändert – mathematisch gesehen, wo f''(x) = 0 ist. Das Berechnen folgt einem festen Schema, das du immer gleich anwenden kannst.
Zuerst bildest du alle drei Ableitungen f'(x), f''(x) und f'''(x). Dann setzt du die zweite Ableitung gleich null und löst nach x auf. Diese x-Werte sind deine Kandidaten für Wendepunkte.
Jetzt kommt das hinreichende Kriterium: Setze jeden x-Wert in die dritte Ableitung ein. Ist f'''(x) ≠ 0, hast du definitiv einen Wendepunkt gefunden. Das Vorzeichen verrät dir sogar die Art: f'''(x) > 0 bedeutet rechts-links-Wendepunkt.
Zum Schluss bestimmst du noch den y-Wert, indem du den x-Wert in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Fertig ist dein Wendepunkt W(x|y)!
Kontrollmöglichkeit: Prüfe das Vorzeichen von f''(x) links und rechts vom Wendepunkt – es muss sich ändern!
Extrempunkte findest du dort, wo die erste Ableitung null wird: f'(x) = 0. Das ist das notwendige Kriterium – ohne geht's nicht, aber es reicht noch nicht aus.
Das hinreichende Kriterium nutzt die zweite Ableitung: Bei f''(x) < 0 hast du ein lokales Maximum (Hochpunkt), bei f''(x) > 0 ein lokales Minimum (Tiefpunkt). Ist f''(x) = 0, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Der Rechenweg ist systematisch: Erst f'(x) = 0 lösen, dann die x-Werte in f''(x) einsetzen zur Bestimmung der Extremart, schließlich die x-Werte in f(x) einsetzen für die y-Koordinaten.
Ein einfaches Beispiel: Bei f(x) = 2x² + 3x - 5 ergibt f'(x) = 0 den Wert x = -3/4. Da f''(-3/4) = 4 > 0 ist, liegt ein Tiefpunkt vor.
Merkregel: Negative zweite Ableitung = nach unten geöffnete Parabel = Maximum. Positive zweite Ableitung = nach oben geöffnete Parabel = Minimum!
Extremwertprobleme aus dem echten Leben löst du mit einer bewährten 5-Schritte-Strategie. Diese Methode funktioniert bei Kosten-, Flächen- oder Volumenoptimierung gleichermaßen.
Zuerst stellst du einen Term für die Größe auf, die minimal oder maximal werden soll – das kann zunächst mehrere Variablen enthalten. Dann formulierst du alle Nebenbedingungen, die die Abhängigkeiten zwischen den Variablen beschreiben.
Der dritte Schritt ist entscheidend: Du bestimmst die Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt. Dafür nutzt du die Nebenbedingungen, um überflüssige Variablen zu eliminieren. Vergiss nicht, die Definitionsmenge anzugeben!
Jetzt untersuchst du diese Zielfunktion wie gewohnt auf Extremwerte und prüfst auch die Randwerte der Definitionsmenge. Am Ende formulierst du dein Ergebnis im Kontext der ursprünglichen Aufgabe.
Erfolgsgeheimnis: Die meisten Fehler passieren beim Aufstellen der Zielfunktion – nimm dir hier besonders viel Zeit und überprüfe deine Nebenbedingungen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Mara
@maraaa
Die Ableitung ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Analysis – sie zeigt dir, wie stark eine Funktion steigt oder fällt. Mit verschiedenen Ableitungsregeln und der Analyse von Extrempunkten löst du komplexe mathematische Probleme ganz systematisch.
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Die Ableitung einer Funktion ist mathematisch gesehen der Grenzwert des Differenzquotienten: f'(a) = lim(h→0) /h. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich nur die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt.
Die wichtigsten Ableitungsregeln helfen dir dabei, fast jede Funktion zu differenzieren. Die Potenzregel ist dabei dein bester Freund. Die Faktorregel und Summenregel machen das Ableiten noch einfacher.
Für komplexere Funktionen brauchst du die Kettenregel und die Produktregel . Diese Regeln sind dein Handwerkszeug für schwierigere Aufgaben.
Merktipp: Das Vorzeichen der Ableitung verrät dir sofort das Verhalten der ursprünglichen Funktion – positiv bedeutet steigend, negativ bedeutet fallend!
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Verkettung bedeutet, dass du eine Funktion in eine andere einsetzt: (u∘v)(x) = u(v(x)). Das sieht kompliziert aus, ist aber nur wie russische Puppen – eine Funktion steckt in der anderen.
Bei der Kettenregel gehst du in drei Schritten vor: Erst identifizierst du die äußere Funktion u(x) und die innere Funktion v(x). Dann leitest du beide getrennt ab. Schließlich multiplizierst du u'(v(x)) mit v'(x).
Ein Beispiel macht's klar: Bei f(x) = ⁴ ist die äußere Funktion u(x) = x⁴ und die innere v(x) = 3x+4. Die Ableitung wird f'(x) = 4³ · 3 = 12³.
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Die Formel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) wendest du Schritt für Schritt an.
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Das Verhalten von Funktionen erkennst du sofort an ihren Ableitungen. Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn f'(x) > 0 für alle x im Intervall gilt – die Funktion steigt also kontinuierlich an.
Umgekehrt ist sie streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 ist. Der Monotoniesatz gibt dir damit ein super praktisches Werkzeug: Schaue einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung f''(x). Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Bei f''(x) < 0 ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriges Gesicht).
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Wendepunkte sind die Stellen, wo eine Funktion ihre Krümmung ändert – mathematisch gesehen, wo f''(x) = 0 ist. Das Berechnen folgt einem festen Schema, das du immer gleich anwenden kannst.
Zuerst bildest du alle drei Ableitungen f'(x), f''(x) und f'''(x). Dann setzt du die zweite Ableitung gleich null und löst nach x auf. Diese x-Werte sind deine Kandidaten für Wendepunkte.
Jetzt kommt das hinreichende Kriterium: Setze jeden x-Wert in die dritte Ableitung ein. Ist f'''(x) ≠ 0, hast du definitiv einen Wendepunkt gefunden. Das Vorzeichen verrät dir sogar die Art: f'''(x) > 0 bedeutet rechts-links-Wendepunkt.
Zum Schluss bestimmst du noch den y-Wert, indem du den x-Wert in die ursprüngliche Funktion einsetzt. Fertig ist dein Wendepunkt W(x|y)!
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Extrempunkte findest du dort, wo die erste Ableitung null wird: f'(x) = 0. Das ist das notwendige Kriterium – ohne geht's nicht, aber es reicht noch nicht aus.
Das hinreichende Kriterium nutzt die zweite Ableitung: Bei f''(x) < 0 hast du ein lokales Maximum (Hochpunkt), bei f''(x) > 0 ein lokales Minimum (Tiefpunkt). Ist f''(x) = 0, musst du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Der Rechenweg ist systematisch: Erst f'(x) = 0 lösen, dann die x-Werte in f''(x) einsetzen zur Bestimmung der Extremart, schließlich die x-Werte in f(x) einsetzen für die y-Koordinaten.
Ein einfaches Beispiel: Bei f(x) = 2x² + 3x - 5 ergibt f'(x) = 0 den Wert x = -3/4. Da f''(-3/4) = 4 > 0 ist, liegt ein Tiefpunkt vor.
Merkregel: Negative zweite Ableitung = nach unten geöffnete Parabel = Maximum. Positive zweite Ableitung = nach oben geöffnete Parabel = Minimum!
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Extremwertprobleme aus dem echten Leben löst du mit einer bewährten 5-Schritte-Strategie. Diese Methode funktioniert bei Kosten-, Flächen- oder Volumenoptimierung gleichermaßen.
Zuerst stellst du einen Term für die Größe auf, die minimal oder maximal werden soll – das kann zunächst mehrere Variablen enthalten. Dann formulierst du alle Nebenbedingungen, die die Abhängigkeiten zwischen den Variablen beschreiben.
Der dritte Schritt ist entscheidend: Du bestimmst die Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt. Dafür nutzt du die Nebenbedingungen, um überflüssige Variablen zu eliminieren. Vergiss nicht, die Definitionsmenge anzugeben!
Jetzt untersuchst du diese Zielfunktion wie gewohnt auf Extremwerte und prüfst auch die Randwerte der Definitionsmenge. Am Ende formulierst du dein Ergebnis im Kontext der ursprünglichen Aufgabe.
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Erfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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